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【全程复习方略】2014年北师版数学文(陕西用)课时作业:第七章 第三节平行关系]


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课时提升作业(四十二)
一、选择题 1.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB ? 平面α ,CD ? ? 平面α ,则直线 CD 与平面α 内的直线的位置关系只能是( (A)平行 (C)平行或相交 ) (B)平

行或异面 (D)异面或相交

2.下面四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所 在棱的中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形是( )

(A)①②

(B)①④

(C)②③ )

(D)③④

3.下列命题中正确的个数是( ①若直线 a 不在α 内,则 a∥α ;

②若直线 l 上有无数个点不在平面α 内,则 l∥α ; ③若 l 与平面α 平行,则 l 与α 内任何一条直线都没有公共点; ④平行于同一平面的两直线可以相交. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

4.(2013·汉中模拟)a,b,c 为三条不重合的直线,α ,β ,γ 为三个不重 合平面,现给出六个命题: ① ③ ⑤ ?a∥b ?α ∥β ?α ∥a ② ④ ⑥ ) (B)①④⑤ (D)①③⑥ ?a∥b ?α ∥β ?a∥α

其中正确的命题是( (A)①②③ (C)①④

5.(2013·西安模拟)设 l,m,n 表示不同的直线,α ,β ,γ 表示不同的平 面,给出下列四个命题: ①若 m∥l,且 m⊥α ,则 l⊥α ; ②若 m∥l,且 m∥α ,则 l∥α ; ③若α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,则 l∥m∥n; ④若α ∩β =m,β ∩γ =l,γ ∩α =n,且 n∥β ,则 l∥m. 其中正确的命题的个数是( (A)1 (B)2 ) (C)3 (D)4

6.(2013· 榆林模拟)如图,在正方体中,A,B 为正方体的两个顶 点,M,N,P 为所在棱的中点,则异面直线 MP,AB 在正方体的主 视图中的位置关系是( (A)相交 (C)异面 )

(B)平行 (D)不确定

7.如图,边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G, 已知 △A′DE 是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形(A′不与 A,F 重合),则 下列命题中正确的是( )

①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②BC∥平面 A′DE;③三棱锥 A′-FED 的体积有最大值. (A)① (B)①② (C)①②③ (D)②③

8.(能力挑战题)若α ,β 是两个相交平面,点 A 不在α 内,也不在β 内, 则过点 A 且与α 和β 都平行的直线( (A)只有 1 条 (C)只有 4 条 二、填空题 9.(2013·保定模拟)设互不相同的直线 l,m,n 和平面α ,β ,γ ,给出下 列三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l ? α ,m ? β ,则α ∥β ; ②若α ∥β ,l ? α ,m ? β ,则 l∥m; ③若α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n. 其中真命题的个数为 . )

(B)只有 2 条 (D)有无数条

10.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N 分别是下底面的 棱 A1B1,B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P,M,N 的平面 交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ= .

11.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上. 若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于 .

12.已知平面α ∥平面β ,P 是α ,β 外一点,过点 P 的直线 m 分别与α , β 交于 A,C,过点 P 的直线 n 分别与α ,β 交于 B,D,且 PA=6,AC=9,PD=8, 则 BD 的长为 三、解答题 13.(2013·延安模拟)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底 面 ABCD 是直角梯形, AD∥BC, SA⊥CD, AB⊥平面 SAD, 点 M 是 SC 的中点,且 SA=AB=BC=1,AD= . (1)求四棱锥 S-ABCD 的体积. .

(2)求证:DM∥平面 SAB. 14.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四 边 形 , ∠ ACB=90 ° ,EA ⊥ 平面 ABCD,EF ∥ AB,FG ∥ BC,EG∥AC,AB=2EF.若 M 是线段 AD 的中点,求证:GM ∥平面 ABFE. 15.如图 1 所示,在 Rt△ABC 中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD 为∠ACB 的平分线,点 E 在线段 AC 上,且 CE=4.如图 2 所示,将△BCD 沿 CD 折 起,使得平面 BCD⊥平面 ACD,连接 AB,设点 F 是 AB 的中点.

(1)求证:DE⊥平面 BCD. (2)若 EF∥平面 BDG,其中 G 为直线 AC 与平面 BDG 的交点,求三棱锥 B-DEG 的体积.

答案解析
1.【解析】选 B.由题知 CD∥平面α,故 CD 与平面α内的直线没有公共 点,故只有 B 正确. 2.【解析】选 A.由线面平行的判定定理知图①②可得出 AB∥平面 MNP. 3.【解析】选 B.a∩α=A 时,a?α,∴①错;

直线 l 与α相交时,l 上有无数个点不在α内,故②错; l∥α,l 与α无公共点,∴l 与α内任一直线都无公共点,③正确;长方体 中 A1C1 与 B1D1 都与平面 ABCD 平行,∴④正确. 4.【解析】选 C.①④正确,②错在 a,b 也可能相交或异面. ③错在α与β可能相交.⑤⑥错在 a 可能在α内. 5.【解析】选 B.①正确;②中当直线 l ? α时,不成立;③中,还有可能相 交一点,不成立;④正确,所以正确的命题有 2 个,选 B. 6.【解析】选 B.在主视图中 AB 是正方形的对角线,MP 是平行于对角线 的三角形的中位线,所以两直线平行. 7.【思路点拨】注意折叠前 DE⊥AF,折叠后其位置关系没有改变. 【解析】选 C.①中由已知可得平面 A′FG⊥平面 ABC, ∴点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上. ②BC∥DE,BC?平面 A′DE,DE ? 平面 A′DE,∴BC∥平面 A′DE.③当平面 A′DE⊥平面 ABC 时,三棱锥 A′-FED 的体积达到最大. 8.【思路点拨】可根据题意画出示意图,然后利用线面平行的判定定理 及性质定理解决. 【解析】选 A.据题意,如图,要使过点 A 的直线 m 与平面α平 行,则据线面平行的性质定理得经过直线 m 的平面与平面α的 交线 n 与直线 m 平行,同理可得经过直线 m 的平面与平面β的 交线 k 与直线 m 平行,则推出 n∥k,由线面平行可进一步推出 直线 n 与直线 k 与两平面α与β的交线平行,即要满足条件的 直线 m 只需过点 A 且与两平面交线平行即可,显然这样的直线有且只有

一条. 9. 【解析】 ①中α与β可能相交,故①错;②中 l 与 m 可能异面,故②错; 由线面平行的性质定理可知,l∥m,l∥n,所以 m∥n,故③正确. 答案:1 10.【解析】∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, ∴MN∥PQ. ∵M,N 分别是 A1B1,B1C1 的中点,AP= , ∴CQ= ,从而 DP=DQ= ,∴PQ= 答案: a a.

【误区警示】本题易忽视平面与平面平行的性质,不能正确找出 Q 点的 位置,从而无法计算或计算出错,造成失分. 11. 【解析】 因为直线 EF∥平面 AB1C,EF ? 平面 ABCD,且平面 AB1C∩平面 ABCD=AC,所以 EF∥AC.又因为 E 是 AD 的中点,所以 F 是 CD 的中点,由中 位线定理可得 EF= AC. 又因为在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 ,AB=2, 所以 AC=2 ,所以 EF= . 答案: 12.【解析】分两种情况考虑,即当点 P 在两个平面的同一侧和点 P 在 两平面之间两种可能.由两平面平行得交线 AB∥CD,截面图如图所示,

由三角形相似可得 BD= 或 BD=24. 答案: 或 24

13.【解析】∵AB⊥平面 SAD,SA 平面 SAD,AD 平面 SAD, ∴AB⊥SA,AB⊥AD, ∵SA⊥CD,AB,CD 是平面 ABCD 内的两条相交直线, ∴侧棱 SA⊥底面 ABCD. (1)在四棱锥 S-ABCD 中,侧棱 SA⊥底面 ABCD, 底面 ABCD 是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,SA=AB=BC=1,AD= , ∴VS-ABCD= 〃S 底面 ABCD〃SA= × ×1= .

(2)取 SB 的中点 N,连接 AN,MN. ∵点 M 是 SC 的中点,∴MN∥BC 且 MN= BC, ∵底面 ABCD 是直角梯形,AB 垂直于 AD 和 BC,BC=1,AD= , ∴AD∥BC 且 AD= BC, ∴MN∥AD 且 MN=AD, ∴四边形 MNAD 是平行四边形,∴DM∥AN, ∵DM?平面 SAB,AN 平面 SAB,∴DM∥平面 SAB. 【变式备选】 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,P 分别为所在边的中 点.求证:平面 MNP∥平面 A1C1B.

【证明】连接 D1C,∵MN 为△DD1C 的中位线,∴MN∥D1C. 又易知 D1C∥A1B,

∴MN∥A1B.同理,MP∥C1B. 而 MN 与 MP 相交,MN,MP 在平面 MNP 内, A1B 与 C1B 相交,A1B,C1B 在平面 A1C1B 内, ∴平面 MNP∥平面 A1C1B. 14.【证明】方法一:因为 EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°, 所以∠EGF=90°, △ABC∽△EFG. 由于 AB=2EF,因此 BC=2FG. 连接 AF,由于 FG∥BC,FG= BC, 在?ABCD 中,M 是线段 AD 的中点,则 AM∥BC, 且 AM= BC,因此 FG∥AM 且 FG=AM, 所以四边形 AFGM 为平行四边形,因此 GM∥FA. 又 FA ? 平面 ABFE,GM?平面 ABFE, 所以 GM∥平面 ABFE. 方法二:因为 EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°, ∴∠EGF=90°, △ABC∽△EFG. 由于 AB=2EF,∴BC=2FG. 取 BC 的中点 N,连接 GN, 因此四边形 BNGF 为平行四边形,所以 GN∥FB. 在?ABCD 中,M 是线段 AD 的中点,连接 MN, 则 MN∥AB.

∵MN∩GN=N,∴平面 GMN∥平面 ABFE. 又 GM ? 平面 GMN,∴GM∥平面 ABFE. 15.【思路点拨】本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化 和空间几何体的体积计算.本题中(1)根据三角形的边角关系和余弦定 理得到线线垂直,再由面面垂直的性质证明线面垂直 .(2)根据线面平 行的性质,得到线线平行,探究出点的位置,从而得到线段的长度, 并根据线面的垂直关系和棱锥的体积公式求解. 【解析】(1)在图 1 中,∵AC=6,BC=3,∠ABC=90°, ∴∠A=30°,∠ACB=60°. ∵CD 为∠ACB 的平分线,∴∠BCD=∠ACD=30°, ∴CD=2 . ∵ CE=4 , ∠ DCE=30 ° , 由 余 弦 定 理 可 得 cos30 ° = = ,即

,解得 DE=2.则 CD2+DE2=EC2,∴∠CDE=90°,DE⊥DC.

在图 2 中,∵平面 BCD⊥平面 ACD,平面 BCD∩平面 ACD=CD,DE 平面 ACD,且 DE⊥DC, ∴DE⊥平面 BCD. (2)在图 2 中,∵EF∥平面 BDG,EF 平面 ABC, 平面 ABC∩平面 BDG=BG, ∴EF∥BG. ∵点 E 在线段 AC 上,CE=4,点 F 是 AB 的中点, ∴AE=EG=CG=2. 作 BH⊥CD 于点 H.∵平面 BCD⊥平面 ACD,

∴BH⊥平面 ACD. 由已知可得 BH= = =.

S△DEG= S△ACD= × ×AC×CD×sin30°= , ∴三棱锥 B-DEG 的体积 V= S△DEG〃BH= × ×= . 【变式备选】 如图所示, 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 M 在 AD1 上移动, 点 N 在 BD 上移动, D1M=DN=a(0<a< ), 连接 MN. (1)证明对任意 a∈(0, ),总有 MN∥平面 DCC1D1. (2)当 a 为何值时,MN 的长最小? 【解析】(1)作 MP∥AD,交 DD1 于 P,作 NQ∥BC,交 DC 于 Q,连接 PQ.

由题意得 MP∥NQ,且 MP=NQ, 则四边形 MNQP 为平行四边形. ∴MN∥PQ. 又 PQ 平面 DCC1D1,MN?平面 DCC1D1, ∴MN∥平面 DCC1D1. (2)由(1)知四边形 MNQP 为平行四边形, ∴MN=PQ,

由已知 D1M=DN=a,DD1=AD=DC=1, ∴AD1=BD= , ∴D1P∶1=a∶ ,DQ∶1=a∶ , 即 D1P=DQ= . ∴MN=PQ= = = (0<a< ),

故当 a= 时,MN 的长有最小值 . 即当 M,N 分别移动到 AD1,BD 的中点时,MN 的长最小,此时 MN 的长 为 .

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