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2016届高考数学二轮复习 第1部分 专题1 必考点3 不等式、线性规划课件 文


专题复习·数学(文)

专题一 集合、常用逻辑、平面向量、复数、 合情推理、不等式 必考点三 不等式、线性规划

类 型

类型一 不等式性质与解不等式

类型二 基本不等式的应用
类型三 求线性目标函数的最值 类型四 线性规划中非线性目标函数的最值

高考·预测

运筹帷幄之中

1 根据不等式性质判断不等式成立,求解不等式. 2 利用基本不等式求解最值问题. 3 根据简单的线性规划求目标函数最值和字母参数.

知识 回扣
必记知识 重要结论

1.不等式的性质
2.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程 ax2+bx+c =0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一 元二次不等式的解集.

知识 回扣
必记知识 重要结论

(2)简单分式不等式的解法 f?x? ①变形? >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0); g?x? f?x? ②变形? ≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. g?x? (3)简单指数不等式的解法 ①当 a>1 时,af(x)>ag(x)?f(x)>g(x); ②当 0<a<1 时,af(x)>ag(x)?f(x)<g(x).

知识 回扣
必记知识 重要结论

(4)简单对数不等式的解法 ①当 a>1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且 f(x)>0,g(x)>0; ②当 0<a<1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)<g(x)且 f(x)>0,g(x)>0.
3.基本不等式 a+b a +b ≥2ab(a,b∈R) ≥ ab(a>0,b>0) 2
2 2

知识 回扣
必记知识 重要结论

1.(1)若 ax2+bx+c=0 有两个不等实根 x1 和 x2(x1<x2) ax2+bx+c>0(a>0)的解为{x|x>x2 或 x<x1} ax2+bx+c<0(a>0)的解为{x|x1<x<x2}
?a>0, (2)ax +bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是? ?Δ<0.
2

?a<0, (3)ax +bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是? ?Δ<0.
2

知识 回扣
必记知识 重要结论

?a+b?2 ? (a,b∈R). 2.(1)ab≤? ? 2 ?

(2)

a2+b2 a+b 2ab ≥ ≥ ab≥ (a>0,b>0). 2 2 a+b

(3)不等关系的倒数性质
?a>b 1 1 ? ? < . a b ?ab>0

(4)真分数的变化性质 n n+c 若 0<n<m,c>0,则 < . m m+c

知识 回扣
必记知识 重要结论

b b (5)形如 y=ax+ (a>0,b>0),x∈(0,+∞)取最小值时,ax= ?x= x x 即“对号函数”单调变化的分界点.
?P?2 (6)a>0,b>0,若 a+b=P,当且仅当 a=b 时,ab 的最大值为? ? ; ?2 ?

b , a

若 ab=S,当且仅当 a=b 时,a+b 的最小值为 2 S.

3.不等式 y>kx+b 表示直线 y=kx+b 上方的区域;y<kx+b 表示直线 y =kx+b 下方的区域.

小题 速解

类型一 不等式性质与解不等式

[ 例 1]

(1)若 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( D ) 2a+b a B. > a+2b b 1 1 D.a+ >b+ b a

b b+1 A. > a a+1 1 1 C.a- >b- b a
根据不等式性质直接推证.

1 1 1 1 由 a>b>0,∴ > >0,∴a+ >b+ . b a b a

特例法:令 a=1,b=2 代入验证逐个排除 可得答案 D.

小题 速解

类型一 不等式性质与解不等式

[ 利用不等式性质逐个排除.]
A 不符合真分数性质;B 即为 b2>a2 与 a>b>0 矛盾; C 不符合不等式倒数及加法性质.故选 D.

D

小题 速解

类型一 不等式性质与解不等式

(2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 (-5,0)∪(5,+∞) f(x)>x 的解集用区间表示为_______________________.

先求出函数 f(x)在 R 上的解析式,然后分段求解不等式 f(x)>x,即得不等 式的解集. 设 x<0,则-x>0,于是 f(-x)= (-x)2-4(-x)= x2+4x,由于 f(x)是 R 上 的奇函数,所以-f(x)= x2+4x,即 f(x)=-x2-4x,且 f(0)=0,于是 f(x) x2- 4x, x>0, ? ? =?0, x=0, 当 x>0 时,由 x2-4x>x 得 x>5;当 x<0 时,由-x2 2 ? ?-x -4x,x<0. -4x>x 得-5<x<0,故不等式的解集为(-5,0)∪ (5,+∞).

小题 速解

类型一 不等式性质与解不等式

数形结合:作出 y1=x2-4x 与 y2= x 的图象,求使 y1 的图象在 y2 图象的 上部所对应的 x 的范围. 设 y1=f(x)=x2-4x,y2=x(x>0). 令 y1=y2,∴x2-4x=x,∴ x=0 或 x=5. 作 y1=f(x)及 y2= x 的图象, 则 A(5,5), 由于 y1=f(x)及 y2=x 都是奇函数, 作它们关于(0,0)的对称图象, 则 B(-5,-5),由图象可看出当 f(x)>x 时,x∈ (5,+∞)及 (-5,0).

(-5,0)∪(5,+∞)

小题 速解

类型一 不等式性质与解不等式

[ 利用奇函数的定义及对称性可以求解.]
当 x>0 时,可得 x2-4x>x, ∴ x>5, ∴当 x∈(0,5)时,f(x)<x, ∴-x∈ (-5,0),-f(x)>- x,即 f(-x)>- x, 令 t=-x∈ (-5,0), ∴f(t)>t,符合 f(x)>x 的解. f(x)>x 的解集为(-5,0)∪ (5,+∞). (-5,0)∪(5,+∞)

小题 速解

类型一 不等式性质与解不等式

?1?不等式的性质要注意成立条件及区分单向性、双向性的推导关系. ?2?解不等式,大多经过等价转化,最终成为一元二次不等式或一元一次 不等式?组?. ?3?分段?讨论?求解不等式时要分清交集与并集的使用.

小题 速解

类型一 不等式性质与解不等式
自我挑战

1.已知 a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,则下列选项中,不一定能成立的是 ( C ) c b A. < a a b2 a2 C. > c c b-a B. >0 c a-c D. <0 ac

1 1 由题意可知 c<0,a>0? < , D 正确. c a c<b? c b b<a? b a ? ? < , A 正确. ?? > ,B 正确.故选 C. ∴ a a a>0? c<0 ? c c

小题 速解

类型一 不等式性质与解不等式
自我挑战

?ex-1,x<1, 2. (2014· 高考新课标卷Ⅰ)设函数 f(x)=? 则使得 f(x)≤2 x x ≥ 1 , ?

(-∞,8] . 成立的 x 的取值范围是____________
结合题意分段求解,再取并集. 当 x<1 时,x-1<0,ex- 1<e0=1≤2, ∴当 x<1 时满足 f(x)≤2. 当 x≥1 时,x ≤2,x≤23=8,∴1≤x≤8.综上可知 x∈(-∞, 8].

小题 速解

类型二 基本不等式的应用

[ 例 2]

(1)若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( D ) B.[ -2,0] D.(-∞,-2]

A.[0,2] C.[ -2,+∞)

由 2x+2y=1 直接用基本不等式(和为定值)转化构造出“x+ y”的形式. ∵2x+2y≥2 2x· 2y=2 2x+ y, ∴2 2
x+ y

≤1,即 2

x+ y

1 -2 ≤ =2 . 4

所以 x+y≤-2,故选 D.

小题 速解

类型二 基本不等式的应用

特例检验法:检验 x+y 能否为 0. 若 x+ y=0,即 y=-x 1 ∴2 +2 =1,∵2 + x>2 恒成立,所以 x+y 不可能为 0.故选 D. 2
x
-x

x

D

小题 速解

类型二 基本不等式的应用

2m [设 x+y=m,设 t=2 ,根据方程 t+ =1 有正解求 m 的范围.] t 设 x+ y=m,y=m- x,∴2x+2m- x=1,
x

m 2 即 2x+ x =1,设 2x=t>0, 2

2m 若方程 t+ =1,即 t2-t+2m=0 存在正解时 t
?1? 设 f(t)=t -t+2 ,只须 f? ?≤0 即可 ?2?
2 m

1 1 m ∴ - +2 ≤0,∴2m≤2-2,∴m≤- 2.故选 D. 4 2 D

小题 速解

类型二 基本不等式的应用

(2)已知任意非零实数 x,y 满足 3x2+4xy≤λ(x2+y2)恒成立,则实数 λ 的 最小值为( A ) A.4 B.5 11 C. 5 7 D. 2

分离变量 λ 后,用基本不等式求二元函数最值.
2 3 x +4xy 2 2 2 2 2 2 依题意,得 3x +4xy≤3x + [x + (2y) ]=4(x +y ),因此有 2 2 ≤4, x +y

3x2+4xy 当 且仅当 x = 2y 时 取等号 ,即 2 2 的最 大值是 4 ,结合题 意得 x +y 3x2+4xy λ≥ 2 2 ,故 λ≥4,即 λ 的最小值是 4,故选 A. x +y

小题 速解

类型二 基本不等式的应用

直接法:转化为二次方程的判别式求解. 令 3x2+4xy=wx2+wy2 ∴ (3-w)x2+4xy-wy2=0 ∴Δ=16-4×(3-w)(-w)≥0 ∴-1≤w≤4. ∴λ≥4.故选 A.

A

小题 速解

类型二 基本不等式的应用

[ 分离变量后,检验函数最值进行排除.]
3x2+4xy 设 w= 2 2 x +y
2 2

3x2+4xy 若 w 的最大值为 5,则 2 2 =5 x +y

?x?2 ?x? ? ? 即 2x -4xy+5y =0,∴2 -4? ?+5=0 ?y? ?y?

显然 Δ=42-4×2×5<0,无实数解 3x2+4xy 若 w 的最大值为 4,则 2 2 =4, x +y 即 x2-4xy+4y2=0,∴x=2y 有解 ∴λ≥4.故选 A.

A

小题 速解

类型二 基本不等式的应用

?1?一般地,分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含 有两个变量的函数,特别适合用基本不等式求最值. ?2?在运用基本不等式求最值时,必须保证“一正,二定,三相等”,凑 出定值是关键. ?3?“=”成立必须保证,若两次连用基本不等式,要注意等号的取得条 件的一致性,否则就会出错.

小题 速解

类型二 基本不等式的应用

?4?求解含参数不等式恒成立问题的关键是过好双关:第一关是转化关, 即通过分离参数,先转化为 f?a?≥g?x??或 f?a?≤g?x??对?x∈D 恒成立,再 转化为 f?a?≥g?x?max?或 f?a?≤g?x?min?;第二关是求最值关,即求函数 g?x? 在区间 D 上的最大值?或最小值?问题.

小题 速解

类型二 基本不等式的应用

小题 速解

类型二 基本不等式的应用
自我挑战

1.若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是( A.6+2 3 C.6+4 3 B.7+2 3 D.7+4 3

)

小题 速解

类型二 基本不等式的应用
自我挑战

先判断 a,b 的符号,再将已知的式子转化为关于 a,b 的方程,最后根 据基本不等式求解. ab>0, ? ? ?a>0, 由题意得?ab≥0, 所以? ?b>0. ? ? 3a+4b>0, 又 log4(3a+4b)=log2 ab,所以 log4(3a+4b)=log4ab, 4 3 所以 3a+4b=ab,故 + =1. a b ?4 3? 3a 4b 3a 4b 所以 a+b= (a+ b)? + ?=7+ + ≥7+ 2 · =7+4 3,当且仅 b a b a ? a b? 3a 4b 当 = 时取等号.故选 D. b a D.

小题 速解

类型二 基本不等式的应用
自我挑战

2.对一切实数 x,若不等式 x2+a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围

[-2,+∞) . 是____________
当 x=0 时,1≥0 恒成立,此时 a∈R. - x2-1 ? 1? 当 x≠0 时,a≥ =-?|x|+ ?. |x| |x|? ? 1 ? 1? 又 |x|+ ≥2,∴-?|x|+ ?≤- 2,∴a≥-2. |x| |x|? ?

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

x+y-2≤0, ? ? [ 例 3] (1)(2015· 高考全国卷Ⅰ)若 x, y 满足约束条件?x-2y+1≤0, 则 ? ?2x-y+2≥0, z=3x+y 的最大值为__________.

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

画出可行域,并分析 z 的几何意义,平移直线 y=-3x 求解. 画出可行域(如图所示). ∵z=3x+y, ∴ y=-3x+z. ∴直线 y=-3x+z 在 y 轴上截距最大时,即直线过点 B 时,z 取得最大值.
?x+y-2=0, 由? 解得 B(1,1), x - 2 y + 1 = 0 ?

∴zmax= 3×1+1=4.

4

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

利用边界端点代入比较,由图知 A(-1,0),C(0,2)
?x+y-2=0 由? 得 B(1,1)代入 ?x-2y+1=0

z=3x+y 得最大值为 3× 1+1=4

4

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

(2)某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种 车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/ 辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则 租金最少为( A.31 200 元 C.36 800 元 ) B.36 000 元 D.38 400 元

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

先根据题意列出约束条件和目标函数,通过平移目标函数加以解决,设 租用 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,目标函数为 z=1 600x+2 400y,则约束条 件为

?36x+60y≥900, ?x+y≤21, ?y-x≤7, ? ?x,y∈N,

作出可行域,如图中阴影部分所示,可知目标函数

过点(5,12)时,有最小值 zmin=36 800(元).

C

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

列出约束条件和目标函数,代入相应端点值比较目标函数值大小.
?x+y=21, 由? 得点(7,14), ?y-x=7 ?36x+60y=900 由? ,得点(5,12), ?y-x=7 ?36x+60y=900 由? ,得点(15,6), ?x+y=21

将点代入 z=1 600x+2 400y 验证并比较,当 x=5,y=12 时,取其最小 值 zmin=36 800.故选 C. C

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

x+2y-4≤0, ? ? (3)(2014· 高考浙江卷)当实数 x,y 满足?x-y-1≤0, 时, ? ?x≥1 ? 3?
?1, ? 2? . ? 1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围是________

根据可行域及目标函数的最值,数形结合求解. 画出可行域如图所示, 设目标函数 z=ax+ y, 即 y=-ax+z, 要使 1≤z≤4
?1≤2a+1≤4, 3 ? 恒成立, 则 a>0, 数形结合知, 满足 即可, 解得 1≤a≤ . 2 1 ≤ a ≤ 4 , ?

3 所以 a 的取值范围是 1≤a≤ . 2

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

特殊点法:利用可行域的三个端点成立.
?x+2y-4=0 由? 得 B(2,1), x - y - 1 = 0 ? ?x-y-1=0 由? 得 A(1,0). x = 1 ? ?x+2y-4=0 ? 3? 由? 得 C?1, ?, 2? ? x = 1 ?

?1≤2a+1≤4 ? 3 要使 1≤ax+ y≤4 恒成立, A, B, C 三点成立?1≤a+ ≤4 2 ? ?1≤a≤4
? 3? ?1, ? 2? ?

3 , ∴1≤a≤ . 2

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

a z z ?1?截距型:z=ax+by?y=- x+ ,与直线的截距相关联.若 b>0,则 的 b b b 最值情况和 z 的一致;若 b<0,则\f(z,b)的最值情况和 z 的相反. ?2?需要注意的是:其一,准确无误地作出可行域;其二,画目标函数所对 应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;其 三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值均在可行域的端点或边界上 取得. ?3?最优解唯一时,目标函数过边界的端点;,最优解不唯一时,目标函数 线重合于边界线.

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值
自我挑战

1.(2016· 昆明模拟)某校今年计划招聘女教师 a 名,男教师 b 名,若 a、b 2a-b≥5 ? ? 满足不等式组?a-b≤2 ,设这所学校今年计划招聘教师最多 x 名,则 ? ?a<7 x=( C ) A.10 C.13 B.12 D.16

如图所示,画出约束条件所表示的区域,即可行域,作直线 l:b+a=0, 平移直线 l,再由 a,b∈N,可知当 a=6,b=7 时,x=a+b=13.

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值
自我挑战

y≤x ? ? 2.(2016· 沈阳高三模拟)已知实数 x,y 满足约束条件?x+y≤1 ,则 z= ? ?y≥-1 2x+y 的最大值为( A ) A.3 3 C.- 2 3 B. 2 D.-3

画出可行域,如图阴影部分所示.由 z=2x+y,知 y=-2x+z,当目标 函数过点(2,-1)时直线在 y 轴上的截距最大,为 3,所以选 A.

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值

x+y≤1 ? ? y [例 4] (1)设 x,y 满足约束条件?x+1≥0 ,则目标函数 z= 的取值 x+2 ? ?x-y≤1 范围为( A.[-3,3] C.[-2,2] ) B.[-3,-2] D.[2,3]

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值

y 特殊点数形结合法: 根据 的几何意义, 观察图形中点的位置作可行域 x+2 如图阴影部分 y-0 y = 表示点(x, y)与点(-2,0)连线的斜率. x+2 x-?-2? -2-0 当过 A 点(-1,-2)时,k1= =-2 为最小;当过点 B(-1,2), -1- ?-2? 2-0 k2= =2 为最大.故选 C. -1- ?-2? C

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值

y 排除法:根据可行域的特征进行排除.可行域关于 x 轴对称,故 的最 x+2 大值与最小值为互为相反数,排除 B、 D.又直线过 B 点时,斜率为 2.故 选 C.

C

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值

2x+3y-6≤0, ? ? (2)在平面直角坐标系 xOy 中,M(x,y)为不等式组?x+y-2≥0, 所 ? ?y≥0,
2 表示的区域上一动点,则 x2+y2 的最小值为________ .

数形结合法:根据 x2+y2 的几何意义观察出点 M 在何处取最小. x2+ y2=(x-0)2+(y-0)2,表示点 M(x, y)与 (0,0)距离的平方. 如图所示, M 为图中阴影部分区域上的一个动点,由于原点到直线 x+y |0+ 0-2| 2 -2=0 的距离最短,∴d= = = 2. 2 2

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值

数形结合:根据直角三角形性质求解. |OM|的最小值是 O 到 x+y-2=0 的距离, 过 O 作 OM⊥AB, A(2,0), B(0,2). 由等腰直角三角形 OAB 可得|OM|= 2.

2

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值

目标函数非线性问题 y-b (1)斜率型:z= 即为点(a,b)与 (x,y)连线的斜率.常见的变形形式为: x-a ay+b ?a× . x+c x-?- c? (2)距离型: x2+ y2 表示点 (x,y)与 (0,0)距离的平方,常见的变形: x2+ y2
? D?2 ? E?2 D2 E2 +Dx+Ey=?x+ ? +?y+ ? - - . 2? ? 2? 4 4 ? ?-b? y-? ? ? a ?

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值
自我挑战

x+y≤2 ? ? 1.设实数 x,y 满足不等式组?y-x≤2 ,则 x2+y2 的取值范围是( B ) ? ?y≥1 A.[1,2] C.[ 2,2] B.[1,4] D.[2,4]

如图所示,不等式组表示的平面区域是△ABC 内部(含边界),x2+y2 表示 的是此区域内的点(x,y)到原点距离的平方.从图中可知最短距离为原点 到直线 BC 的距离,其值为 1;最远的距离为 AO,其值为 2,故 x2+y2 的取值范围是[1,4],故选 B.

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值
自我挑战

?1≤x≤1 ?2 2. 若实数 x,y 满足?y≥-x+1 ? ?y≤x+1

y+1 [1,5] ,则 的取值范围是________. x

y+1 y-?-1? 由题可知 = ,即为求不等式所表示的平面区域内的点与(0, x x-0 -1)的连线斜率 k 的取值范围,由图可知 k∈[1,5].

解题绝招 系列讲座

“点”定乾坤解线性规划

线性规划求目标函数的最值时,常规方法是数形结合判定所过的定点, 也可以把边界端点的坐标代入目标函数,寻找最值.研究可行域与其他 函数的关系时,可用边界端点确定其答案.

解题绝招 系列讲座

“点”定乾坤解线性规划

x≥0, ? ? [ 例 1] 记不等式组?x+3y≥4, 所表示的平面区域为 D, 若直线 y=a(x ? ?3x+y≤4,
?1 ? ? ,4? ?2 ? . +1)与 D 有公共点,则 a 的取值范围是________

?3x+ y=4 作出可行域,利用可行域的上下界,建立 a 的不等式,由? , ?x=0

得 B(0,4), 区域 D 的上界为 B(0,4),下界为 A(1,1),∴y=a(x+1)与 D 有公共点,则
?2a≥1 1 ? 有 ,∴ ≤a≤4. 2 a ≤ 4 ?

解题绝招 系列讲座

“点”定乾坤解线性规划

直线 y=a(x+1)恒过定点 P(-1,0)且斜率为 a,作出可行域后数形结合可 解. 不等式组所表示的平面区域 D 为如图所示阴影部分(含边界),且 A(1,1),
? 4? ? B(0,4), C 0, ?.直线 y=a(x+1)恒过定点 P(-1,0)且斜率为 a.由斜率公式 3? ?

1 可知 kAP= ,kBP= 4.若直线 y=a(x+1)与区域 D 有公共点,数形结合可 2 1 得 ≤a≤4. 2
?1 ? ? ,4? ?2 ?

解题绝招 系列讲座

“点”定乾坤解线性规划

x+y-2≤0, ? ? [ 例 2] (2015· 高考重庆卷)若不等式组?x+2y-2≥0 , 表示的平面区域 ? ?x-y+2m≥0 4 为三角形,且其面积等于 ,则 m 的值为( 3 A.-3 4 C. 3 B.1 D.3 )

解题绝招 系列讲座

“点”定乾坤解线性规划

作出可行域,通过面积建立方程求出参数 m 的值. 作出可行域, 如图中阴影部分所示, 易求 A, B, C, D 的坐标分别为 A(2,0),
?2-4m 2+2m? ?,D(-2m,0). B(1-m,1+m), C? , 3 3 ? ? ? 1 1 2+2m? ? = (1 + S △ ABC = S △ ADB - S △ ADC = |AD|· |yB- yC| = (2 + 2m) ?1+m- 2 2 3 ? ? ? m-2? 4 ? ? = ,解得 m=1 或 m=-3(舍去). m) 1+ 3 ? 3 ?

B


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