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§7 怎样运用理想气体状态方程解题


§7 怎样运用理想气体状态方程解题
理想气体处在平衡状态时,描写状态的各个参量(压强 P、体积 V 和温度 T)之间关系 式,叫理想气体状态方程,其数学表达式为:

PV ?

M

?

RT

(1)

此式的适用条件是:①理想气体;②平衡态。 上

式中: M-气体的质量; μ --摩尔质量;

M

?

-是气体的摩尔数。

对于一定质量, 一定种类的理想气体,在热平衡下,状态方程可写为:

PV PV 1 1 ? 2 2 ? T1 T2

?

M

?

R ? const

此式表明:一定质量、一定种类的理想气体,几个平衡状态的各参量之间的关系。 对于种类相同的两部分气体的状态参量分别为 P 1 、V1 、T1 、 P 2 、V2 、T2 ,现将其混合。 其状态参量为 P 、 V 、 T ,则状态参量间具有下列关系式:

PV PV PV ? 1 1? 2 2 T T1 T2
此式实质上说明了质量守恒: ( M1 、 , M ? M1 ? M 2 M 2 与 M 分别表示混合前后的质量) 按照质量守恒与状态方程是否可以得知:式(3)对不同气体也照样适合?请思考。 一、关于气体恒量 R 的单位选择问题: 一摩尔质量的理想气体,要标准状况下,即 P 0 ? 1atm , T0 ? 273.15K , V0 ? 22.4 L , 故有

PV 0 0 ? R。 T0

2 3 在国际单位制 压强Pa ? N / m , 体积用m 作单位 中,R 的量值选 8.31J/mol ? K 。

?

?

因为: R ?

1.013 ?103 N / m2 ? 22.4 ?103 m3 / mol ? 8.31J / mol ? K ; 273.15K
3
?3

在压强用大气压、体积用 m 时,R 的量值取 8.21?10 atm ? m / mol ? K ,因为:
1

R?

1atm ? 22.4 ?103 m3 / mol ? 8.21?10?5 atm ? m / mol ? K 273.15K

在压强用大气压作单位、体积用升作单位时,R 的量值选 0.082atm ? l / mol ? K ,因为:

R?

1atm ? 22.4l / mol ? 0.082atm ? l / mol ? K 273.15K

应用 PV ? 学温标。

M

?

RT 计算时,压强、体积单位的选取必须与 R 一致在同时温度必须用热力

二、怎样用状态方程来解题呢? 1、根据问题的要求和解题的方便,倒塌选取研究对象。研究对象选择得合理,解题就会 很方便,否则会造成很多麻烦。选择对象时,容易受容器的限制。事实上,有时一摆脱容器 的束缚, 就能巧选研究对象。 选择时应注意: 在独立方程的个数等于未知量的个数的前提下, 研究对象的数目应尽可能地少。最好是,研究对象的数目恰好等于待求的未知量的数目,此 时,中间未知量一个也没出现。 2、描写研究对象的初、未平衡状态,即确定平衡状态下的 P、V、T; 3、根据过程的特征,选用规律列出方程,并求解。选择研究对象与选用规律,其根据都 是过程的特征,因此,这两者往往紧密联系。列方程时,一般用状态方程的式子多,而用状 态变化方程时式子较少,故能用状态变化方程时应尽可能优先考虑。 气体的混合(如充气、贮气等)和分离(如抽气、漏气等)有关的习题不少。对于这类 习题, 可从不同角度出发去列方程: ①从质量守恒定律或推广到不同种类的分子气体时总摩 尔数不变来考虑;②从同温、同压下的折合的加和减来考虑。由于气体体积是温度、压强的 函数,所以,在利用利用“气体折合体积的加和性”时必须注意,只有统一折算成相同温度 和压强下的体积后,才可以比较。如果将容器中的容积不变误为气体不折合即不可相加,必 将得到错误结果。 ③从道尔顿定律-在同温、 同容积下各气体的分压强之和等于总压强来考 虑。上述三种不同的出发点,可得相同结果。 另外,用气、排气、漏气等变质量问题,如将跑出气体的体积,设想包含在气体变化后 的状态中,即可转为定质量问题,从而使所建立的方程简单。 [例 1]A、B 两容器的容积分别为 V1 ? 250cm3 和 V2 ? 400cm ,用一带活塞的 K 的绝
3

热细管连接起来。容器 A 浸入温度为 T1 ? 373K 的恒温沸水槽中,容器 B 浸在温度为

2

T2 ? 273K 的冷水冷液中。开始时,两容器被关闭着
的活拴隔开。容器 A 中理想气体的压强

P 1 ? 400mmHg ,B 中的压强为 P 2 ? 150mmHg ,求
活拴打开后,两容器中的平衡压强。 (图 2-7-1) [解法一]从质量守恒定律考虑: 因为两容器内气体的总质量不变,所以从 A 迁移到 B 的质量应当相等:

?M1 ? ?M 2
PV 1 1 ? M1 RT1

(1)

?

? RT1 ? ? ?PV 1 1 ? ?M1 ? ? ? ? ?
PV 2 2 ? M2

(2)

?

RT2

? RT2 ? ? ?PV 2 2 ? ?M 2 ? ? ? ? ?
由式(2) 、 (3)得 ?M1 、 ?M 2 ,代入(1)式得:

(3)

? ? ?P 1 ? V1
RT1
即:

?

? ? ?P2 ?V2
RT2

? P1 ? P ?V1 ? P ? P2 ?V2

?

T1 T2

由此可以解得:

P?

PV 1 1T2 ? PV 2 2T 1 V1T2 ? V2T1

[解法二]取 A、B 整体作为研究对象,从整体系统的总摩尔数(总质量)始终不变出 发来考虑。 初态:

PV 1 1 ?

M1

?

RT1

PV 2 2 ?

M2

?

RT2

?

PV PV M ? M2 1 1 ? 2 2 ? 1 R T1 T2 ?

(1)

3

终态:

?

PV1 PV2 M1 ? M 2 ? ? R T1 T2 ?

(2)

式(1) 、 (2)右边相等,故其左边也应相等。经整理得:

PV PV 1 1 ? 2 2 T T2 P? 1 V1 V2 ? T1 T2
检核:式(1) 、 (2) )中 P、V 的角标 1、2 全部高调换,式子不变,故这是对称性方程。 既然如此,式(3)中 P、V 的所有角标 1、2 也进行全部调换,结果没有变化。可见,答案 无误。 [解法三]从气体体魄全体加和性出发来考虑,按下法选取研究对象。把变质量问题化 为定质量问题, 从可以利用气态方程来解: 当活栓打开后, 容器 A 中有一部分状态为 P V1 、 1、

T1 的气体占体积 ?V1 ,跑到容器 B 中去而处于状态为 P、T2、V2 下占据体积 ?V2 (注意
,选择 V1 ? ?V1 这部分气体作为研究对象,其质量为 M1 ? ?M ,打开活塞后膨 ?V1 ? ?V2 ) 胀成体积 V1;另选 V2 ? ?V2 的气体为研究对象,其质量为 M 2 ? ?M ,打开活塞后收缩为 V2。在变化过程中,这两个研究对象的质量都滑有变化,故适用气态方程。 ,它们都服从等 温过程,且达到同一压强: 对容器 A:

P PV 1 ?V 1 ? ?V 1? ? 1 T1 T1
P2 (V2 ? ?V2 ) PV2 ? T2 T2

(1)

对容器 B:

(2)

式(1) 、 (2)中除了待求的未知量 P 以外,还有两个中间未知量 ?V1 、 ?V2 ,因此,还 得建立新的方程。 考虑到 A 迁移到 B 的气体质量相同,故有:

P V 2?M 1?V 1 P ?2 ? ? R T1 T2 ?
代入式(1)得: 与式(2)相加,即可解得:
4

即: ?V1 ?

PT 2 1 ?V2 PT 1 2

PV P ?V PV 1 1 ? 2 2 ? 1 T1 T2 T1

PV PV 1 1 ? 2 2 400 ? 250 ? 150 ? 400 T T2 373 273 ? 229 ? mmHg ? P? 1 ? V1 V2 250 400 ? ? 373 273 T1 T2
[例 2]氧气瓶的容积 30L,瓶中氧气的压强 130atm。氧气厂规定:当压强下降到 10atm 时,就应当重新充氧气。有一个车间,每天用 40L 的 1atm 的氧气。问这瓶氧气至多可用几 天?(设使用温度不变) 。 [解法一]把瓶内充足了氧气作为研究对象,并看成理想气体。这时,

P 1 ? 130atm,V 1 ? 30 L 。先设想把氧气瓶的体积等温扩大,使压强降到 P 210atm ,设其体
积为 V2,则根据玻意耳-马略特定律有:

PV 1 1 ? PV 2 2
将已知数据代入得: 可见每天用 40L,可用 90 天。 [解法二]由解法一中的式(1)代入式(2) ,得:

(1)

V3 ? 3600L

?V P ? P2 ? 1 1 ? 30 ? P PV P ? ? V1P 1 V3 ? 2 2 ? ? 2 ? 30 2 P3 P3 P3 P3
即:

PV 3 3 ?V 1 ?P 1 ?P 2?
V3 ? V1 ? P 1?P 2? P3

这里告诉我们一种思维方法,即:一题多解的解法之间,有的存在有机联系,如解法中 的两个方程,可以合成一个,直接可得 V3。 [解法三]以 M、M1、M2 分别表示氧气瓶中氧气的质量,氧气瓶中余下的氧气质量以 及用了的氧气的质量。并以 x 表示所用的天数,则:

x?
式中

M ? M1 M2
PV ? RT

M?

M1 ?

PV 1 1? RT

5

M2 ?

PV 2 2? RT

于是有:

x?

PV ? PV 130 ? 30 ? 10 ? 30 1 1 ? ? 90 ? 天? PV 1? 40 2 2

[解法四]设剩余在氧气瓶中氧气的质量为 M1,供使用的氧气的质量为 M2。则充在氧 气瓶中氧气的总质量为 M=M1+M2。 再分别选取氧气瓶充氧后的氧气、被使用的那一部分氧气、剩在氧气瓶中的氧气为研究 对象列出三个状态方程,且考虑三个方程中的温度相同,即可得解。 对解法三、四进行比较,解法三显然方便多了。 [例 3]有一种测定气体摩尔质量的方法是:将容器为 V 的容器充满测气体,出其压强 为 P1,温度为 T。并用天平称出容器连同气体的质量为 m1;然后放掉一部分气体,使压强 降到 P2,而保持温度不变,再称出容器连同气体的质量为 m2,通过计算,即可求得该气体 的摩尔质量μ 。 [分析]这是一个变质量问题。题设的质量为 m1、m2 不是气体的质量,而是气体连同容 器的质量。如何求得气体的质量呢?设容器的质量为 m。则这两种气体质量分别为 m1 ? m 、

m2 ? m ,在解题过程中,m 这个中间未知量肯定消去。
[解法一]将容器中气体作为研究对象,并视为理想气体,则可列出放气前后的状态方 程:

PV ? 1 PV ? 2
由式(1)得: m ? m1 ?

m1 ? m

?

RT RT

(1) (2)

m2 ? m

?

? PV 1
RT

。代入式(2)得:

PV ? ? m2 ? ? m1 ? ? 1 ? RT ? ? PV ? RT 2

?

即:

PV PV 2 ? ? 1 ? ? m2 ? m1 RT RT

经过整理即得:

??

m1 ? m2 RT P 1?P 2 V

6

[解法二]因为: PV ?

M

?

RT 。 RT

当 V、T、μ 为常数时,可得: V ? ?P ? ?

?

? ?M ?

此时压强的变化是由于质量的变化造成的,且两者成正比:

?P ? P2 ? P ?M ? m2 ? m1 1,
于是得:

??

m2 ? m1 RT P2 ? P 1 V

显然这种方法简单得多了。 [例 4]在 0 C 时 1 大气压的甲气体为 100cm3,与 100C 时的 5 大气压的乙气体 200cm3 混合在 150cm3 的容器中。求 300C 时混合气体的压强。 [分析]300C 时混合气体状态变化后的压强:
0

初态:P2 ? 5atm, V2 ? 200cm3 , T2 ? 273 ? 10 ? 283K 终态:P2? ? ?,
根据气态方程有:

V2? ? 200cm3 , T2? ? 273 ? 30 ? 303K

?= P2

? 5 ? 200 ? 303 P2 V2T2 = =7.14 ? atm ? ? T2 V2 283 ?150

根据道尔顿侵夺定律,混合气体的压强为:

? 2? ? 7.14 ? 0.74 ? 7.88 ? atm? P?P 1?P

7


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