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江苏省淮阴中学2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题


一、填空题 1.已知盒中装有形状与大小完全相同的五个球,其中红色球 3 个,黄色球 2 个.若从中随 机取出 2 个球,所取球颜色不同的概率等于 . (用分数表示) 2.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an?1 ? an ? n ,则 a10 ?
2 3.已知函数 f ( x ) ? x( x ? a ) 在 x ? 2 处有极大值,则 a =

; 。

4. 利用定积分的几何意义,求值

?

2

1

4 ? x 2 dx =

1 ? tan15? ? 1 ? tan15 ? 5.
3 cos x ? 1 6. 函数 y = cos x ? 2 的值域是



7.函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值



8.在等差数列 {an } 中,若 a3 ? ?5 , a7 ? ?1 ,则 a5 的值为





9.函数 y ? f (x) 的图像与函数 y ? log3 x( x ? 0) 的图像关于直线 y ? x 对称,则

f (x) ?

.

10.现时盛行的足球彩票,其规则如下:全部 13 场足球比赛,每场比赛有 3 种结果:胜、 平、负,13 长比赛全部猜中的为特等奖,仅猜中 12 场为一等奖,其它不设奖,则某人获得 特等奖的概率为 。 11.一个圆锥的侧面展开图是半径为 R 的圆的一半,则它的体积为———— ————————— 12.已知 f ( x) ? 4 x ? mx ? 1在 ? ??, ?2? 上递减,在 ? ?2, ?? ? 上递增,则 f (1) ?
2

13. 若过椭圆

x2 y2 ? ? 1 内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是 16 4

_______________.

1

?y ? 2 ?2 x ? y ? 4 ? 14 . 点 P( x, y)满 足 约 束 条 件 ? , 目 标 函 数 z ? 2 x ? y ? 10 的 最 小 值 x ? y ? 10 ? ?x ? 0 ?

y 10



2 2 10 x

二、解答题 15.有 4 个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)共有多少种放法? (2)恰有一个盒内放 2 个球,有多少种放法?

? 16.已知 ? 是第二象限的角, sin ( ?

?
3

)?

5 ? ? ,求 tan ( ? ) 和 cos? . 3 13

2

17.若 ?

? x ? sin ? ? cos? ,试求 y=f(x)的解析式. ? y ? sin ? cos?

18.某人有楼房一幢,室内面积共 180 ㎡,拟分隔两类房间作为旅游客房.大每间面积为 18 ㎡,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费为 40 元;小房间每间面积为 15 ㎡,可住游客 3 名, 每名游客每天住宿费为 50 元; 装修大房间每间需 1000 元, 装修小房间每间需 600 元. 如 果他只能筹款 8000 元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间, 能获得最大收益?

3

19. (本题满分共 14 分)已知数列 ?an ? , a1 ? a ,且 an?1 ? 2an ? 2n?1 (n ? N * ) , (1)若 a1 , a2 , a3 成等差数列,求实数 a 的值; (2)数列 ?an ? 能为等比数列吗?若能, 试写出它的充要条件并加以证明;若不能,请说明理由。

20. 已知等腰梯形 PDCB 中 (如图 1) PB=3, , DC=1, PB=BC= 2 , 为 PB 边上一点, PA=1, A 且 将△PAD 沿 AD 折起,使面 PAD⊥面 ABCD(如图 2) 。 (1)证明:平面 PAD⊥PCD; (2)试在棱 P B 上确定一点 M,使截面 AMC,把几何体分成的两部分 VPDCMA : VMACB ? 2 : 1 ; (3)在 M 满足(Ⅱ)的情况下,判断直线 AM 是否平行面 PCD.

4

参考答案 1.

3 5

2.45 【解析】 an?1 ? an ? n , a10 ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? ?? (a10 ? a9 )

? 0 ?1? 2 ? 3 ?? ? 9 ?
3.6 4.

9 ? (1 ? 9) ? 45 . 2

2? 3 ? 3 2

5. 3

? 2,
6.[ 7.5 8.略

4 3]

9. 3 x ( x ? R ) 10.

1 313
【解析】

1 ,且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件,故某 3 1 人全部猜中即获得特等奖的概率为 13 。 3
由题设,此人猜中某一场的概率为

3 ? R3 24 【解析】 试题分析:依题意有该圆锥母线长为 R,则底面周长为 ? R ,设圆锥底面圆的半径为 r ,则
11.

2? r ? ? R , 所 以 r ?
2

R 3 ,所以该圆锥的高为 R ,所以该圆锥的体积为 2 2

1 ?R? 3 3 ? ?? ? ? R? ? R3 . 3 ?2? 2 24
考点: 本小题主要考查圆锥的母线、 底面圆的半径、 圆锥的高之间的关系和圆锥体积的求法, 考查学生的运算求解能力. 点评:对于圆锥而言,圆锥的母线、底面圆的半径、圆锥的高和侧面展开图之间的关系是应 该重点掌握的内容,要准确掌握,灵活应用.

5

12.21 【解析】 试题分析: f ( x) ? 4 x2 ? mx ? 1在 ? ??, ?2? 上递减,在 ? ?2, ?? ? 上递增,所以函数的对称 轴为

m ? ?2,? m ? ?16 ,所以 f ( x) ? 4x2 ? 16x ? 1 ,所以 f (1) ? 4 ? 16 ? 1 ? 21. 8

考点:本小题主要考查二次函数的单调性、对称轴和二次函数求值问题,考查学生的运算求 解能力. 点评:二次函数的单调性与对称轴有关,要结合函数图象仔细考虑求解. 13. x ? 2 y ? 4 ? 0 . 【解析】 试题分析: 设弦 AB 的两个端点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

x12 y12 x2 y2 ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 两式作差 16 4 16 4

变形可得

y1 ? y2 4 x1 ? x2 1 1 ?? ? ? ?2 ? ? , 所 以 该 弦 所 在 直 线 的 方 程 为 x1 ? x2 16 y1 ? y2 4 2

1 y ? 1 ? ? ( x ? 2) ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2
考点:点差法求弦所在直线方程. 点 评 : 对 于 焦 点 在 x 轴 的 椭 圆 根 据 点 差 法 整 理 后 得 到 的 式 子 为

y1 ? y2 b2 x ? x b2 x ? ? 2 1 2 ? ? 2 0 ,由此根据弦点的坐标,可求出弦所在直 线的斜率进而得 x1 ? x2 a y1 ? y2 a y0
到所求直线的方程. 14.18 【解析】

?y ? 2 ?2 x ? y ? 4 ? 试题分析:因为由题意可知点 P( x, y) 满足约束条件 ? ,即可以作图可知,当目 x ? y ? 10 ? ?x ? 0 ?
标函数 z ? 2 x ? y ? 10 过 ?

?2 x ? y =4 的交点(3,2)时,目标函数取得最小值为 18,故答 ?y ? 2

案为 18. 考点: 本题主要考查线性规划在求解目标函数的最值中的应用, 解题的关键是分析目标函数 中 z 的几何意义,以判断取得最值的位置。 点评: 解决该试题的关键是先作出不等式组表示的可行域, 结合目标函数中 z 的几何意义可 求 z 取得最小值的位置,即可求解。 15.解: (1)一个球一个球地放到盒子里去,每只球都可有 4 种独立的放法,由分步乘法计 数原理,放法共有: 44 ? 256 种. (2) “恰有一个盒内放 2 个球” ,即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此, “恰有一个盒内放

6

2 球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有 144 种放法. 【解析】

? 16.已知 ? 是第二象限的角, sin ( ? ? 由 ? 是第二象限的角, sin ( ?
? 所以 tan ( ? ?
3 )?? 5 12

?
3

)?

5 ? ? ,求 tan ( ? ) 和 cos? . 3 13

?
3

)?

5 ? 12 ? 可知: cos( ? ) ? ? 3 13 13
---------------------5 分

cos? ? cos( ? ?

?
3

?

?
3

)?

5 3 ? 12 . 26

【解析】确定同角的三角函 数值,一定要注意确定角所在的象限.求 cos ? 的值时,

? ? ? ? (? ? ) ? ,这样就把要求的角的值,转化为已知角求解了,因而要注意角的拆分技
3 3

巧.

x2 ?1 17.y= 2
【解析】 试题分析:由 x=sinθ +cosθ ? x =1+2sinθ cosθ ? sinθ cosθ =
2

x2 ?1 2

∴y=f(x)=sinθ cosθ =

x2 ?1 2

考点:本题主要考查任意角的 三角函数、同角公式的应用。 点评:sin ? ? cos ? ,sin ? cos ? 的互求,常常通过平方(开方)实现,这类题属于常考题型。 18 .其一是将楼房室内全部隔出小房间12间;其二是隔出大房间3间,小房间8间 【解析】将已 知数据列成下表: 面积 利润 项目 装修费 消耗量 (元) (㎡) (元) 房间类型 大房间(间) 1000 18 5×40 小房间(间) 600 15 3×50 限额 8000 180 设应隔出大、小房间分别为 x,y 间,此时收益为 z 元,则

?18 x ? 15 y ? 180 ?1000 x ? 600 y ? 8000 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?
7

z ? 200 x ? 150 y
将上述不等式组化为

y

?6 x ? 5 y ? 60 ?5 x ? 3 y ? 40 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

13 12 C 5 x ? 3 y ? 40 (8,0)、 (0,13.3) 9 6 B

4 ?6 ? ?3 ? ?5 5 3

作出可行域,如图⑴,作直线 l:200x+150y=0,即 l:4x+3y= 0. (10,0)、 (0,12) 3 将直线 l 向右平移,得到经过可行域的点 B,且距原点最远的直线 l1. 解方程 组 A 3 6 8 9 10 o ?6 x ? 5 y ? 60

6 x ? 5 y ? 60

x

? ?5 x ? 3 y ? 40

l : 4x ? 3 y ? 0
图⑴

l1

得最优解

?x ? ? ?y ?

20 7 60 7

? 2.9 ? 8.6

但是房间的间数为整数,所以,应找到是整数的最优解. 当 x=3 时,代入 5x+3y=40 中,得 y ?
40?15 3

,此时 z=200×3+150 ? 25 ? 8 ,得整点(3,8) 3

×8=1800(元);
当 x=2 时,代入 6x+5y=60 中,得 y ?
60?12 5

,此时 z=200×2+ ? 48 ? 9 ,得整点(2,9) 5

150×9=1750(元) ;
当 x=1 时,代入 6x+5y=60 中,得 y ?
60?6 5

? 54 ? 10 ,得整点(1,10), 5

此时 z=200×1+150×10=1700(元) ; 当 x=0 时,代入 6x+5y=60 中,得 y ?
60 5

,此时 z=150×12=180 0(元) . ? 12 ,得整点(0,12)

由上①~④知,最优整数解为(0,12)和(3,8) . 答:有两套分隔房间的方案:其一是将楼房室内全部隔出小房间12间;其二是隔出大房间 3间,小房间8间,两套方案都能获得最大收益为1800元. 19.解.(Ⅰ) a1 ? a, a2 ? ?2a ? 4, a3 ? 4a ,

8 9 a a (Ⅱ)方法一:因为 an?1 ? 2an ? 2n?1 (n ? N * ) ,所以 n ?1 ? n ? 1 , n ?1 2 2n
因为 2a2 ? a1 ? a3 ,所以 2(?2a ? 4) ? a ? 4a ,得 a ? 得:

an ?1 1 a 1 a 1 a 1 ?a 1? ? ? ?( n ? ) ,故 ? n ? ? 是以 1 ? ? ? 为首项, n ?1 n n 2 2 2 2 2 2 2 2 ?2 2?

-1 为公比的等比数列, 所以

an 1 a 1 1 a 1 ? ? ( ? ) ? (?1) n ?1 ,得: an ? 2n [ ? ( ? ) ? (?1) n ?1 ] n 2 2 2 2 2 2 2
8

a 1 1 a 1 n ?1 1 n ? ( ? ) ? (?1) n an ?1 2 [ 2 ? ( 2 ? 2 ) ? (?1) ] ? ? 2? 2 2 2 1 a 1 1 a 1 an 2n [ ? ( ? ) ? (?1) n ?1 ] ? ( ? ) ? (?1) n ?1 2 2 2 2 2 2

?an ? 为等比数列 ?

an?1 a 为常数,易得当且仅当 a ? 1 时, n ?1 ? 2 为常数。 an an

方法二:因为 an?1 ? 2an ? 2n?1 (n ? N * ) ,所以 an?1 ? 2n ? ?2(an ? 2n?1 ) , 即

an?1 ? 2n ? ?2 ,故 ?an ? 2 n ?1? 是以 a1 ? 20 ? a ?1为首项,-2 为公比的成等比数列, n ?1 an ? 2

所以 an ? 2n?1 ? (a ?1)(?2)n?1 ,得: an ? (a ?1)(?2)n?1 ? 2n?1 (下同解法一) 方法三:由 前三项成等比得 a ? 1 ,进而猜测 a ? 1 ,对于所有情况都成立,再证明。 【解析】略 20. (1)证明见解析(2)M 为 PB 的中点(3)AM 与平面 PCD 不平行 【解析】 (I)证明:依题意知: CD ? AD.又 ? 面PAD ? 面ABCD

? DC ? 平面PAD.

又DC ? 面PCD

? 平面PAD ? 平面PCD.

(II)由(I)知 PA ? 平面 ABCD ∴平面 PAB⊥平面 ABCD. 在 PB 上取一点 M,作 MN⊥AB,则 MN⊥平面 ABCD, 设 MN=h

1 1 1 h S ?ABC ? h ? ? ? 2 ? 1 ? h ? 3 3 2 3 1 1 (1 ? 2) 1 VP ? ABCD ? S ?ABC ? PA ? ? ? 1? 1 ? 3 3 2 2 1 h h 1 要使 VPDCMA : VMACB ? 2 : 1, 即( ? ) : ? 2 : 1, 解得 h ? 2 3 3 2
则 VM ? ABC ? 即 M 为 PB 的中点. (III)以 A 为原点,AD、AB、AP 所在直线 为 x,y,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A(0,0,0) ,B(0,2,0) , C(1,1,0) ,D(1,0,0) , P(0,0,1) ,M(0,1,

1 ) 2

由(I)知平面 PAD ? 平面PCD, 作AQ ? PD ,则

AQ ? 平面PDC, 则AQ 为平面PCD 的法向量。
9

又? ?PAD 为等腰 Rt ?

1 1 ? Q为PD 的中点 , 即Q ( ,0, ) 2 2 1 1 1 1 因为 AQ ? AM ? ( ,0, )( 0,1, ) ? ? 0, 所以 AQ不垂直 AM 2 2 2 4
所以 AM 与平面 PCD 不平行.

10


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