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09年高考数学卷(海南宁夏.文)含详解.doc


2009 年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷) 数学(文史类)
第I卷
一, 选择题: (本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中 ,中有一项是符 合题目要求的. (1) 已知集合 A = 1,3,5,7,9} , B = {0,3, 6,9,12} ,则 A ∩ B = (A) (C)

{

{3,5} {3, 7}

(B) (D)

{3, 6} {3,9} {

1. 【答案】D 【解析】集合 A 与集合 B 都有元素 3 和 9,故 A ∩ B = 3,9} ,选.D. (2) 复数 (A) 1 2. 【答案】C 【解析】

3 + 2i = 2 3i
(B) 1 (C) i (D) i

3 + 2i (3 + 2i )(2 + 3i ) 6 + 9i + 4i 6 = = = i ,故选.C. 2 3i (2 3i )(2 + 3i ) 13

( ,得散点图 1;对变量 u , v 有观测数 (3)对变量 x, y 有观测数据( x1 , y1 ) i = 1, 2,...,10 ) 据( u1 , v1 ) (i=1,2,…,10),得散点图 2. 由这两个散点图可以判断.

(A)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 (C)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关

(B)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 (D)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关

3. 【答案】C 【解析】图 1 的的散点分布在斜率小于 0 的直线附近,y 随 x 的增大而减小,故变量 x 与 y 负 相关;图 2 的的散点分布在斜率大于 0 的直线附近,u 随 v 的增大而减小,故变量 v 与 v 正

相关,故选 C. (4)有四个关于三角函数的命题:
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

p1 : x∈ R, sin 2
p3 : x ∈ [ 0, π ] ,
其中假命题的是 (A) p1 , p4 4. 【答案】A

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : x, y ∈ R , sin( x y ) = sin x sin y
p4 : sin x = cos y x + y =

1 cos 2 x = sin x 2

π
2

(B) p2 , p4

(3) p1 , p3

(4) p2 , p3

【解析】因为 sin

2

x 2 x + cos =1,故 p1 是假命题;当 x=y 时, p2 成立,故 p2 是真命题; 2 2

1 cos 2 x 1 (1 2sin 2 x) = =|sinx|,因为 x ∈ [ 0, π ] ,所以,|sinx|=sinx, p3 正 2 2
确;当 x=

π
4

,y=

9π π 时,有 sin x = cos y ,但 x + y > ,故 p4 假命题,选.A. 4 2
2 2

5)已知圆 C1 : ( x + 1) + ( y 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x y 1 = 0 对称,则圆 C2 的方 程为 (A) ( x + 2) 2 + ( y 2) 2 =1 (C) ( x + 2) 2 + ( y + 2) 2 =1 5. 【答案】B (B) ( x 2) 2 + ( y + 2) 2 =1 (D) ( x 2) 2 + ( y 2) 2 =1

a 1 b +1 2 2 1 = 0 a = 2 【解析】设圆 C2 的圆心为(a,b) ,则依题意,有 ,解得: , b 1 b = 2 = 1 a +1
对称圆的半径不变,为 1,故选 B..

2 x + y ≥ 4, (6)设 x, y 满足 x y ≥ 1, 则 z = x + y x 2 y ≤ 2,
(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值 (B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值

6. 【答案】B 【解析】画出不等式表示的平面区域,如右图,由 z=x+y,得 y=-x+z,令 z=0,画出 y =-x 的图象,当它的平行线经过 A(2,0)时,z 取得最小值,最小值为:z=2,无最大值, 故选.B

(7)已知 a = ( 3, 2 ) , b = ( 1, 0 ) ,向量 λ a + b 与 a 2b 垂直,则 实数 λ 的值为 (A)

1 7

(B)

1 7

(C)

1 6

(D)

1 6

7. 【答案】A 【解析】向量 λ a + b =(-3 λ -1,2 λ ) a 2b =(-1,2) , , 因为两个向量垂直,故有(-3 λ -1,2 λ )×(-1,2)=0,即 3 λ +1+4 λ =0,解得: λ =

1 ,故选.A. 7
2

(8)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 am 1 + am +1 am = 0 , S 2 m 1 = 38 ,则 m = (A)38 8. 【答案】C 【解析】 因为 {an } 是等差数列, 所以,am 1 + am +1 = 2am , am 1 + am +1 am = 0 , 由 得: a m 2
2

(B)20

(C)10

(D)9

- a m =0,所以, a m =2,又 S 2 m 1 = 38 ,即
2

(2m 1)(a1 + a 2 m 1 ) =38,即(2m-1)×2 2

=38,解得 m=10,故选.C. (9) 如图,正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱线长为 1,线段 B1 D1 上 有两个动点 E,F,且 EF = (A) AC ⊥ BE (B) EF // 平面 ABCD (C)三棱锥 A BEF 的体积为定值 (D) AEF的面积与BEF的面积相等 9. 【答案】D 【解析】可证 AC ⊥ 平面D1 DBB1,从而AC ⊥ BE ; 故 A 正确,由 B1 D1 ‖ 平面 ABCD,可知 EF // 平面ABCD ,B 也正确;连结 BD 交 AC 于 O,则 AO 为三棱锥 A BEF 的高, S BEF = 体积为 ×

1 ,则下列结论中错误的是 2

1 1 1 × × 1 = ,三棱锥 A BEF 的 2 2 4

1 1 2 2 × = 为定值,C 正确;D 错误.选 D. 3 4 2 24

(10)如果执行右边的程序框图,输入 x = 2, h = 0.5 ,那么输出的各个数的和等于 (A)3 (B) 3.5 (C) 4 (D)4.5

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

10. 【答案】B 【解析】第 1 步:y=0,x=-1.5;第 2 步:y=0,x=-1;第 3 步:y=0,x=-0.5;第 4 步:y=0,x=0;第 5 步:y=0,x=0.5;第 6 步:y=0.5,x=1;第 7 步:y=1,x=1.5;第 8 步:y=1,x=2;第 9 步:y=1,退出循环,输出各数和为:0.5+1+1+1=3.5,故选.B. (11)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位: cm )为 (A) 48 + 12 2 (C) 36 + 12 2 (B) 48 + 24 2 (D) 36 + 24 2
2

11. 【答案】A 【解析】棱锥的直观图如右,则有 PO=4,OD= 3,由勾股定理,得 PD=5,AB=6 2 ,全面积为:

1 1 1 ×6×6+2× ×6×5+ ×6 2 ×4=48+ 2 2 2
(12)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值. 设 f ( x ) = min 2 x , x + 2,10 x (A) 4 (B) 5

12 2 ,故选.A.

{

}

(x ≥ 0),则 f ( x ) 的最大值为 (C) 6 (D) 7

12. 【答案】C 【解析】画出 y=2x,y=x+2,y=10-x 的图象,如右图,观察图象 可知,当 0≤x≤2 时,f(x)=2x,当 2≤x≤3 时,f(x)=x+2,当 x>4 时,f(x)=10-x,f(x)的最大值在 x=4 时取得为 6,故选 C.. 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13 题)~第(21)题为必考题, 每个试题考生都必须做答.第(22 题)~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

(13)曲线 y = xe x + 2 x + 1 在点(0,1)处的切线方程为 13. 【答案】 y = 3 x + 1

.

【解析】 y ' = e x + xe x + 2 ,斜率 k= e + 0 + 2 =3,所以,y-1=3x,即 y = 3 x + 1
0

(14)已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点, 若 P ( 2, 2 ) 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为 .

14, 【答案】 y = 4 x
2

【解析】设抛物线为 y2=kx,与 y=x 联立方程组,消去 y,得:x2-kx=0, x1 + x 2 =k=2 ×2,故 y 2 = 4 x . (15)等比数列{ an }的公比 q > 0 , 已知 a2 =1, an + 2 + an +1 = 6an ,则{ an }的前 4 项和

S4 =
15. 【答案】

15 2

n +1 n n 1 2 【解析】由 an + 2 + an +1 = 6an 得: q + q = 6q ,即 q + q 6 = 0 , q > 0 ,解得:q

1 (1 2 4 ) 1 15 2 =2,又 a2 =1,所以, a1 = , S 4 = = . 2 1 2 2
(16)已知函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + φ ) 的图像如图所示,则 f

7π 12

=

.

16. 【答案】0 【解析】由图象知最小正周期 T= (x)=0,即 2 sin(3 ×

2 5π π 2π 2π π ( )= = ,故 ω =3,又 x= 时,f 3 4 4 3 ω 4

π
4

+ φ )=0,可得 φ =

π
4

,所以, f

7π 12

7π π + ) =0. = 2 sin(3 × 12 4

三,解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分)
w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知 AB = 50m , BC = 120m ,于 A 处测得水深

AD = 80m , 于 B 处 测 得 水 深 BE = 200m , 于 C 处 测 得 水 深 CF = 110m ,求∠DEF 的余弦值.
(17) 解:
w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

DF = MF 2 + DM 2 = 302 + 1702 = 10 198 , DE = DN 2 + EN 2 = 502 + 1202 = 130 ,

w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

EF = ( BE FC ) 2 + BC 2 = 902 + 120 2 = 150 . ... 分 ...6

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

在 DEF 中,由余弦定理,

cos ∠DEF =

DE 2 + EF 2 DF 2 1302 + 1502 102 × 298 16 = = . 2 DE × EF 2 × 130 ×150 65

... ...12 分

(18) (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ABC 中,⊿ PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 (Ⅰ)证明:AB⊥PC (Ⅱ)若 PC = 4 ,且平面 PAC ⊥平面 PBC , 求三棱锥 P ABC 体积. (18)解: (Ⅰ)因为 PAB 是等边三角形, ∠PAC = ∠PBC = 90° , 所以 Rt PBC Rt PAC ,可得 AC = BC . 如图,取 AB 中点 D ,连结 PD , CD , 则 PD ⊥ AB , CD ⊥ AB , 所以 AB ⊥ 平面 PDC , 所以 AB ⊥ PC . ... 分 ...6
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(Ⅱ)作 BE ⊥ PC ,垂足为 E ,连结 AE . 因为

Rt PBC Rt PAC ,

所以 AE ⊥ PC , AE = BE . 由已知,平面 PAC ⊥ 平面 PBC ,故 ∠AEB = 90° . ... 分 ...8

因为 Rt AEB Rt PEB ,所以 AEB, PEB, CEB 都是等腰直角三角形. 由已知 PC = 4 ,得 AE = BE = 2 , AEB 的面积 S = 2 . 因为 PC ⊥ 平面 AEB , 所以三角锥 P ABC 的体积

1 8 V = × S × PC = 3 3

....12 分 ...

(19) (本小题满分 12 分) 某工厂有工人 1000 名,其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人) ,另外 750 名工 人参加过长期培训(称为 B 类工人).现用分层抽样方法(按 A 类,B 类分二层)从该工厂的 工人中共抽查 100 名工人,调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数). (Ⅰ)A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人? (Ⅱ)从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2 表 1: 生产能力分 组 人数 表 2: 生产能力分组 人数 4 8

[100,110 )

[110,120 )

[120,130 )
x

[130,140 )
5

[140,150 )
3

[110,120 )
6

[120,130 )
y

[130,140 )
36

[140,150 )
18

(1) 先确定 x, y ,再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言,A 类工人中 个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观 察直方图直接回答结论)

(ii)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人和生产能力的平均数 (同一组中的数据用该区间的中点值作代表) .

(19)解: (Ⅰ) A 类工人中和 B 类工人中分别抽查 25 名和 75 名. (Ⅱ)(ⅰ)由 4 + 8 + x + 5 + 3 = 25 ,得 x = 5 , ... 分 ...4

6 + y + 36 + 18 = 75 ,得 y = 15 .
频率分布直方图如下

w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

... 分 ...8 从直方图可以判断: B 类工人中个体间的差异程度更小. (ii) x A = ... 分 ...9

4 8 5 5 3 × 105 + × 115 + × 125 + × 135 + × 145 = 123 , 25 25 25 25 25 6 15 36 18 xB = × 115 + × 125 + × 135 + × 145 = 133.8 , 75 75 75 75 25 75 x= × 123 + × 133.8 = 131.1 100 100
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

A 类工人生产能力的平均数,B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估 计值分别为 123,133.8 和 131.1.

(20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个项点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1 (I) (II) 求椭圆 C 的方程' 若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,

OP OM

=e

(e 为椭圆 C 的离心率) ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. (20)解: (Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得 {
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

a c = 1, a + c = 7.

解得 a=4,c=3,

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 + = 1. 16 7

w.w. w.k.s.5. u.c. o. m

(Ⅱ)设 M(x,y),P(x, y1 ),其中 x ∈ [ 4, 4] . 由已知得

x 2 + y12 = e2 . 2 2 x +y
而e =

3 2 2 2 2 ,故 16( x + y1 ) = 9( x + y ). 4
y12 = 112 7 x 2 , 16
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m



由点 P 在椭圆 C 上得 代入①式并化简得 9 y 2 = 112, 所以点 M 的轨迹方程为 y = ± (21) (本小题满分 12 分)

4 7 (4 ≤ x ≤ 4), 轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

已知函数 f ( x ) = x 3 3ax 2 9a 2 x + a 3 . (1) 设 a = 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (2) 若 a >

1 ' ,且当 x ∈ [1, 4a ] 时, f ( x ) ≤ 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围. 4

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计 , , 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (21)解: (Ⅰ)当 a=1 时,对函数 f ( x ) 求导数,得
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

f ' ( x) = 3 x 2 6 x 9.
令 f ( x ) = 0, 解得x1 = 1, x2 = 3.
'
w.w.w.k.s.5 .u. c.o. m

列表讨论 f ( x ), f ' ( x ) 的变化情况:

x
f ' ( x)

(∞, 1)
+

1
0 极大值 6

(-1,3) —

3 0 极小值-26

(3, +∞)
+

f ( x)







所以, f ( x ) 的极大值是 f ( 1) = 6 ,极小值是 f (3) = 26. (Ⅱ) f ' ( x) = 3 x 2 6ax 9a 2 的图像是一条开口向上的抛物线,关于 x=a 对称. 若

1 < a ≤ 1, 则f ' ( x)在[1,4a]上是增函数,从而 4

w.w.w.k.s.5.u .c. o.m

f ' ( x)在[1,4a]上的最小值是 f ' (1) = 3 6a 9a 2 , 最大值是 f ' (4a ) = 15a 2 .
由 | f ( x ) |≤ 12a, 得 12a ≤ 3 x 6ax 9a ≤ 12a, 于是有
' 2 2
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

f ' (1) = 3 6a 9a 2 ≥ 12a, 且f ' (4a ) = 15a 2 ≤ 12a. 1 4 ≤ a ≤ 1,由f ' (4a ) ≤ 12a得0 ≤ a ≤ . 3 5 1 1 4 1 4 所以 a ∈ ( ,1] ∩ [ ,1] ∩ [0, ], 即a ∈ ( , ]. 4 3 5 4 5
由 f (1) ≥ 12a得
'
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

' 2 ' 若 a>1,则 | f ( a ) |= 12a > 12a.故当x ∈ [1, 4a ]时 | f ( x ) |≤ 12a 不恒成立.

所以使 | f ' ( x ) |≤ 12a ( x ∈ [1, 4a ]) 恒成立的 a 的取值范围是 ( , ]. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲

1 4 4 5

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

如图,已知 ABC 中的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H ,∠ B=60 , F 在 AC 上, 且 AE = AF .
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(1)证明: B, D, H , E 四点共圆; (2)证明:CE 平分 ∠ DEF. (22)解: (Ⅰ)在△ABC 中,因为∠B=60°, 所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为 AD,CE 是角平分线, 所以∠HAC+∠HCA=60°, 故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°, 所以 B,D,H,E 四点共圆. (Ⅱ)连结 BH,则 BH 为 ∠ABC 的平分线,得 ∠HBD = 30°
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m w.w.w.k.s.5.u .c. o.m

w.w.w.k.s.5.u .c. o.m

由(Ⅰ)知 B,D,H,E 四点共圆, 所以 ∠CED = ∠HBD = 30°

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

又 ∠AHE = ∠EBD = 60°,由已知可得 EF ⊥ AD , 可得 ∠CEF = 30°
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

所以 CE 平分 ∠DEF (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 已知曲线 C 1 :

x = 4 + cos t , x = 8 cos θ , (t 为参数) C 2 : , ( θ 为参数) . y = 3 + sin t , y = 3sin θ ,

(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t =

π
2

,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线

x = 3 + 2t , C3 : y = 2 + t
(23)解:

(t 为参数)距离的最小值.

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(Ⅰ) C1 : ( x + 4) + ( y 3) = 1, C2 :
2 2

x2 y 2 + =1 64 9

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

C1 为圆心是 (4, 3) ,半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.
(Ⅱ)当 t =
w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

π
2

时, P ( 4, 4).Q (8cos θ , 3sin θ ) ,故 M ( 2 + 4 cos θ , 2 +

3 sin θ ) 2

C3 为直线 x 2 y 7 = 0 ,
M 到 C3 的距离 d =

5 | 4 cos θ 3sin θ 13 | 5

w.w.w.k.s.5 .u. c.o. m

从而当 cos θ =

4 3 8 5 ,sin θ = 时, d 取得最小值 5 5 5

w.w.w.k.s .5.u. c.o. m

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 如图, O 为数轴的原点, A, B, M 为数轴上三点, C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与原 点的距离, y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和.

(1)将 y 表示为 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70, x 应该在什么范围内取值?

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

(24)解: (Ⅰ) y = 4 | x 10 | +6 | x 20 |, 0 ≤ x ≤ 30 (Ⅱ)依题意, x 满足
w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

4 | x 10 | +6 | x 20 |≤ 70, 0 ≤ x ≤ 30
解不等式组,其解集为 [9, 23] 所以

x ∈ [9, 23]

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

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