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金堂中学高2014级数学周练试题三A(理)


金堂中学高 2014 级数学周练三(理科)
(满分:150 分,测试时间:120min,试题命制:刘际成 ) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要 求的. 1.复数 z 满足 i ? z ? 1? 2i ,则 z ? A. 2 ? i B. ? 2 ? i
x0

C.

1? 2i )

D. 1? 2i B. ?x ? R , 2x ? 1 D. ?x0 ? R , 2 0 ? 1
x

2.已知命题 p : ?x0 ? R , 2 ? 1 .则 ?p 是( A. ?x ? R , 2 ? 1
x

C. ?x0 ? R , 2 0 ? 1
x

3. a ? 2 ”是“直线 y ? ? ax ? 2与y ? “ A.充分不必要条件 C.充要条件

a x ? 1 垂直”的( 4

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 设 ?a n ?为等差数列,公差 d ? ?2 , S n 为其前 n 项和,若 S11 ? S10 ,则 a1 = A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 5.已知α ,β 表示两个不同的平面,l 为α 内的一条直线,则“α //β 是“l//β ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在区间 ? 0,1? 上任取 2 个数 a, b ,若向量 m ? ? a, b ? ,则 m ? 1 的概率是 A. )

??

??

1 2

B.

1 4

C.

? 2

D.

7.若函数 f ( x) ? log a ( x ? b) 的图象如右图 1,其中 a, b 为常数.则函数

? 4 y
1

g ( x) ? a x ? b 的大致图象是( y



?1 o
y y

y

1 ?1
图1

x

1
?1 o
A.

1 ?1

x

?1
B.
x

1

o ?1
y

1
x

?1

1

o ?1

1
x

1
o ?1 ?1
D.

1

x

C.
2

8.设 x, y ? R , a ? 1, b ? 1 ,若 a ? b ? 2 , a ? b ? 4 ,则

2 1 ? 的最大值为( x y

)

A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知函数 f ( x) ( x ?R) 是偶函数,且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,当 x ?[0 , 2] 时, f ( x) ? 1 ? x , 则方程 f ( x) ? A.8

1 在区间 [?10 ,10] 上的解的个数是( ) ?| x| B.9 C.10

D.11

? 2x3 ?1 ? , x ? ? ,1?, ? ? x ?1 ?2 ? 10 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? 1 1 ?? x ? , x ? ?0, 1 ?. ? 2? ? 3 6 ? ? ?
周练三(理)

函 数 g ( x) ? a s i n ( x) ? 2a ? 2(a ? 0) , 若 存 在

?

6

1

x1 , x 2 ? ?0,1?,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是
A.

?1 4? ?2 , 3? ? ?

B. ? 0,

? ?

1? 2? ?

C.

?2 4? ?3 , 3? ? ?

D.

?1 ? ? 2 ,1? ? ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,书写不 清楚,模棱两可均不得分. 11.如图是甲、乙两名篮球运动员 2012 年赛季每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人比赛得分的中位数 之和是______.

12.已知向量 a ? (4, m) , b ? (?1, 2) ,若 a ? b ? a ? b ,则实数 m 等于 13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.

14.执行如右下图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的值为



15.定义在 (0, ??) 上函数 f ( x) 满足对任意 x, y ? (0, ??) ,都有 xyf ( xy) ? xf ( x) ? yf ( y) , 记 数 列 a n ? f (2 n ) , 有 以 下 命 题 : ① f (1) ? 0 ; ② a1 ? a2 ; ③ 令 函 数 g ( x) ? xf ( x) , 则
开始

1 g ( x) ? g ( ) ? 0 ;④令数列 bn ? 2 n ? a n ,则数列 {bn } 为等比数列, 输入 x x
其中真命题的为 x=y


y=2x+1 |x-y|>8
是 输出 y 结束

选择题 答案 填空题 答案

1 11

2

3 12

4

5 13

6

7 14

8

9 15

10

周练三(理)

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 在等差数列 ?a n ?中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 ,公比为 q , 且 b2 ? S2 ? 12, q ?

S2 . b2

(Ⅰ)求 a n 与 bn ; (Ⅱ)数列 ?cn ? 满足 c n ?

1 ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . Sn

▲ 17. 已知向量 a = (cos x, sin x) , b = (? cos x, cos x) , c = (?1,0) (1)若 x ?

?
6

,求向量 a 、 c 的夹角

(2)当 x ? [

? 9?
2 , 8

] 时,求函数 f ( x) ? 2a ? b ? 1 的最大值

▲ 18. (本题满分 12 分) 某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测。假设该项新技术的指 标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为

2 2 1 , , ,指标甲、乙、丙检测合格分别记 4 分、2 分、4 分, 3 3 2

若某项指标不合格,则该项指标记 0 分,各项指标检测结果互不影响。 (Ⅰ)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率; (Ⅱ)记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望。 ▲ 19.(本题满分 12 分) 如图: C 、 D 是以 AB 为直径的圆上两点, AB ? 2 AD ? 2 3 , AC ? BC , F 是 AB 上一点,且

1 AB ,将圆沿直径 AB 折起,使点 C 在平面 ABD 的射影 E 在 BD 上,已知 CE ? 2 . 3 (1)求证: AD ? 平面 BCE ; (2)求证: AD // 平面 CEF ; (3)求三棱锥 A ? CFD 的体积. AF ?



周练三(理)

3

20. (本题满分 13 分) 抛物线 P : x ? 2 py 上一点 Q(m, 2) 到抛物线 P 的焦点的距离为 3,A, B, C, D 为抛物线的四个不同的
2

点,其中 A 、 D 关于 y 轴对称, D( x0 , y0 ) , B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) ,

? x0 ? x1 ? x0 ? x2 ,直线 BC 平行于抛物线 P 的以 D 为切点的切线.
(Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)证明: ?CAD ? ?BAD ; (Ⅲ)D 到直线 AB 、AC 的距离分别为 m 、n , m ? n ? 且 的方程.

2 AD ,?ABC 的面积为 48, 求直线 BC



21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x 1 的图象为曲线 C , 函数 g ( x) ? ax ? b 的图象为直线 l . x 2

(Ⅰ) 当 a ? 2, b ? ?3 时, 求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值; (Ⅱ) 设直线 l 与曲线 C 的交点的横坐标分别为 x1 , x2 , 且 x1 ? x2 , 求证: ( x1 ? x2 ) g ( x1 ? x2 ) ? 2 . ▲

周练三(理)

4

周练三 选择填空:BAABA DDCA(B) 11.54 12.-2008 13.7 14.23 15.①②③. (1)

2. 【解析】特称命题的否定是全称命题,故选 A. 3. 【解析】若直线 y ? ? ax ? 2与y ?

a a x ? 1 垂直,则 ?a ? = ? 1 ,即 a ? ?2 ,选 A. 4 4

7. 【解析】由图 1 知 0 ? a ? b ? 1, 故选 D.

8. 【解析】由题意得:

1 1 ? log 2 a , ? log 2 b , x y

2 1 a2 ? b 2 ? ? 2 log 2 a ? log 2 b? log 2 a 2b ? log 2 ( ) ? 2, 故选 B. x y 2
9. 【解析】 由题意可得 f (4 ? x) ? f (? x) ? f ( x) , 函数的周期是 4, 可将问题转化为 y ? f ( x) 与 y ? ? 在区间 [?10 ,10] 有几个交点. 画图知,有 10 个交点,选 C. 10.A 【解析】记函数 f ( x) 的值域为 A ,函数 g ( x) 的值域为 B ,由题 A ? B ? ? 1、当 x ? ? ,1? 时, f ?( x ) ?

1 ?| x|

?1 ? ?2 ?

4 x 2 +6 x 2

? x ? 1?

2

1 >0, 故 f ( x) ? ( ,1] 6

当 x ? ?0, ? 时, f ( x) ? [0, ] ,因此 A ? [0,1] 2 6 2、当 x ? ? 0,1? 时,

? 1? ? ?

1

1 3 x) ? [0, ] ,于是 B =[2 ? 2a,2 ? a] 6 6 6 2 2 3 1 4 3、若 A ? B=? ,则 2 ? 2a>1 或 2 ? a <0 ,解得 a < 或 a > 2 2 3 x ? [0, ] ? sin (
于是答案选 A (文)B 11.54 试题分析:甲得分为:17,22,28,34,35,36,其中位数为

?

?

?

28 ? 34 ? 31; 乙得分为:12,16,21,23,29,31,32, 2

其中位数为 23,故甲、乙两人比赛得分的中位数之和是 54. 考点:茎叶图. 12. 2 13. 16? ? 16 14. 【解析】 x ? 2, y ? 5,| 2 ? 5 |? 8否 ,∴ x ? 5 , y ? 11 , | 5 ? 11|? 8否 ,∴ x ? 11 , y ? 23 , |11 ? 23|? 8 , ∴输出 y,∴ y ? 23 . 15. 【解析】①②③. 试 题 分 析 : 令 x ? y ? 1 , 由 xyf ( xy) ? xf ( x) ? yf ( y) 得 , f (1)? 0, ① 正 确 ; 令 x ? y ? 2 , 则

周练三(理)

5

4 f (4) ? 2 f (2) ? 2 f (2) ,即 f (4) ? f (2) ,又 a1 ? f (2), a2 ? f (4) ,所以 a1 ? a2 ,②正确;令 y ?
则有 f (1) ? xf ( x) ?

1 , x

1 1 1 f ( ) ,即 g ( x) ? g ( ) ? f (1) ? 0 ,③正确;因为 b1 ? 2a1 , b2 ? 4a2 , b3 ? 8a3 ,而 x x x

a1 ? a2 , a3 ? f (8) ,令 x ? 2, y ? 4 ,由 xyf (xy ) ? xf (x ) ? yf (y ) 得, 8 f (8) ? 2 f (2) ? 4 f (4) ,化简得
f (8) ? 3 3 f (2) ,即 a3 ? a1 ,显然 b1 , b2 , b3 不是等比数列中的项,所以 {bn } 定不是等比数列,④错. 4 4

15.试题分析:作出该不等式组表示的平面区域,设直线 x ? y ? 3 、 y ? x ? 1 与 y 轴分别交于点 A、B , 则 A 0,3)、(0,1 .直线 x ? y ? 3 与直线 y ? x ? 1 的交点是 C (1, 2) .该不等式组表示的平面区域即为三 ( B ) 角形 ABC 围成的平面区域.直线 y ? kx ?1( k ? 0) 过定点(0,-1).因为平面区域内点 P( x, y ) 到直线

y ? kx ? 1(k ? 0) 的最大距离为 2 2 ,因为 k ? 0 ,由图可知点 A 到 y ? kx ? 1(k ? 0) 距离最大.所以

k ? 0 ? 3? 1 k 2 ?1

? 2 2 ,?k ? 1 .
Y

A C

B
-1 O 3

X

P

B1

16. 【解答】 (Ⅰ)设 ?a n ?的公差为 d ,

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S2 6 ? d 解得 q ? ?4 (舍)或 q ? 3 , d ? 3 . 因为 ? 所以 ? q? . q? , ? ? q b2 ? ?
故 an ? 3 ? 3(n ? 1) ? 3n (Ⅱ)? Sn ? , bn ? 3
n ?1



n(3 ? 3n) 2 2 1 1 ,? Cn ? ? ( ? ), 2 n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

?Tn ?

2? 1 1 1 1 1 ? 2 1 2n ?(1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ? ( n ? n ? 1) ? ? 3 (1 ? n ? 1) ? 3(n ? 1) . 3? ?
? ? 5? ; (2) f ( x) max ? 1 . 6
6

17. (1) a , c ?
周练三(理)

【解析】

c c 试题分析: 1) ( 为求向量 a 、 的夹角, 首先计算向量 a 、 的数量积, 然后计算

? ? ? ? a ?c 3 cos a , c ? ? ? ?? ? a?c 2



根据

? ? 0 ? a, c ? ?

? ? 5? a, c ? 6 . 得到
2 sin(2 x ? ) ,根据 4

(2)利用向量的坐标运算,并利用三角函数的和差倍半公式,化简得到, f ( x) ? 角的范围,进一步确定函数的最大值. 试题解析: (1)∵ a = (cos x, sin x) , c = (?1,0) ∴a ? 当x ?

?

?

? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 , c ? (?1) 2 ? 02 ? 1
时, a = (cos

2分

?
6

?

? 3 1 ,sin ) ? ( , ) 6 6 2 2
4分

? ? 3 1 3 a ?c ? ? (?1) ? ? 0 ? ? 2 2 2

? ? ? ? a ?c 3 cos a , c ? ? ? ?? ? a?c 2
∵ 0 ? a, c ? ? (2)

5分

? ?

∴ a, c ?

? ?

5? 6

6分 7分

f ( x) ? 2a ? b ? 1 ? 2(? cos2 x ? sin x cos x) ? 1

? 2 sin x cos x ? (2 cos2 x ? 1)

? sin 2x ? cos 2x ? ? 2 sin(2 x ? ) 4 ? 9? ∵ x ?[ , ] 2 8
∴ 2x ?

9分 10 分

?
4

?[

? 2 3? ] ,2? ] ,故 sin(2 x ? ) ? [?1, 4 2 4

11 分

3? ? ,即 x ? 时, f ( x) max ? 1 4 4 2 19.解: (1)证明:依题意: AD ? BD ??????????2 分 ∴ CE ? AD ?????2 分 ? CE ? 平面 ABD ? BD ? CE ? E ∴ AD ? 平面 BCE . ???????????5 分 (2)证明: Rt?BCE 中, CE ? 2 , BC ? 6 ∴ BE ? 2 ????????????6 分
∴当 2 x ?

?

?

12 分

周练三(理)

7

Rt?ABD 中, AB ? 2 3 , AD ? 3 ∴ BD ? 3 . ??????????????????????????7 分 BF BE 2 ∴ . ??????????????????????8 分 ? ? BA BD 3
∴ AD // EF ? AD 在平面 CEF 外 ∴ AD // 平面 CEF . ??????????????????????10 分 (3)解:由题设知 AF ?

1 2 3 ? , AD ? 3 , ?BAD ? ?????11 分 AB ? 3 3 3 1 1 2 3 ? 3 ∴ S? FAD ? AF ? AD ? sin ?BAD ? ? ???12 分 ? 3 ? sin ? 2 2 3 3 2

? CE ? 平面 ABD 1 1 3 6 ∴ V A?CFD ? VC ? AFD ? ? S ?FAD ? CE ? ? . ?????14 分 ? 2? 3 3 2 6
18. 解: (Ⅰ)记该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件 A、B、C,则事件“得分 不低于 8 分”表示为 ABC ? ABC .因为 ABC和ABC 为互斥事件,且 A、B、C 彼此独立, 所以

P ( ABC ? A BC ) ? P ( ABC ) ? P ( A BC ) ? P ( A) P ( B ) P (C ) ? P ( A) P ( B ) P (C )
=

2 2 1 2 1 1 1 ? ? ? ? ? ? . 3 3 2 3 3 2 3

??????????5 分

(Ⅱ)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数 ? 的取值为 0,1,2,3,

1 1 1 1 P(? ? 0) ? P( ABC) ? P( A) P( B) P(C ) ? ? ? ? 3 3 2 18 ,?????????7 分
P(? ? 1) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC )

2 1 1 1 2 1 1 1 1 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 2 3 3 2 3 3 2 18 ,????????????8 分
P(? ? 2) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC )

2 2 1 2 1 1 1 2 1 8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,??????????????9 分 3 3 2 3 3 2 3 3 2 18 2 2 1 4 ??????????????10 分 P(? ? 3) ? P( ABC) ? ? ? ? , 3 3 2 18
= 所以,随机变量的分布列为

?
P

0
1 18

1

2
8 18

3
4 18

5 18

??????????11 分

周练三(理)

8

所以 E? ?

5 16 12 33 11 ? ? ? ? . 18 18 18 18 6

??????????12 分

20. 【解答】 (Ⅰ)?|QF|=3=2+
2

p , ? p =2. 2

(Ⅱ)?抛物线方程为 x ? 4 y ,
2 2 2 x0 x0 x12 x2 A( ? x 0 , ), D( x0 , ), B( x1 , ) ,C( x 2 , ), 4 4 4 4
2 x12 x2 ? x x ?x ? 4 4 ? 1 2 ? 0 ,? x1 ? x2 ? 2x0 , x1 ? x2 4 2

? y? ?

x 2

?k

BC

? k AC

2 2 2 x2 x0 x12 x0 ? ? x ?x x ?x , ? 4 4 ? 2 0 , , k AB ? 4 4 ? 1 0 , x2 ? x0 4 x1 ? x0 4

x2 ? x0 x1 ? x 0 x 1 ? x2 ? 2 x0 ? ? ?0, 4 4 4 所以直线 AC 和直线 AB 的倾斜角互补, ??BAD ? ?CAD . (Ⅲ)设 ?BAD ? ?CAD ? ? , ? k AC ? k AB ?
则 m=n=|AD|sin ? , ? sin ? ?

2 ? ? ,? ? ? (0. ) ? ? ? , 2 2 4

? l AC : y ?

2 x0 x2 ? x ? x0 即 y ? x ? 0 ? x0 , 4 4

把 l AC

2 x0 2 : y ? x? ? x0 与抛物线方程 x 2 ? 4 y 联立得: x 2 ? 4 x ? 4 x0 ? x0 ? 0 , 4

2 ? ? x 0 x 2 ? ?4 x 0 ? x 0 ,? x2 ? x0 ? 4 ,同理可得 x1 ? x0 ? 4 ,

? ? x0 ? x0 ? 4 ? x0 , ? x0 ? 2,

? S ?ABC ?

1 1 2 | AB || AC |? 2 (4 ? 2 x0 ) 2 (2 x0 ? 4) ? 4( x0 ? 4) ? 48 , 2 2

? x0 ? 4 ,? B(0,0) ? l BC : y ? 2 x .
21. 【解答】(Ⅰ)? a ? 2, b ? ?3 ? F ( x) ?

ln x ? x?3 x

F ?( x) ?
周练三(理)

1 ? ln x 1 ? ln x ? x 2 ?1 ? ? 0 ? x ?1 x2 x2
9

x ? (0,1), F ?( x) ? 0, F ?( x) 单调递增, x ? (1,??), F ?( x) ? 0, F ?( x) 单调递减,

F ( x) max ? F (1) ? 2

???4分

(Ⅱ)不妨设 x1 ? x 2 ,要证 ( x1 ? x 2 ) g ( x1 ? x 2 ) ? 2 , 只需证 ( x2 ? x1 ) ? a ( x2 ? x1 ) ? b ? ? 2

?1 ?2

? ?

(﹡)

?

ln x1 1 ln x2 1 ? ax2 ? bx2 , ? ax1 ? bx1 , x2 2 x1 2

1 ? ln x2 ? ln x1 ? a( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ? b( x2 ? x1 ) , 2
将(﹡)两边同乘以 x2 ? x1 得,

?1 ? ( x2 ? x1 ) ? a( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ? b( x2 ? x1 ) ? ? 2( x2 ? x1 ) , ?2 ?
只需证 ( x2 ? x1 )(ln x2 ? ln x1 ) ? 2( x2 ? x1 ) ,即证 ( x2 ? x1 ) ln

x2 ? 2( x2 ? x1 ) , x1

令 H ( x ) ? ( x ? x1 ) ln

x ? 2( x ? x1 ) , x ? ( x1 ,??) , x1 x x x ? 2( x ? x1 ) ? 0 ? H ( x1 ) , H ?( x) ? ln ? 1 ? 1 , x1 x1 x


只需证 H ( x ) ? ( x ? x1 ) ln

令 G ( x ) ? ln

x x1 x ? x1 ? ? 1 ,? G ?( x) ? ?0 x1 x x2

? G (x) 在 x ? ( x1 ,??) 单调递增. ? G ( x) ? G ( x1 ) ? 0 ,即 H ?( x) ? 0 ,? H (x) 在 x ? ( x1 ,??) 单调递增. ? H ( x) ? H ( x1 ) ? 0 ,即 H ( x) ? ( x ? x1 ) ln ? ( x1 ? x 2 ) g ( x1 ? x 2 ) ? 2 .
1 a x+a (文) 解 (1)由题意 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f′(x)= + 2= 2 . x x x ∵a>0,∴f′(x)>0, 故 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.
周练三(理) 10

x ? 2( x ? x1 ) ? 0 , x1

x+a (2)由(1)可知,f′(x)= 2 . x ①若 a≥-1,则 x+a≥0,即 f′(x)≥0 在[1,e]上恒成立, 此时 f(x)在[1,e]上为增函数, 3 3 ∴f(x)min=f(1)=-a= ,∴a=- (舍去). 2 2 ②若 a≤-e,则 x+a≤0,即 f′(x)≤0 在[1,e]上恒成立, 此时 f(x)在[1,e]上为减函数, a 3 ∴f(x)min=f(e)=1- = , e 2 e ∴a=- (舍去). 2 ③若-e<a<-1,令 f′(x)=0 得 x=-a, 当 1<x<-a 时,f′(x)<0, ∴f(x)在(1,-a)上为减函数; 当-a<x<e 时,f′(x)>0, ∴f(x)在(-a,e)上为增函数, 3 ∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1= , 2 ∴a=- e. 综上所述,a=- e. a (3)∵f(x)<x2,∴ln x- <x2.又 x>0,∴a>xln x-x3. x 令 g(x)=xln x-x3,h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2, 1-6x2 1 h′(x)= -6x= .∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0, x x ∴h(x)在(1,+∞)上是减函数.∴h(x)<h(1)=-2<0,即 g′(x)<0, ∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数.g(x)<g(1)=-1,∴当 a≥-1 时,f(x)<x 在(1,+∞)上恒成立.
2

周练三(理)

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