当前位置:首页 >> 数学 >>

函数与导数专题练习题


函数与导数
一.主要数学思想: 分类讨论、形数结合、构建应用、函数与方程等。 常见讨论:就导数的正负、就系数、就判别式、就根的大小、就对称轴的位置,…等等。 构建应用:这里主要是指构建出一个函数,把问题转化为考察函数的性质(如最值)来 解决,如参数范围中的变量分离法。多个变数时,可利用拼凑、同除等手段构建成某一整块 的函数,如 ln x1 ? ln x2 ?


x2 ? x1 。 x2 ? x2

函数与方程:方程解的个数、解的范围等,转化为函数图象的交点个数及范围,反之亦 然。 二.主要解题思路: 定义域 ?求导 f ?( x) ? 导数的正负? ? f ?( x) ? 0 ? 列表判断

单调区间 ? ? 参数范围 ? ? ? ?? 最值 ? ?不等式 ? 放缩公式 ? 求和 ? 比较证明 ? ? ? ? 交点(零点,方程的解)的个数 ? ? ? 极值 ?
练习:1. (分式函数型)已知函数 f ( x) ? (1)当 a ?

x2 ? 2 x ? a , x ? [1, ??) x

1 时求函数 f ( x ) 的最小值; 2 (2)若对任意 x ?[1, ??), f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。

1 3 1 2 ax ? bx ? cx(a, b, c ? R, a ? 0) 的图象在点 ? x, f ( x) ? 3 2 1 处的切线的斜率为 k ( x) ,且函数 g ( x) ? k ( x) ? x 为偶函数.若函数 k ( x) 满足下列条件: 2 1 2 1 ① k (?1) ? 0 ;②对一切实数 x ,不等式 k ( x) ? x ? 恒成立. 2 2 (Ⅰ)求函数 k ( x) 的表达式; 1 1 1 2n ? ??? ? (Ⅱ)求证: (n ?N? ) . k (1) k (2) k ( n) n ? 2
2. (三次函数型)设函数 f ( x) ?

3. (对数函数+ -次函数型)设函数 f ( x) = ln x - px + 1 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极值点; (Ⅱ)当 p ? 0 时,若对任意的 x ? 0 ,恒有 f ( x) ? 0 ,求 p 的取值范围; (Ⅲ)证明:

ln 22 ln 32 ln n2 2n2 ? n ?1 ? 2 ?? ? 2 ? (n ? N , n ? 2) . 22 3 n 2(n ? 1)

4.已知 f ( x) ? ln(1 ? x 2 ) ? ax ( a ? 0 ) (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;

(1 (Ⅱ) 证明: ?

* 1 1 1 n )(1 ? 4 )…(1 ? 4 ) ? e n ? N , ≥ 2 , ( 其中无理数 e ? 2.71828…… ) . 4 2 3 n

5.设 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? ax . (1) 若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 P ?1, ?2? 处的切线方程; (2) 若 f ( x ) 无零点,求实数 a 的取值范围; (3) 若 f ( x ) 有两个相异零点 x1 , x2 ,求证: x1 ? x2 ? e2 .

6. (对数+二次函数型)设函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? b ln x ,其中 b 为常数。 (1)当 b ? ?1 时,求函数 f (x) 的单调区间; (2)证明:对任意不小于 3 的正整数,不等式

1 1 ? ln( n ? 1) ? ln n ? 都成立。 2 n n

7.已知函数 f ( x) ? x 2 ? x , g ( x) ? ln x , (Ⅰ)求证: f ( x) ? g ( x) ; (Ⅱ)若 f ( x) ? ag( x) 恒成立,求实数 a 的值; (Ⅲ)设 F ( x) ? f ( x) ? m g( x) ( m ? R )有两个极值点 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) ,求实数 m 的 取值范围,并证明: F ( x 2 ) ? ?

3 ? 4 ln 2 . 16

8、设函数 f ( x) ? x2 ? k ln( x ? 2) ,其中 k ? 0

? (Ⅰ)当 k ? 2 判断 f ( x ) 在 (?2 , ?) 上的单调性.
(Ⅱ)讨论 f ( x ) 的极值点.

9. (对数+分式型)已知函数 f ( x) ? ln x ?

(1)若函数 f ( x ) 在 [2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值为 3,求实数 a 的值.

2a , a?R . x

10.已知函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图象在点 x ? e ( e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3. ⑴求实数 a 的值; ⑵若 k ? Z ,且 k ?

f ? x? 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值。 x ?1

11. (对数+对勾型)已知函数 f ? x ? ? x ?

(1) 求函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调区间; (2) 若关于 x 的方程 的值.

a (a ? R ) , g ? x ? ? ln x . x

g ? x? ? f ? x ? ? 2e (e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求 a x2

12. (乘积型)已知函数 f ( x) ? ax? x ? b(a, b ? R) ,在点 (e, f (e)) 处的切线方程是 ln

2 x ? y ? e ? 0 ( e 为自然对数的底) 。 (1)求实数 a、 b 的值及 f ( x ) 的解析式; (2)若 t 是正数,设 h( x) ? f ( x) ? f (t ? x) ,求 h( x) 的最小值;
(3)若关于 x 的不等式 x ln x ? (6 ? x ) ln(6? x )? ln( 2 ? 72 对一切 x ? (0, 6) 恒成 k k ) 立,求实数 k 的取值范围.

13.已知函数 f ( x) ? ln( x ? a ), g ( x) ? (1)求实数 a 的值;

1 3 x ? b ,直线 l : y ? x 与 y ? f ( x) 的图象相切. 6

(2)若方程 f ( x) ? g ( x)在(0, ??) 上有且仅有两个解 x1 , x2 ; ①求实数 b 的取值范围; ②比较 x1 x2 ? 1与x1 ? x2 的大小.

14. (抽象函数型) 已知 f ? x ? 是定义在区间 ?-11? 上的奇函数, f ?1? =1 , m, n?? ? 且 若 , 1 ,

?,

m +n ? 0 时,有

f ( m) ? f ( n ) ?0。 m+n ? 1? (1)解不等式 f ? x+ ? ? f ?1 ? x ? ; ? 2? 2 (2) (x) t ? 2at ? 1 对所有 x?? ?1,1? 、a?? ?1,1? 恒成立。 若f 求实数 t 的取值范围。 ?

答案
1. (分式型)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)当 a ?

x2 ? 2 x ? a , x ? [1, ??) x

1 时求函数 f ( x ) 的最小值; 2

(Ⅱ)若对任意 x ?[1, ??), f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。

1 2 =x+ 1 ? 2 ,x∈[1,+∞) 2x x 7 ∵ f(x)在[1,+∞)上单调递增, ∴ 当 x=1 时 f(x)的最小值为 . 2
1 解: (Ⅰ)当 a= 时,f(x)= 2

x 2 ? 2x ?

(Ⅱ) 当任意 x∈[1,+∞)时, 函数 f(x)=

x2 ? 2 x ? a 2 >0 恒成立 ? 不等式 x +2x+a>0 对 x x

∈[1,+∞)恒成立。 2 2 由 x +2x+a>0,得 a>-x -2x, 2 2 令 g(x)= -x -2x=-(x+1) +1 ,则 g(x)在 [1,+∞)上递减, ∴当 x=1 是 g(x)最大=-3,因此 ,a>-3

1 3 1 2 ax ? bx ? cx(a, b, c ? R, a ? 0) 的图象在点 ? x, f ( x) ? 处的 3 2 1 切线的斜率为 k ( x) ,且函数 g ( x) ? k ( x) ? x 为偶函数.若函数 k ( x) 满足下列条件:① 2 1 1 k (?1) ? 0 ;②对一切实数 x ,不等式 k ( x) ? x 2 ? 恒成立. 2 2 (Ⅰ)求函数 k ( x) 的表达式;
2. (三次型)设函数 f ( x) ? (Ⅱ)求证:

1 1 1 2n ? ??? ? (n ?N? ) . k (1) k (2) k ( n) n ? 2
2

(Ⅰ)解:由已知得: k ( x) ? f ?( x) ? ax ? bx ? c . 由 g ( x) ? k ( x) ? 显然有 b ?

1 1 x 为偶函数,得 g ( x) ? ax 2 ? bx ? c ? x 为偶函数, 2 2
又 k (?1) ? 0 ,所以 a ? b ? c ? 0 ,即 a ? c ?

1 . …2 分 2

1 2

又因为 k ( x) ?

1 2 1 x ? 对一切实数 x 恒成立, 2 2 1 2
2

即对一切实数 x ,不等式 (a ? ) x ? 显然,当 a ?

1 1 x ? c ? ? 0 恒成立 2 2

1 时,不符合题意. 2

1 ? a ? ? 0, ? 1 1 1 ? 2 当 a ? 时,应满足 ? 注意到 a ? c ? ,解得 a ? c ? . 2 2 4 ?? ? 1 ? 4( a ? 1 )(c ? 1 ) ? 0. ? ? 4 2 2
所以 k ( x) ?

1 2 1 1 x ? x? . 4 2 4

(Ⅱ)证明:因为 k (n) ?

n 2 ? 2n ? 1 (n ? 1) 2 1 4 ? ,所以 ? 4 4 k (n) (n ? 1) 2

要证不等式

1 1 1 2n 成立, ? ??? ? k (1) k (2) k ( n) n ? 2

即证

1 1 1 n ? 2 ??? ? . 2 2 2 3 (n ? 1) 2n ? 4

因为

1 1 1 1 ? ? ? 2 (n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
1 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 ??? ? ? ? ? ? ?? ? . 2 2 2 3 (n ? 1) 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2n ? 4

所以

所以

1 1 1 2n ? ??? ? 成立. k (1) k (2) k ( n) n ? 2

3. (对数函数+一次函数型)设函数 f ( x) = ln x - px + 1 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极值点; (Ⅱ)当 p>0 时,若对任意的 x>0,恒有 f ( x) ? 0 ,求 p 的取值范围; (Ⅲ)证明:

ln 22 ln 32 ln n2 2n2 ? n ?1 ? 2 ?? ? 2 ? (n ? N , n ? 2) . 22 3 n 2(n ? 1)
当 p ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0,??) 上无极值点

解: (1)? f ( x) ? ln x ? px ? 1,? f ( x)的定义域为 0,??) , (

f ?( x) ?

1 1 ? px ?p? x x

? 当 p>0 时,令 f ?( x) ? 0, x ?
x

1 ? (0,??), f ?( x)、f ( x)随x 的变化情况如下表: p 1 1 1 ( ,+ ) (0, ) p p p
+ ↗ 0 极大值 - ↘

f '( x) f ( x)

从上表可以看出:当 p>0 时, f ( x ) 有唯一的极大值点 x ? (Ⅱ)当 p>0 时在 x=

1 p

1 1 1 处取得极大值 f ( ) = ln ,此极大值也是最大值, p p p

要使 f ( x) ? 0 恒成立,只需 f ( ) = ln ∴p 的取值范围为[1,+∞ )

1 p

1 p

0,

∴ p? 1

(Ⅲ)令 p=1,由(Ⅱ)知, ln x ? x ? 1 ? 0,? ln x ? x ? 1 ? n ? N , n ? 2 , ∴ ln n ? n ? 1 ,
2 2

ln n 2 n 2 ? 1 1 ? ? 1? 2 2 2 n n n 2 2 ln 2 ln 3 ln n 2 1 1 1 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? 2 ) ∴ 2 ? 2 ??? 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 ? (n ? 1) ? ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (n ? 1) ? ( ? ??? ) 2 3 n 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 ? (n ? 1) ? ( ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 3 4 n n ?1 1 1 2n 2 ? n ? 1 ∴结论成立 ? (n ? 1) ? ( ? )? 2 n ?1 2(n ? 1)
∴ 4、已知 f ( x) ? ln(1 ? x 2 ) ? ax ( a ? 0 ) (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;

(1 (Ⅱ) 证明: ?

* 1 1 1 n )(1 ? 4 )…(1 ? 4 ) ? e n ? N , ≥ 2 , ( 其中无理数 e ? 2.71828…… ) . 4 2 3 n

解: (Ⅰ) f ' ? x ? ? ?

ax ax 2 ? 2 x ? a ?a ? 1 ? x2 1 ? x2
2x ?0得x ?0 1 ? x2

当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ?

∴ f ? x ? 在 ? 0,??? 单调递增,在 ? ??,0? 单调递减。 当 a ? 0 且 ax ? 2 x ? a ? 0 的判别式 V? 0 ,即 a ? ?1 时, f ' ? x ? ? 0 对 x ? R 恒成立。
2

∴ f ? x ? 在 R 上单调递减。

当 ?1 ? a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 得: ax ? 2 x ? a ? 0
2

解得:

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ?x? a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? a a

由 f ' ? x ? ? 0 可得: x ?



f ? x?

在[

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ] 上单调递增,在 (??, ],[ , ??) 上 a a a a

单调递减。 综上所述:当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0,??? 单调递增,在 ? ??,0? 单调递减;

当 ?1 ? a ? 0 时, f ? x ? 在 [

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ] 上单调递增, a a

在 (??,

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ],[ , ??) 上单调递减; a a

当 a ? ?1 时, f ? x ? 在 ? ??, ??? 上单调递减。 (Ⅱ)由(Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ? x ? 在 ? ??, ??? 上单调递减。 当 x ? 0 时 f ? x ? ? f ? 0?
2 2 ∴ ln 1 ? x ? x ? 0 ,即 ln 1 ? x ? x

?

?

?

?

1? ? 1? ? 1? ? ln[?1 ? 4 ? ? ?1 ? 4 ? …? 1+ 4 ?] ? 2 ? ? 3 ? ? n ? ∴ 1? 1? ? ? ? 1? 1 1 ? ln ?1 ? 4 ? ? ln ?1 ? 4 ? ? … ? ln ? 1+ 4 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? 3 ? ? n ? 2 3 ? 1 1 1 ? ?…? 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1)

?

1 n2

1 1 1 1 ? 1 ?1 ? 1? ) ( ? - ) …? ? ? ( ? ? ? 1? ? 1 2 2 3 n ? n n ?1 ?
5、设 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? ax . (1) 若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 P ?1, ?2? 处的切线方程; (2) 若 f ( x ) 无零点,求实数 a 的取值范围; (3) 若 f ( x ) 有两个相异零点 x1 , x2 ,求证: x1 ? x2 ? e2 . 解:方法一在区间 ? 0,??? 上, f ?( x) ?

1 1 ? ax ?a ? . x x

(1)当 a ? 2 时, f ?(1) ? 1 ? 2 ? ?1 ,则切线方程为 y ? (?2) ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 1 ? 0 (2)①若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 是区间 ? 0,??? 上的增函数,

Q f (1) ? ?a ? 0 , f (ea ) ? a ? aea ? a(1 ? ea ) ? 0 ,

? f (1) ? f (ea ) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 ? 0,??? 有唯一零点
②若 a ? 0 , f ( x) ? ln x 有唯一零点 x ? 1 ③若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 得: x ?

1 . a

在区间 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是增函数; 在区间 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是减函数; 故在区间 ? 0,??? 上, f ( x ) 的极大值为 f ( ) ? ln 由 f ( ) ? 0, 即 ? ln a ? 1 ? 0 ,解得: a ?

1 a

1 a

1 a

1 ? 1 ? ? ln a ? 1 . a
1 e

1 a

1 . e

故所求实数 a 的取值范围是 ( , ??) .

方法二、函数 f ( x ) 无零点 ? 方程 ln x ? ax 即 a ? 令 g ( x) ?

ln x 1 ? ln x ,则 g ?( x) ? x x2

ln x 在 ? 0,??? 上无实数解 x 1 ? ln x ? 0 得: x ? e 由 g ?( x) ? 0 即 x2

在区间 (0, e) 上, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 是增函数; 在区间 (e, ??) 上, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 是减函数; 故在区间 ? 0,??? 上, g ( x) 的极大值为 g (e) ?

1 . e

注意到 x ? (0,1) 时, g ( x) ? ? ??,0? ; x ? 1 时 g (1) ? 0 ; x ? ?1, ?? ? 时, g ( x) ? ? 0, ? e

? ?

1? ?

ln x 1 在 ? 0,??? 上无实数解 ? a ? . x e 1 即所求实数 a 的取值范围是 ( , ??) . e
故方程 a ? [注:解法二只说明了 g ( x) 的值域是 ? ??, ? ,但并没有证明. e

? ?

1? ?

(3) 设 x1 ? x2 ? 0, Q f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0, ?ln x1 ? ax1 ? 0,ln x2 ? ax2 ? 0

?ln x1 ? ln x2 ? a( x1 ? x2 ) , ln x1 ? ln x2 ? a( x1 ? x2 )
原不等式 x1 ? x2 ? e2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2

? a( x1 ? x2 ) ? 2 ?

ln x1 ? ln x2 x 2( x1 ? x2 ) 2 ? ? ln 1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2



x1 x 2( x1 ? x2 ) 2(t ? 1) ? t ,则 t ? 1 ,于是 ln 1 ? ? ln t ? x2 x1 ? x2 t ?1 x2
2(t ? 1) (t ? 1) , t ?1
求导得: g ?(t ) ? ?

设函数 g (t ) ? ln t ?

1 4 (t ? 1)2 ? ?0 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2

故函数 g (t ) 是 ?1, ?? ? 上的增函数, ? g (t ) ? g (1) ? 0

即不等式 ln t ?

2(t ? 1) 成立,故所证不等式 x1 ? x2 ? e2 成立. t ?1

6、 (对数+二次函数型)设函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? b ln x ,其中 b 为常数。 (1)当 b ? ?1 时,求函数 f (x) 的单调区间;

1 1 ? ln( n ? 1) ? ln n ? 都成立。 2 n n 2 解: (1)当 b ? ?1 时,函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? ln x ,
(2)证明:对任意不小于 3 的正整数,不等式

1 2x 2 ? 2x ? 1 ? ( x ? 0) x 2 1 ? 1 ? 2b 1 ? 3 此时 f (x) 有惟一极小值点 x ? , ? 2 2 1? 3 1? 3 则当 x ? (0 , ) 时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f (x) 在 (0 , ) 上为减函数, 2 2 1? 3 1? 3 当 x?( ,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f (x) 在 ( ,??) 上为增函数 2 2 (2)由(1)知 b ? ?1 时,函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? ln x , f (x) 有惟一极小值点 f ?( x) ? 2( x ? 1) ?

1 ? 1 ? 2b 1 ? 3 , ? 2 2 1? 3 1? 3 且 x ? (0 , ) 时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f (x) 在 (0 , ) 上为减函数。 2 2 1 1 4 1? 3 因为当 n ? 3 时, 0 ? 1 ? 1 ? ? ? ,所以恒有 f (1) ? f (1 ? ) n n 3 2 1 1 1 即恒有 0 ? 2 ? ln(1 ? ) 。所以当 n ? 3 时恒有 ln( n ? 1) ? ln n ? 2 成立 n n n 1 x ?1 ' 令函数 h( x) ? ( x ? 1) ? ln x( x ? 0) ,则 h ( x) ? 1 ? ? , x x 所以当 x ? 1 时, h ' ( x) ? 0 ,又 h(x) 在 x ? 1 处连续,所以 x ? ? , ? ?? 时 h(x) 为增函数 1 1 1 1 1 因为当 n ? 3 时, 1 ? 1 ? ,所以 h(1 ? ) ? h(1) ,即 ? ln(1 ? ) ? 0 , n n n n 1 1 所以 ln( n ? 1) ? ln n ? ln(1 ? ) ? , n n 1 1 综上可知,当 n ? 3 时不等式 2 ? ln( n ? 1) ? ln n ? 都成立 n n x?
7、已知函数 f ( x) ? x ? x , g ( x) ? ln x ,
2

(Ⅰ)求证: f ( x) ? g ( x) ; (Ⅱ)若 f ( x) ? ag( x) 恒成立,求实数 a 的值; (Ⅲ)设 F ( x) ? f ( x) ? m g( x) ( m ? R )有两个极值点 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) ,

3 ? 4 ln 2 . 16 (2x ? 1)(x ? 1) 2 解: (Ⅰ)G(x) ? x ? x ? ln x , G?(x) ? ( x ? 0) x ?G (x) 在 (0,1) 上递减,在 (1,??) 上递增 ? G(x) ? G(1) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) (Ⅱ) h(x) ? f (x) ? ag(x) ? h(1) ? 0 所以 h(x) ? 0 的必要条件是 h ?(0) ? 0 ,得 当 a ? 1 时,由(1)知 h(x) ? 0 恒成立。 所以 a ? 1
求实数 m 的取值范围,并证明: F ( x 2 ) ? ? (Ⅲ) F ( x) ? f ( x) ? m g( x) ? x ? x ? m ln x ,
2

F ?( x) ?

2x 2 ? x ? m ( x ? 0) , F (x) 有两个极值点 x1 、 x2 等价于 x 2 方程 2 x ? x ? m ? 0 在 (0,??) 上有两个不等的正根
0?m? 1 8

?? ? 0 ? ? ? x1 ? x 2 ? 0 得 ?x ? x ? 0 ? 1 2

(方法 1)由 F?(x) ? 0 得 m ? ?2x 22 ? x 2 , ( 0 ? x1 ?

1 1 ? x2 ? ) 4 2

?F(x2 ) ? x22 ? x2 ? (x 2 ? 2x 22 )ln x 2
1 1 ? x ? ), 4 2 1 3 ? 4 ln 2 得 ? ?( x) ? (1 ? 4 x) ln x ? 0 ,? ? ( x) ? ? ( ) ? ? 4 16 3 ? 4 ln 2 所以 F ( x 2 ) ? ? 16 1 1 1 (方法 2)由 0 ? x1 ? ? x 2 ? 得 ln x 2 ? 0 ,又 0 ? m ? 4 2 8 1 2 2 所以 F ( x 2 ) ? x 2 ? x 2 ? m ln x 2 ? x 2 ? x 2 ? ln x 2 8 1 1 1 (4 x ? 1) 2 2 ?( x) ? ? ( x) ? x ? x ? ln x , ( ? x ? ) ?0 得? 8 4 2 8x 1 3 ? 4 ln 2 3 ? 4 ln 2 所以 ? ( x) ? ? ( ) ? ? 所以 F ( x 2 ) ? ? 4 16 16
设 ? ( x) ? x ? x ? ( x ? 2 x ) ln x , (
2 2

2 8、设函数 f ( x) ? x ? k ln( x ? 2) ,其中 k ? 0

? (Ⅰ)当 k ? 2 判断 f ( x ) 在 (?2 , ?) 上的单调性.
(Ⅱ)讨论 f ( x ) 的极值点.

? 解:(理)由题设函数 f ( x ) 定义域是 (?2 , ?)

函数 f ( x) ? 2 x ?

'

k 2x2 ? 4x ? k ? ………………① x?2 x?2

2 (Ⅰ).当 k ? 2 时,①式的 2 x ? 4 x ? k 的 ? ? 16 ? 8k ? 8(2 ? k ) ? 0 ,

? 2 x 2 ? 4 x ? k ? 0 ,又 x ? 2 ? 0 ? f ' ( x) ?
2x2 ? 4x ? k ?0 x?2
? ? f ( x) 在 (?2 , ?) 上的单调递增.
2

2x ? 4x ? k ' ?0, (Ⅱ)(1)当 k ? 2 时,由(Ⅰ)知 f ( x) ? x?2
? ? f ( x) 在 (?2 , ?) 上的单调递增,故 f ( x) 无极值点
2 (2)当 k ? 2 时,由 2 x ? 4 x ? k ? 0 解得 x ?

?2 ? 4 ? 2k ,此时 f ' ( x) ? 0 2

当x?

?2 ? 4 ? 2k ?2 ? 4 ? 2k 2 或x? 时, 2 x ? 4 x ? k ? 0 2 2



?2 ? 4 ? 2k ?2 ? 4 ? 2k 2 时, 2 x ? 4 x ? k ? 0 ?x? 2 2

?2 ? 4 ? 2k 2 ? 4 ? 2k ? (?2) ? 2 2
① 当 k ? 0 时,

?2 ? 4 ? 2k 2 ? 4 ? 2k ? ?2 , ? 0 ,? 2 2

2x2 ? 4x ? k ?2 ? 4 ? 2k ' ?0, ?2 ? x ? 时, f ( x) ? x?2 2

x?

2x2 ? 4x ? k ?2 ? 4 ? 2k ' ?0 , f ( x) ? x?2 2

? f ( x) 在 (?2 , ?x ?

?2 ? 4 ? 2k ?2 ? 4 ? 2k , ?) 上单增, ? ) 上单减,在 ( 2 2

?2 ? 4 ? 2k 为极小值点,无极大值点 2 ?2 ? 4 ? 2k 2 ? 4 ? 2k ? ?2 , ? 0 ,? 2 2

当 0 ? k ? 2 时,

2x2 ? 4x ? k ?2 ? 4 ? 2k ?2 ? 4 ? 2k ' ?0 当 ?2 ? x ? 或x? 时, f ( x) ? x?2 2 2 2x2 ? 4x ? k ?2 ? 4 ? 2k ?2 ? 4 ? 2k ' ?0 时, f ( x) ? ?x? x?2 2 2

? f ( x)

在 (

?2 ? 4 ? 2k ?2 ? 4 ? 2k ?2 ? 4 ? 2 k 和 , ) 上 单 减 , 在 (? 2 , ) 2 2 2

(

?2 ? 4 ? 2k , ?) 上单增, ? 2 ?2 ? 4 ? 2k ?2 ? 4 ? 2k 为极大值点, x ? 为极小值点 2 2 ?2 ? 4 ? 2 k 为极小值点,无极大值点; 0?k ?2 时, 2

?x ?

综上, k ?0 时, x?

x?

?2 ? 4 ? 2 k ?2 ? 4 ? 2k 为极大值点, x ? 为极小值点; k ? 2 时, f ( x ) 无极值 2 2
2a , a?R . x

点. 9、 (对数+分式型)已知函数 f ( x) ? ln x ?

(1)若函数 f ( x ) 在 [2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值为 3,求实数 a 的值. 解: (1)∵ f ( x) ? ln x ?

2a 1 2a ,∴ f ?( x) ? ? 2 . x x x

∵ f ( x ) 在 [2, ??) 上是增函数,

1 2a x ? 2 ≥0 在 [2, ??) 上恒成立,即 a ≤ 在 [2, ??) 上恒成立. x x 2 x 令 g ( x ) ? ,则 a ≤ ? g ( x)?min , x?[2, ??) . 2 x ∵ g ( x ) ? 在 [2, ??) 上是增函数,∴ ? g ( x)?min ? g (2) ? 1 .∴ a ≤1.所以实数 a 的取值 2
∴ f ?( x) ? 范围为 (??,1] . (2)由(1)得 f ?( x) ?

x ? 2a , x ? [1, e] . x2

①若 2a ? 1 ,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ?( x) ?0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x ) 在 [1, e] 上是增函数.

所以 ? f ? x ? ? min ? f (1) ? 2a ? 3 ,解得 a ? ? ?

3 (舍去) . 2

②若 1≤ 2a ≤ e ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 2a .当 1 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在

(1, 2a) 上是减函数,当 2a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (2a, e) 上是增函数.
所以 ? f ? x ? ? min ? f ? 2a ? ? ln(2a ) ? 1 ? 3 ,解得 a ? ? ?

e2 (舍去) . 2

) 0 ③若 2a ? e , x ? 2a ? 0 , f ?( x ? 在 [1, e] 上恒成立, 则 即 此时 f ( x ) 在 [1, e] 上是减函数.
? 3 ,所以 a ? e . 所以 ? f ? x ? ? ? f ? e ? ? 1 ? ? ? min e 综上所述, a ? e .
3. ⑴求实数 a 的值; ⑵若 k ? Z ,且 k ?

2a

10、已知函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图象在点 x ? e ( e 为自然对数的底数)处的切线斜率为

f ? x? 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值。 x ?1

解: (1)因为 f ? x ? ? ax ? x ln x ,所以 f ? ? x ? ? a ? ln x ? 1. 因为函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图像在点 x ? e 处的切线斜率为 3, 所以 f ? ? e? ? 3 ,即 a ? ln e ? 1 ? 3 . 所以 a ? 1 . (2)由(1)知, f ? x ? ? x ? x ln x , 所以 k ?

f ? x? x ? x ln x 对任意 x ? 1 恒成立,即 k ? 对任意 x ? 1 恒成立. x ?1 x ?1
x ? x ln x , x ?1
则 g? ? x ? ?

令 g ? x? ?

x ? ln x ? 2

? x ? 1?

2



令 h ? x ? ? x ? ln x ? 2 ? x ? 1? , 所以函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.

则 h? ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? ?0, x x

因为 h ?3? ? 1 ? ln3 ? 0, h ? 4? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 所以方程 h ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上存在唯一实根 x0 ,且满足 x0 ? ? 3, 4? . 当 1 ? x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,当 x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,

所以函数 g ? x ? ? 所以 ? g ? x ?? ? ?

x ? x ln x 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递 增. x ?1

min

? g ? x0 ? ?

x0 ?1 ? ln x0 ? x0 ?1 ? x0 ? 2 ? ? ? x0 ? ? 3, 4 ? . x0 ? 1 x0 ? 1
故整数 k 的最大值是 3.

所以 k ? ? g ? x ? ? min ? x0 ? ? 3, 4 ? . ? ? 11、已知函数 f ? x ? ? x ?

a (a ? R ) , g ? x ? ? ln x . x

(1) 求函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调区间;

(2) 关于 x 的方程

g ? x? ? f ? x ? ? 2e (e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求 a 的值. x2
a ? ln x 的定义域为 ? 0,??? . x

(1)解: 函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ? ∴F
'

a 1 x2 ? x ? a ? ? . x2 x x2 1 2 ① 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ? 时, 得 x ? x ? a ? 0 ,则 F ' ? x ? ? 0 . 4 ∴函数 F ? x ? 在 ? 0,??? 上单调递增.

? x? ? 1 ?

1 2 时, 令 F ' ? x ? ? 0, 得 x ? x ? a ? 0 , 4 ?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4a 解得 x1 ? . ? 0, x2 ? 2 2 1 ?1 ? 1 ? 4a (ⅰ) 若 ? ? a ? 0 , 则 x2 ? ?0. 4 2 ' ∵ x? ? 0, ??? , ∴ F ? x ? ? 0 ,∴函数 F ? x ? 在 ? 0,??? 上单调递增
② 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ? (ⅱ)若 a ? 0 ,则 x ? ? 0,

? ? ?

?1 ? 1 ? 4 a ? ' ? 时, F ? x ? ? 0 ; ? 2 ?

? ?1 ? 1 ? 4a ? x?? , ?? ? 时, F ' ? x ? ? 0 , ? ? 2 ? ? ? ?1 ? 1 ? 4 a ? ? ?1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? 上单调递增. ∴函数 F ? x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递减, 在区间 ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 综上所述, 当 a ? 0 时, 函数 F ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,??? ; …… 6 分
当 a ? 0 时, F ? x ? 的减区间为 ? 0,

? ?1 ? 1 ? 4a ? ?1 ? 1 ? 4 a ? , ?? ? ? , 增区间为 ? ? ? ? 2 2 ? ? ? g ? x? ln x a ln x ? x 2 ? 2ex ? a . (2) 解: 由 2 ? f ? x ? ? 2e , 得 2 ? x ? ? 2e , 化为 x x x x ln x 1 ? ln x ' ' 令 h ? x? ? , 则 h ? x? ? .令 h ? x ? ? 0 , 得 x ? e . 2 x x

? ? ?

当 0 ? x ? e 时, h' ? x ? ? 0 ; 当 x ? e 时, h' ? x ? ? 0 . ∴函数 h ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递增, 在区间 ? e, ??? 上单调递减. ∴当 x ? e 时, 函数 h ? x ? 取得最大值, 其值为 h ? e ? ?
2 2 而函数 m ? x ? ? x ? 2ex ? a ? ? x ? e ? ? a ? e , 2

1 . e

g ? x? 1 1 2 , 即 a ? e ? 时, 方程 2 ? f ? x ? ? 2e 只有一个根 e e x 12、 已知函数 f ( x) ? ax? x ? b(a, b ? R) , 在点 (e, f (e)) 处的切线方程是 2 x ? y ? e ? 0 (e ln
∴ 当a ? e ?
2

当 x ? e 时, 函数 m ? x ? 取得最小值, 其值为 m ? e? ? a ? e2

为自然对数的底) 。 (1)求实数 a、 b 的值及 f ( x ) 的解析式; (2)若 t 是正数,设 h( x) ? f ( x) ? f (t ? x) ,求 h( x) 的最小值; (3)若关于 x 的不等式 x ln x ? (6 ? x)ln(6 ? x) ? ln(k 2 ? 72k ) 对一切 x ? (0, 6) 恒成立, 求实数 k 的取值范围. 解: (1)依题意有

2e ? f (e) ? e ? 0 ? f (e) ? e

? f '( x) ? a ln x ? a ? b ? f '(e) ? a ln e ? a ? b ? 2 ? 2a ? b ? 2 ? b ? 2 ? 2a ? (e, f (e))在f ( x)上 ; ? f (e) ? ae ln e ? b ? ae ? b ? e ? ae ? 2 ? 2a ? e ? a ? 1 ?b ? 0 ? f ( x) ? x ln x
故实数 a ? 1, b ? 0, f ( x) ? x ln x

(2)

h( x) ? f ( x) ? f (t ? x) , h( x) 的定义域为 (0, t ) ? x ln x ? (t ? x) ln(t ? x)
x t?x

h '( x) ? ln x ? 1 ? [ln(t ? x) ? 1] ? ln

t 由h '( x) ? 0得 ? x ? t , 2 t h '( x) ? 0得0 ? x ? , 2
t t ? h( x)在( , t )上是 增函数? h( x)在( )上是减函数 0, 2 2

t t ? h( x) min ? h( ) ? t ln 2 2 (3)? x ln x ? (6 ? x) ln(6 ? x) ? f ( x) ? f (6 ? x) ? h( x)
由(2)知 h( x) min ? h( ) ? t ln

t 2

t 2

6 ? t ? 6, h( x) min ? h( ) ? 6 ln 3 ? ln 729 2 ? x ln x ? (6 ? x)ln(6 ? x) ? ln(k 2 ? 72k ) 对一切 x ? (0, 6) 恒成立

?ln(k 2 ? 72k ) ? ln 729
? k 2 ? 72k ? 0 ?? 2 ,??9 ? k ? 0, 72 ? k ? 81 ?k ? 72k ? 729
故实数 k 的取值范围 [?9,0) ? (72,81] 13、 (三次函数+对数函数)已知函数 f ( x) ? ln(x ? a ), g (x )?

1 3 x ? b,直线 l : y ? x 与 6

y ? f ( x) 的图象相切.
(1)求实数 a 的值; (2)若方程 f ( x) ? g ( x)在(0, ??) 上有且仅有两个解 x1 , x2 ; ①求实数 b 的取值范围; ②比较 x1 x2 ? 1与x1 ? x2 的大小.

? 1 ?1 1 ? 解: (1)设切点 P( x0 , y0 ), f ?( x) ? ,? ? x0 ? a x?a ? y ? ln( x ? a ) ? x 0 0 ? 0

? x0 ? y0 ? 0

a ?1

(2)令 h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? 则 h?( x) ?

1 3 x ? ln( x ?1) ? b 6
已知 h?( x)在(0,1)上, h?( x) ? 0 ,

( x ? 1)( x 2 ? 2 x ? 2) 有 2( x ? 1)

在(1, ??)上, h?( x) ? 0 ? h( x)在(0,1)上递减, 在(1, ??) 上递增.
1 ? ?h(1) ? 6 ? b ? ln 2 ? 0 ? ①依题意有: ?h(0) ? b ? 0 ? x ? ??时, h( x) ? 0 ? ?

解得 0 ? b ? ln 2 ?

1 6

②依题意有 0 ? x1 ? 1, x1 ? 1

? x1 x2 ? 1 ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? 0

? x1 x2 ? 1 ? x1 ? x2 .
14、 已知 f ? x ? 是定义在区间 ?-11? 上的奇函数, f ?1? =1 , m, n?? ?, 且 若 , 1 1 有

? ,m+n ? 0 时,

f ( m) ? f ( n ) ?0。 m+n ? 1? (1)解不等式 f ? x+ ? ? f ?1 ? x ? ; ? 2? 2 (2)若 (x) t ? 2at ? 1 对所有 x?? ?1,1? 、 a?? ?1,1? 恒成立。求实数 t 的取值范 f ?
解: (1)任取 x1, x2 ?? ?1,1? ,且 x1 ? x2 ,则 围。

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ?

f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? x1 ? x2 ) ? 0, (4 分) ( x1 ? (? x2 )

? 1? (5 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,? f ( x)在?-11? ,上是增函数 , 分)? f ? x+ ? ? f ?1 ? x ? ? 2? 1 ? ? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? 1? ? 1? ? ??1 ? 1 ? x ? 1 即0 ? x ? 即不等式 f ? x+ ? ? f ?1 ? x ? 的解集为 ?0, ? 4 ? 2? ? 4? ? 1 ?x ? ? 1? x 2 ? ( 2 ) 由 于 f ( x 在? ,上是增函数 , ? f ( x)的最大值为f (1)=1 , ) ?- 1 1

? f ( x) ? t 2 ? 2at ?1对a ???1,1?, x ???1,1? 恒成立 。
2 2

即:?1 ? t ? 2at ? 1对任意a ???1,1? 恒成立。 所以?0 ? t ? 2at对任意a ???1,1? 恒成立

把? y ? t 2 ? 2at看作a的函数, a???1,1?知其图像是一段线段。 由

?t 2 ? 2at ? 0对任意a ??-11? ,恒成立

?t 2 ? 2 ? (?1)t ? 0 ?t 2 ? 2t ? 0 ?t ? 0或t ? ?2 ? ? ?? 2 即? 2 ?? ?t ? 2 ?1? t ? 0 ?t ? 2t ? 0 ?t ? 2或t ? 0 ? ? t 的取值范围为?t t ? ?2, 或t ? 0,或t ? 2?


相关文章:
导数与函数解答题专题练习作业1含答案
导数与函数解答题专题练习作业1含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。导数与函数解答题专题练习作业1含答案导数与函数专练· 作业(三十三) 1.(2014· 郑州质...
高考数学专题复习函数与导数(理科)练习题
高考数学专题复习函数与导数(理科)练习题。高考数学专题复习函数与导数(理科)高考数学专题复习 《函数与导数练习题 1.已知函数 f ( x) = a ? b x 的图像...
高考数学函数与导数基础练习50题
高考数学函数与导数基础练习50题_数学_高中教育_教育专区。高考数学专题分类基础训练高考数学函数与导数基础练习 1.已知 log 1 a ? log 1 b ,则下列不等式一定...
4、专题复习函数与导数练习题
4、专题复习函数与导数练习题_数学_高中教育_教育专区。勤劳一日,可得一夜安眠;勤劳一生,可得幸福长眠。 高考数学专题复习 《函数与导数练习题 1 1.已知函数 ...
高考数学集合、函数、导数专题训练试题
高考数学集合、函数导数专题训练试题_工学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高考数学集合、函数导数专题训练试题_工学_高等教育_教育...
2015专题五:函数与导数(含近年高考试题)_图文
2015专题五:函数与导数(含近年高考试题)_数学_高中教育_教育专区。2015 专题五:函数与导数在解题中常用的有关结论(需要熟记) : (1)曲线 y ? f ( x) 在 ...
2函数与导数专题习题
2函数与导数专题习题_数学_高中教育_教育专区。高中函数与导数专题习题,适合培优训练 函数与导数专题 姓名:___ 班级:___ ( ) 一、选择题(每小题 5 分,共...
高三函数与导数专题练习(二)
高三函数与导数专题练习(二)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三函数与导数专题练习(二) 高三函数与导数专题练习(二)一、选择题 1.已知偶函数 f ( x ) ...
2015届高三理科数学小综合专题练习——函数与导数
2015届高三理科数学小综合专题练习——函数与导数_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015 届高三理科数学小综合专题练习——函数与导数一、选择题 1.集合 A ? {...
函数与导数综合练习题
函数与导数综合练习题_数学_高中教育_教育专区。函数与导数综合练习题 题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开) , 极值,最...
更多相关标签: