当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2008年高一数学竞赛选拔赛试题


2008 年元济中学高一数学竞赛选拔赛试题 元济中学 中学高一数学竞赛选拔赛试题
班级
一、选择题(每小题只有一个正确选项)
3

姓名

得分

1.化简

5 ?1 ? 5 ?1? ? ?? ? 2 ? 得( 2 ? ?
5 +1 2

2



(A)

5 ?1 2

(B)

(C) 5

(D) 3 5

2.已知集合 A = y y = x + 1, x ∈ R , B = x x + x ? 2 > 0 ,则下列正确的是(
2 2

{

}

{

}



(A) A I B = y y > 1 , (C) A ∪ B = y ?2 < y < 1

{

}

(B) A I B = y y > 2

{

}

{

}

(D) A ∪ B = y y < 2或y > ?1

{

}

3.当 0 < x < 1 时, f ( x ) = (A) f 2 ( x ) < f ( x 2 ) < f ( x ) (C)

x ,则下列大小关系正确的是( lg x
(B) f ( x 2 ) < f 2 ( x ) < f ( x ) (D) f ( x 2 ) < f ( x ) < f 2 ( x )



f ( x) < f ( x 2 ) < f 2 ( x)

4.设圆 C 的方程为 x 2 + y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 = 0 ,直线 l 的方程为 ( m + 1) x ? my ? 1 = 0 ( m ∈ R ),圆 C 被直线 l 截得的弦长等于 (A) 4 (B) 2 2
2

(

) (D) 与 m 有关 )

(C) 2

5.函数 f ( x ) = sin ( x + (A) 周期为 π 的偶函数 (C) 周期为 2π 的偶函数

π

) ? sin 2 ( x ? ) 是 ( 4 4

π

(B) 周期为 π 的奇函数 (D) 周期为 2π 的奇函数

6.设函数 f ( x ) 的定义域为 ( ?∞, a ) U ( a, +∞ ) , f ( x ) ≥ 0 的解集为 M , f ( x ) < 0 的解集 为 N ,则下列结论正确的是( (A) M = CR N (C) M U N = R ) (B) CR M I CR N = ? (D) CR M U CR N = R

7.已知 a, b, c 为三条不同的直线,且 a ? 平面 M , b ? 平面 N , M I N = c . (1) (2) (3) (4) 若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a 、 b 中的一条相交; 若 a 不垂直于 c ,则 a 与 b 一定不垂直; 若 a ∥ b ,则必有 a ∥ c ; 若 a ⊥ b , a ⊥ c ,则必有 M ⊥ N .

其中正确的命题的个数是 ( (B) 1 (A) 0
2

) (C) 2 (D) 3

8.函数 f ( x ) = log a ( ?ax + 3 x + 2a ? 1) 对于任意的 x ∈ (0,1] 恒有意义,则实数 a 的取值范 围是 ( ) (B) a ≥ (A) a > 0 且 a ≠ 1 (C) a >

1 且 a ≠1 2

1 且 a ≠1 2

(D) a > 1

二、填空题 9.已知 x =

1 2? 5

,则 x + 3 x ? 5 x + 1 =
3 2



10. 已知 A、 是半径为 5 的圆 O 上的两个定点, 是圆 O 上的一个动点, AB=6, PA+PB B P 若 设 的最大值为 s ,最小值为 t ,则 s + t 的值为 . 11.已知全集 U= ( x, y ) x ∈ R, y ∈ R ,集合 M= ( x, y ) x + y = 2 ,集合

{

}

{

}

N= ?( x, y )

? ?

? y ?1 = ?1? ,则集合 M ∩ (CU N ) = x ?1 ?



12. 高一年级某班的部分同学参加环保公益活动---收集废旧电池, 其中甲组同学平均每人收 集 17 个,已组同学平均每人收集 20 个,丙组同学平均每人收集 21 个.若这三个小组共收 集了 233 个废旧电池,则这三个小组共有 个学生. 13.代数式 x + 4 +
2

(12 ? x) 2 + 9 的最小值为



14.设 5 cm × 4cm × 3cm 长方体的一个表面展开图的周长为 pcm ,则 p 的最小值 是 .

15. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:f ( + x ) + f ( ? x ) = 2 , f ( ) + f ( ) + L + f ( ) = 则 16.已知函数 f ( x) = ? 元素个数为

?cos π x 2
x?2 ? e

1 2 ?3 < x < 0

1 2

1 8

2 8

7 8

x>0

,若 f (2) + f ( a ) = 2 ,则实数 a 组成的集合的

.

17.已知关于 x 的方程 x 2 + 2 px ? ( q 2 ? 2) = 0 ( p, q ∈ R )无实根,则 p + q 的取值范围 是 . 18 . 关 于 x 的 不 等 式 x + 2 + 2 x ? 1 > a 的 解 集 为 A , 集 合 B = x ?1 ≤ x ≤ 3 , 若

{

}

A I B ≠ ? ,则实数 a 的取值范围是

.

三.解答题(解答应有必要文字说明和演算步骤) 19.圆 O 的方程是 x 2 + y 2 = r 2 ( r > 0) , P 是圆 O 上一个动点, Q 是 P 关于点 A(0, ?2) 点 点 的对称点, P 绕圆心 O 按逆时针方向旋转 点 点 Q 、 R 之间距离的最大值和最小值.

π
2

后所得的点为 R , 求当点 P 在圆 O 上移动时,

20.已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD, ∠ADB=60°,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且

AE AF = = λ (0 < λ < 1). AC AD
A

(Ⅰ)求证:不论λ为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (Ⅱ)当λ为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD?

E C B F D

21.设函数 f ( x ) 的定义域是 (0, +∞ ) ,且对任意 y ∈ R 都有 f ( x y ) = yf ( x) . 若对常数 m ∈ (0,1) , f (m) < 0 ,判断 f ( x) 在 (0, +∞ ) 上的单调性;

22.已知定义域为 [0,1] 的函数 f ( x ) 同时满足以下三个条件: [1] 对任意的 x ∈ [0,1] ,总有 f ( x ) ≥ 0 ; [2] f (1) = 1 ; [3] 若 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 ,且 x1 + x2 ≤ 1 ,则有 f ( x1 + x2 ) ≥ f ( x1 ) + f ( x2 ) 成立, ,请解答下列各题: 并且称 f ( x) 为“友谊函数” (1)若已知 f ( x) 为“友谊函数” ,求 f (0) 的值; (2)函数 g ( x) = 2 x ? 1 在区间 [0,1] 上是否为“友谊函数”?并给出理由. (3)已知 f ( x) 为 “友谊函数” 假定存在 x0 ∈ [0,1] , , 使得 f ( x0 ) ∈ [0,1] 且 f [ f ( x0 )] = x0 , 求证: f ( x0 ) = x0 .

参考答案
一、选择题:AACABDCB 二、填空题 9.0.Q x = ?2 ? 5 得 ( x + 2) = 5 ∴ x + 4 x ? 1 = 0
2 2

而 x + 3 x ? 5 x + 1 = ( x ? 1) ? ( x + 4 x ? 1) = 0
3 2 2

10. 6 10 + 6

11. {(1,1)}

12.设甲、已、丙三个组的人数分别为 x, y , z .则有

17 x + 20 y + 21z = 233 ,故 233= 17 x + 20 y + 21z > 17 x + 17 y + 17 z

233 12 = 13 ,同理 233 < 21x + 21 y + 21z 17 17 233 2 ∴x+ y + z > = 11 ,Q x, y, z 均为整数,则 x + y + z = 12 或 21 21 ∴x+ y + z < x + y + z = 13 ,检验的 x + y + z = 12 方可.
13.数型结合得 205 14.长方体的展开图的周长为 8c + 4b + 2a ,由排序或观察得: 周长的最小值为 8 × 3 + 4 × 4 + 2 × 5 = 50 . 15. 7 三、解答题 19. 设 P ( x, y ) ,R ( x′, y ′) ,∠XOP = α , 解: 设圆的参数方程为 ? 点 Q 是关于点 A(0, ?2) 的对称点, 16. 5 17. (-2,2) 18. ( ?∞,10)

? x = r cos α ? x′ = ? y , ? 则 , ? y = r sin α ? y′ = x

∴ Q ? x, 4 ? y) | QR |2 = 2r 2 + 8 2r sin(α + ) + 16 , ( ? . 4

π

?1 ≤ sin(α + ) ≤ 1 ,当 sin(α + ) =1 时, QR 有最大值 2(r + 2 2) |; 4 4
当 sin(α +

π

π

π

4

) = ?1 时,| QR |有最小值 2 | r ? 2 2 | .

20.证明: (Ⅰ)∵AB⊥平面 BCD, ∴AB⊥CD, ∵CD⊥BC 且 AB∩BC=B, ∴CD⊥平面 ABC. 又Q AE = AF = λ (0 < λ < 1), AC AD ∴不论λ为何值,恒有 EF∥CD,∴EF⊥平面 ABC,EF ? 平面 BEF, ∴不论λ为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面 BEF⊥平面 ACD, ∴BE⊥平面 ACD,∴BE⊥AC. ∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, ∴ BD =

2 , AB = 2 tan 60 o = 6 ,
7 AC 7

2 ∴ AC = AB 2 + BC 2 = 7 , 由 AB =AE·AC 得 AE = 6 ,∴ λ = AE = 6 ,

故当 λ =

6 时,平面 BEF⊥平面 ACD. 7
s t

21.解:(1)对任意 0 < x1 < x2 ,由 m ∈ (0,1) ,存在 s, t 使得 x1 = m , x2 = m 且 s > t ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) = ( s ? t ) f (m) 又Q s ? t > 0, f (m) < 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 , f ( x) 在 (0, +∞) 上是增函数.
22. 解: 取 x1 = x2 = 0 得 f (0) ≥ f (0) + f (0) ? f (0) ≤ 0 , (1) 又由 f (0) ≥ 0 , f (0) = 0 得 (2)显然 g ( x ) = 2 x ? 1 在 [0,1] 上满足[1] g ( x ) ≥ 0 ;[2] g (1) = 1 .若 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , 且 x1 + x2 ≤ 1 ,则有

g ( x1 + x2 ) ? [ g ( x1 ) + g ( x2 )] = 2 x1 + x2 ? 1 ? [(2 x1 ? 1) + (2 x2 ? 1)] = (2 x2 ? 1)(2 x1 ? 1) ≥ 0
故 g ( x ) = 2 x ? 1 满足条件[1]、[2]、[3],所以 g ( x ) = 2 x ? 1 为友谊函数. (3)由 [3]知任给 x2 , x1 ∈ [0,1] 其中 x2 > x1 , 且有 x2 + x1 ≤ 1 , 不妨设 x2 = x1 + ?x ( ?x > 0) 则必有: 0 < ?x < 1) 所以:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) = f ( x1 + ?x) ? f ( x1 ) ≥ f ( x1 ) + f (?x) ? f ( x1 ) = f (?x) ≥ 0
所以: f ( x2 ) ≥ f ( x1 ) .依题意必有 f ( x0 ) = x0 , 下面用反证法证明:假设 f ( x0 ) ≠ x0 ,则有 x0 < f ( x0 ) 或 x0 > f ( x0 ) (1) 若 x0 < f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ≤ f [ f ( x0 )] = x0 ,这与 x0 < f ( x0 ) 矛盾; (2) 若 x0 > f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ≥ f [ f ( x0 )] = x0 ,这与 x0 > f ( x0 ) 矛盾; 故由上述(1)(2)证明知假设不成立,则必有 f ( x0 ) = x0 ,证毕. 、


相关文章:
2008年高一数学竞赛选拔赛试题
2008年高一数学竞赛选拔赛试题2008年高一数学竞赛选拔赛试题隐藏>> 2008 年元济中学高一数学竞赛选拔赛试题 元济中学 中学高一数学竞赛选拔赛试题班级一、选择题(每小...
2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案
lg n 第 2 页共 3 页 2008 年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题 参考答案选择题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C B A B D 填空题 题号 答案 题...
2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析
2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析_学科竞赛_高中教育_教育专区。2005-2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析整理 高一数学竞赛训练试题(7)一、填空题...
2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(时间:2008 年 4 月 20 日上午 8:00—10:00)一...
2012年秋高一数学竞赛选拔赛试题
2012年秋高一数学竞赛选拔赛试题 超难度!! 有收藏价值!超难度!! 有收藏价值!隐藏>> 无锡市辅仁高级中学高一数学选拔赛试题(1012 年 10 月)班级 学号 姓名 成绩...
2008-2009-2六年级数学竞赛选拔赛试题(二)
2008-2009-2 六年级数学竞赛选拔赛试题(二)一、填空题。 (每题 1 分,共 10 分) 1 1、有一个数,它的 48%比 18 的3 多 2,这个数是( 5 2、甲数...
高一竞赛赛试题和答案
高一数学竞赛选拔赛试题 4页 2下载券 2008年高一数学竞赛选拔... 6页 1下载...高一竞赛英语试题(满分 100 分)第一部分:语言知识应用(共两节,满分 45 分) ...
2008年福建省化学竞赛初赛试题及答案
2008年福建省化学竞赛初赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年福建省高中学生化学竞赛预赛试题(2008 年 5 月 18 日 8:30—11:30 共计 3 小时) ...
2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案
2008 年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题(2008 年 4 月 13 日 8︰30~10︰30) 亲爱的中学生朋友: 欢迎你参加本次竞赛活动﹗ ﹗ 中国的未来需要众多的...
2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答
2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛试题参考答案及评分标准一、选择题(本题满分 30 ...
更多相关标签:
高一数学竞赛试题 | 高一生物竞赛试题 | 全国高一数学竞赛试题 | 高一化学竞赛试题 | 高一语文竞赛试题 | 高一物理竞赛试题 | 高一英语竞赛试题 | 高一地理竞赛试题 |