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广东省肇庆市2015-2016学年高二下学期期末考试文科数学试题(word)


试卷类型:A 肇庆市中小学教学质量评估 2015—2016 学年第二学期统一检测题

高二数学(文科)
本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区) 、姓名、试 室号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔将考生号涂黑. 2. 选

择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需要 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.

?x ? a ? ?b ? 中系数计算公式: 参考公式:线性回归方程 y

?? b

? ( x ? x )( y
i ?1 i n i ?1 i

n

i

? y) ?
2

?x y
i ?1 i

n

i

? nx ? y ? nx
2

?(x ? x)

?x
i ?1

n

?x ,其中 x , y 表示样本均值. ? ? y ?b ,a

2 i

2 ? 2 列联表随机变量 K 2 ?

n(ad ? bc) 2 . P( K 2 ? k ) 与 k 对应值表: (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P( K 2 ? k )
k

0.10 2.706

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)设 i 是虚数单位,则复数 (A)第一象限 (2)函数 y ?

2i 在复平面内所对应的点位于 1? i
(C)第三象限 (D)第四象限

(B)第二象限

1 x

在点 x ? 4 处的导数是

高二数学(文科) 第 1 页 共 9 页

(A)

1 8

(B) ?

1 8

(C)

1 16

(D) ?

1 16

(3)设 (1 ? 2i)(a ? i) 的共轭复数是它本身,其中 a 为实数,则 a = (A) 2 (4)已知曲线 y ? (B) ?2 (C)

1 2

(D) ?

1 2

x2 ? 3ln x 的一条切线的斜率为 2 ,则切点的横坐标为 2 (A) 3 (B) ?1 (C) 1 (D) 3 或 ?1 (5)已知 p 是 q 的充分不必要条件,则 ? q 是 ? p 的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也必要条件 (6)在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的 (A)若 K2 的观测值为 k=6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病 (B)从独立性检验可知有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那 么他有 99%的可能患有肺病 (C)若从统计量中求出有 95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5% 的可能性使 得推断出现错误 (D)以上三种说法都不正确.

3 ? bi (b ? R ) 的实部和虚部相等,则 | z | 等于 2?i (A) 3 2 (B) 2 2 (C) 3 1 2 (8)函数 f ? x ? ? x ? ln x 的单调递增区间为 2
(7)如果复数 z ? (A) (??,?1) 与 (1,??) (9)下列说法中错误 的个数是 .. (B) ? ?1 ,1? (C) ? 0,1?

(D) 2

(D) ?1 , ? ??

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变;

? =3-5x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单位; ②设有一个回归方程 y ? =bx+a 必过( x , y ); ③线性回归方程 y
④在一个 2×2 列联表中,由计算得 K2=13.079,则有 99.9%的把握认为这两个变量间有 关系. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

(10)若函数 f ? x ? ? kx ? ln x 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取值范围是 (A) ? ??, ?2? (B) ? ??, ?1? (C) ? 2, ?? ? (D) ?1, ?? ?

高二数学(文科) 第 2 页 共 9 页

(11)若曲线 y ? x4 的一条切线 L 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 L 的方程是 (A)4 x ? y ? 3 ? 0 (B)x ? 4 y ? 5 ? 0 (C)4 x ? y ? 3 ? 0 (D)x ? 4 y ? 3 ? 0

(12)若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0? ? ?1,其导函数 f ' ? x ? 满足 f ' ? x ? ? k ? 1 ,则 下列结论中一定错误的是 (A)f ?

1 1 k ?1? 1 ?1? ? 1 ? ? 1 ? (B)f ? ? ? (C)f ? (D) f ? ?? ?? ?? ?k? k ? k ? k ?1 ? k ?1 ? k ?1 ? k ?1 ? k ?1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
2 (13)命题“ ?x0 ? R, x0 ? 0. ”的否定是 ▲

.

( 14 ) 观察下列等式: 13 ? 23 ? 32 ,13 ? 23 ? 33 ? 62 ,13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 102 , 第五个等式为 ▲ .

, 根据上述规律,

(15)已知函数 f ( x) ? 2ln x ? bx ,直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? f ( x) 相切,则 b ? (16)某种 x 与销售额 数据 (单位:

▲ .

产品的广告费支出 y 之间有如下对应 百万元).

根据上表提供的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 6.5 x ? 17.5 , 则表中 t 的值
^

为 ▲ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? , ( ? 为参数). 以坐标 ? y ? 2 ? sin ?

原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 . (Ⅰ)求 C1 和 C2 在直角坐标系下的普通方程; (Ⅱ)已知直线 l : y ? x 和曲线 C1 交于 M , N 两点,求弦 MN 中点的极坐标. (18) (本小题满分 12 分) 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表:

高二数学(文科) 第 3 页 共 9 页

价格 x (元/kg) 日需求量 y (kg)

10 11

15 10

20 8

25 6

30 5

(Ⅰ)求 y 关于 x 的线性回归方程; (Ⅱ)当价格 x ? 40 元/kg 时,日需求量 y 的预测值为多少? (19) (本小题满分 12 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关, 对本班 50 人进行了问卷调查, 得到了如下 的列联表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 5 男生 10 女生 50 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为

3 . 5

(Ⅰ) 补充完整上面的列联表, 并判断是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关? (Ⅱ)若采用分层抽样的方法从喜爱打篮球的学生中随机抽取 3 人,则男生和女生抽取 的人数分别是多少? (20) (本小题满分 12 分) 如图所示,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AC ? BC , BC ? CC1 .设 AB1 的中
A

点为 D , B1C I BC1 ? E . (Ⅰ)证明: DE∥ 平面 AAC 1 1C ; (Ⅱ)证明: BC1 ? AB1 .
D A1 B E

C

C1

(21) (本小题满分 12 分)
x

B1

已知函数 f ? x ? ? e ? 2ax( a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ? x ? 在点 A 处的切线斜率为 ?1 . (Ⅰ)求 a 的值及函数 f ? x ? 的极值;
2 x (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时, x ? 1 ? e .

(22) (本小题满分 12 分)

高二数学(文科) 第 4 页 共 9 页

已知函数 f ( x) ? x ?

1 ? a ln x(a ? R) . x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,讨论 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设 g ( x) ? x ?

a ln x ,当 f ( x) 有两个极值点为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, e] 时,求 2

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值.

2015—2016 学年第二学期统一检测题 高二数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 A 5 A 6 C 7 A 8 D 9 B 10 D 11 A 12 C

二、填空题 (13) ?x ? R, x ? 0
2

(14) 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 21
3 3 3 3 3 3

2

(15)0

(16)50

三、解答题 (17) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由 ?

? x ? 1 ? cos ? , ? x ? 1 ? cos ? , 2 2 2 2 得? ,得 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? = cos ? ? sin ? =1 , ? y ? 2 ? sin ? ? y ? 2 ? sin ?
2 2

所以 C1 的普通方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? =1 . 因为 x ? ? cos ? ,所以 C2 的普通方程为 x ? ?2 .

(3 分) (5 分)

?? x ? 1?2 ? ? y ? 2 ?2 =1 ? 2 (Ⅱ)由 ? 得 x ? 3x ? 2 ? 0 ? ?y ? x x1 ? x2 3 3 3 ? ,弦 MN 中点的横坐标为 ,代入 y ? x 得纵坐标为 , 2 2 2 2
弦 MN 中点的极坐标为: ?

(7 分)

(9 分)

?? ?3 2, ? 4? ?2

(10 分)

高二数学(文科) 第 5 页 共 9 页

(18) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) x ?

1 ?10 ? 15 ? 20 ? 25 ? 30 ? ? 20 , 5

(1 分) (2 分)

y?
5

1 ?11 ? 10 ? 8 ? 6 ? 5 ? ? 8 , 5
2 2 2 i

? ? x ? x ? ? ? ?10? ? ? ?5?
i ?1 5 i ?1 i i

? 02 ? 52 ? 102 ? 250 ,

(3 分)

? ? x ? x ?? y ? y ? ? ?10 ? 3 ? ? ?5? ? 2 ? 0? 0 ? 5? ? ?2? ?10? ? ?3? ? ?80 .(4 分)
b?

? ? x ? x ?? y ? y ?
5 i ?1 i i

?? x ? x?
5 i ?1 i

2

?

?80 ? ?0.32 . 250

(6 分)

a ? y ? bx ? 8 ? 0.32 ? 20 ? 14.4 .
所求线性回归方程为 y ? ?0.32x ? 14.4 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知当 x ? 40 时, y ? ?0.32 ? 40 ? 14.4 ? 1.6 . 故当价格 x ? 40 元/ kg 时,日需求量 y 的预测值为 1.6 kg.

(8 分) (9 分) (11 分) (12 分)

(19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)这 50 人中喜爱打篮球的人数为 50 ? 列联表补充如下: 喜爱打篮球 男生 女生 合计
2

3 ? 30 (人). 5
不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50

(1 分)

20 10 30

(4 分) 50×(20×15-10×5) ∵K2= ≈8.333>7.879, 30×20×25×25
高二数学(文科) 第 6 页 共 9 页

(7 分)

∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关. (Ⅱ)男生应抽取的人数为 女生应抽取的人数为

(8 分) (10 分) (12 分)

20 ? 3=2 (人) , 30

10 ? 3=1 (人). 30

(20) (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)依题意知 E 是 BC1 的中点,又因为 D 是 AB1 的中点, 所以 DE 是 ?ACB1 的中位线,所以 DE / / AC . 又因为 DE ? 面ACC1 A 1 , AC ? 面ACC1 A 1, 所以 DE∥ 平面 AAC 1 1C .

A

C

B

(2 分) (3 分) (5 分)
A1

D

E C1

B1

(Ⅱ)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 面ABC , AC ? 面ABC ,所以 AC ? CC1 . (6 分) 又因为 AC ? BC, BC

CC1 ? C ,所以 AC ? 面BCC1B1 .

(7 分) (8 分) (9 分) (11 分) (12 分)

又因为 BC1 ? 面BCC1B1 ,所以 BC1 ? AC . 因为 BC =CC1 ,所以矩形 BCC1B1 是正方形,所以 BC1 ? B1C . 因为 AC, B1C ? 面B1 AC , AC

B1C ? C ,所以 BC1 ? 面B1 AC .

又因为 AB1 ? 面B1 AC ,所以 BC1 ? AB1 .

(21) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 f ? x ? ? e ? 2ax ,得 f ' ? x ? ? e ? 2a .
x x

(1 分) (2 分) (3 分)

又 f ' ? 0? ? 1 ? 2a= ?1,得 a ? ?1 .
x x ∴ f ( x) ? e ? 2 x , f ?( x) ? e ? 2 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 .

高二数学(文科) 第 7 页 共 9 页

当 x ? ln 2 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (??,ln 2) 上单调递减;当 x ? ln 2 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x ) 在 (ln 2, ??) 是单调递增; (4 分)

∴当 x ? ln 2 时, f ( x ) 取得极小值,且极小值为 f (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? 2ln 2 ,无极大 值. (Ⅱ)令 g ? x ? ? ex ? x2 ?1 ,则 g ' ? x ? ? ex ? 2x . 由(Ⅰ)得 g ?( x) ? f ( x) ? f (ln 2) ? 2 ? ln 4 ? 0 , 故 g ( x ) 在 R 上单调递增,又 g ? 0 ? ? 0 ,
2 x ∴当 x ? 0 时, g ? x ? ? g ? 0? ? 0 ,即 x ? 1 ? e .

(6 分) (8 分) (10 分) (11 分) (12 分)

(22) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域 (0, ??) .

f ' ( x) ? 1 ?

1 a x 2 ? ax ? 1 ? ? , x2 x x2
2

(1 分)

令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ax ? 1 ? 0 , ①当 0 ? a ? 2 时, ? ? a ? 4 ? 0 ,此时 f ' ( x) ? 0 恒成立,所以, f ( x ) 在定义域 (0, ??) 上
2

单调递增;
2 2

(2 分)

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ? ? a ? 4 ? 0 ,x ? ax ? 1 ? 0 的两根为 x1 ? ②当 a ? 2 时, , , x2 ? 2 2
且 x1 , x2 ? 0 . 当 x ? (0,

a ? a2 ? 4 ) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 2

(3 分)

当 x?(

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , ) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; (4 分) 2 2

高二数学(文科) 第 8 页 共 9 页

a ? a2 ? 4 当 x ?( , ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 2

(5 分)

综上,当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 的递增区间为 (0, ??) ,无递减区间;当 a ? 2 时, f ( x ) 的递增

区间为 (0,

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ),( , ??) ,递减区间为 ( , ). 2 2 2 2
(6 分)

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, f ( x ) 的两个极值点 x1 , x2 是方程 x ? ax ? 1 ? 0 的两个根, 则?
2

? x1 ? x2 ? a , ? x1 x2 ? 1

所以 x2 ?

1 1 , a ? ( x1 ? ) . x1 x1

(8 分)

∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? x1 ?

a 1 a 1 1 1 1 ln x1 ? ( ? ln ) ? x1 ? ? a ln x1 ? x1 ? ? ( x1 ? ) ln x1 . 2 x1 2 x1 x1 x1 x1
1 x

设 h( x) ? ( x ? ) ? ( x ? ) ln x , x ? (0, e] , 则 ( g ( x1 ) ? g ( x2 ))min ? h( x)min . ∵ h ( x) ? (1 ?
'

1 x

(9 分)

1 1 1 1 (1 ? x)(1 ? x) ln x ) ? [(1 ? 2 ) ln x ? ( x ? ) ] ? , (10 分) 2 x x x x x2
(11 分) (12 分)

当 x ? (0, e] 时,恒有 h' ( x) ? 0 ,∴ h( x) 在 (0, e] 上单调递减; ∴ h( x) min ? h(e) ? ?

2 2 ,∴ ( g ( x1 ) ? g ( x2 )) min ? ? . e e

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