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海南省华侨中学2015-2016学年高二上学期第一次考试数学试题


2017 届高二(上)第一次阶段性考试数学科试题

一.选择题(5 分/题,共 12 小题,每小题只有一个正确答案,共计 60 分) 1.如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是 A. ? ?3x ? 2 y ? 6 ? 0,
?x ? 0 ? ? y ? ?2,

( )

? y ? ?2, B. ? ?

3 x ? 2 y ? 6 ? 0, ?x ? 0 ?

C. ? 3 x ? 2 y ? 6 ? 0,
? ?x ? 0 ?
2

? y ? ?2,

? y ? ?2, D. ? ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0, ?x ? 0 ?
2 2 2

2.已知两圆的方程是 x +y =1 和 x +y -6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.外切 D.内切

3. 若点 A 是点 B(1,2,3)关于 y 轴对称的点, 点 C 是点 D(2, -2,5)关于 z 轴对称的点, 则|AC| =( ) A.5 B. 65
2 2

C.10 )

D. 10

4.若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x +y -2x=0 相切,则 a 的值为( A.1,-1 B.2,-2 C.1 )

D.-1

5.已知 M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点 P 的轨迹是(

A.双曲线 6.将函数 y ? sin( x ? 得图象向左平移

B.双曲线左支

C.一条射线

D.双曲线右支

?
3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所

? 个单位,则所得函数图象对应的解析式为 ( ) 3 1 1 ? 1 ? ? A. y ? sin( x ? ) B. y ? sin(2 x ? ) C. y ? sin x D. y ? sin( x ? ) 2 2 6 2 3 6

7.方程

x 2 ? ( y ? 3)2 ? x 2 ? ( y ? 3)2 ? 10 化简的结果是 ( )

y2 x2 ? ?1 A. 25 16

x2 y2 ? ?1 B. 25 21

x2 y2 ? ?1 C. 25 16

y2 x2 ? ?1 D. 25 21

8.长方体一个顶点上三条棱长分别为 3, 4,5 ,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这个球的表 面积是( )

A. 25? 9.已知椭圆的方程为

B. 50?

C. 125?

D.都不对

x2 y 2 ? ? 1 ,F1、F2 为其左右焦点,点 P 为椭圆上一点,若 VF1PF2 的 4 3

面积为 3 ,则 ?F 1PF 2 的大小为( ) A.

2? 3

B.

? 4

C.

? 2

D.

? 3

10.若圆 x2 ? y 2 ? 4 上每个点的横坐标不变.纵坐标缩短为原来的

1 ,则所得曲线的方程是 3
( )

A.

x2 y 2 ? ?1 4 12
2

B.

x2 y 2 ? ?1 4 36

C.

x2 9 y 2 ? ?1 4 4

D.

x2 y 2 ? ?1 36 4

11. 若双曲线 x ?

y2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1至多有一个交点, 则双曲 b2
) C. (1, ??) D. [2, ??)

线离心率的取值范围为( A. (1, 2)

B. (1, 2]
2

12.曲线 y=1- 4-x 与直线 y=k(x-2)-4 有两个交点,则实数 k 的取值范围是( ) A. [ ?

5 21 ,? ) 4 20

5 B.( ,+∞) 12

1 3 C.( , ] 3 4

5 3 D.( , ] 12 4

二.解答题(5 分/题,4 小题,共计 20 分)

x2 y2 ? ? 1 共渐近线且过点 (2 3, 13.与双曲线 ? 3) 的双曲线方程____________________. 16 9

14.如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 36 9

.

15. 已 知 点 P( x, y ) 为 直 线 l :

x y ? ?1 上的动点,则点 P 的坐标为 3 2
.

时,式子

x 2 ? y 2 ? 1 取得最小值为

16.已知圆 A0 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 12 , P 为该圆上任意一点,定点 A?1,0? ,线段 PA 的中垂线交

线段 PA0 所在直线于点 M ,则点 M 的轨迹方程为



三.解答题(17 题 10 分,余下 12 分/题,共计 70 分)

17.已知角 ? 的终边过点 P(1 , ? 2) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值. 18. 如图, PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC, 求证:AB⊥BC .

19.已知圆 C1:x +y -3x-3y+3=0,圆 C2:x +y -2x-2y=0,求两圆的公共弦所在的直 线方程及弦长.

2

2

2

2

20.投资生产 A 产品时,每生产 1 吨需要资金 2 万元,需场地 2 平方米,获利 1 万元;投资生 产 B 产品时,每生产 1 吨需要资金 3 万元,需场地 1 平方米,获利 2 万元.某单位可使用资金 14 万元,场地 9 平方米,问该单位如何安排生产,可获最大利润?(请同学们在答题卷所给 坐标系中用直尺规范作图并标清必要数据和方程)

21.已知双曲线 C 的中心在坐标原点,点 F1 , F2 分别为左右焦点,离心率为 e ? 点 A 2 6 ,?2 , (1)求双曲线 C 的标准方程;

2 3 ,且经过 3

?

?

(2)求双曲线 C 的焦点到一条渐近线的距离;

(3)已知点 P?? 2,?2? ,在双曲线 C 左支任取一点 M ,求 MF2 ? MP 的最小值.

22.在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点 (? 3 , 0) ,( 3 , 0) 的距离之和等于 4 ,设点 P 的轨迹为曲线 C ,直线 l 过点 E (?1, 0 ) 且与曲线 C 交于 A , B 两点. (1)求曲线 C 的轨迹方程;

(2)△ AOB 面积是否存在最大值,若存在,求出△ AOB 的面积;若不存在,说明理由.

2017 届高二(上)第一次阶段性考试数学科试题答题卷 (第二卷) 一.填空题: (5 分×4=20 分)

13.

14.

15.

,

16.

二.解答题: (12 分×5+10 分=70 分) 17.

18.

19.

20.

21.

22.

2017 届高二(上)第一次阶段性考试数学科试题参考答案

一、选择题

1-6:C C B D C D;

7-12:A B D C B A

二、填空题 13.

y 2 x2 ? ?1 9 4 4
12 18 , ) , 13 13

14. x ? 2 y ? 8 ? 0

15. P (

299 ; 13

16.

x2 y 2 ? ?1 3 2

三、解答题
2 2 17. 解: Q 角 ? 的终边过点 P(1, ? 2) ,则 r ?| OP |? 1 ? (?2) ? 5 .

?sin ? ?

?2 x 1 5 y ?2 2 5 ? ?2 ; , cos ? ? ? , tan ? ? ? ? ?? 1 r 5 r 5 5 5

18.证明:过点 A,在平面 PAB 中作 PB 的垂线 AD,垂足为 D.

Q 平面

PAB ⊥平面 PBC, 平面 PAB? 平面 PBC? PB ,

AD ? PB , AD ? 平面PAB

? AD ? 平面PBC .
又 Q BC ? 平面PBC ,? BC ? AD .

Q PA⊥平面 ABC, BC ? 平面ABC ,
? PA ? BC .
再 Q PA ? AD ? A , PA ? 平面PAB, AD ? 平面PAB ,

? BC ? 平面PAB .

Q AB ? 平面PAB ,
? AB ? BC
19.解:设两圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A、B 两点的坐标是方程组

? ?x +y -3x-3y+3=0 ? 2 2 ?x +y -2x-2y=0 ?

2

2

的解,两方程相减得:x+y-3=0,

∵A、B 两点的坐标都满足该方程,∴x+y-3=0 为所求. 将圆 C2 的方程化为标准形式:(x-1) +(y-1) =2,∴圆心 C2(1,1),半径 r= 2. 圆心 C2 到直线 AB 的距离 d= 即两圆的公共弦长为 6. 20. 解:设该单位生产 A 产品 x 吨,生产 B 产品 y 吨时,获利 z 万元,则 z ? x ? 2 y . |1+1-3| 1 2 2 = ,|AB|=2 r -d =2 2 2 1 2- = 6. 2
2 2

?2 x ? 3 y ? 14 ?2 x ? y ? 9 ? 其中变量 x 、 y 满足如下约束条件: ? , x ? 0 ? ? ?y ? 0
该不等式组表示的平面区域如右图:

由图可知,目标函数 z ? x ? 2 y 过可行域中点 A(0, 处目标函数 zmax ? 0 ? 2 ?

14 ) 3

14 28 ? . 3 3 14 28 吨时,可获最大利润,最大利润为 万元. 3 3

答:该单位生产 A 产品 0 吨,生产 B 产品

21 解: (1)设双曲线 C 的标准方程为

x2 y 2 c b 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,又 e ? ? 1 ? 2 , ? 2 2 a b a a 3

得 a ? 3b ,则
2 2

x2 y2 ? 2 ? 1 ,即 x 2 ? 3 y 2 ? 3b2 ,双曲线 C 经过 A 2 6 ,?2 ,代入解得 2 3b b x2 y2 ? ?1; 12 4

?

?

b 2 ? 4 ,? a 2 ? 12 ,? 双曲线 C 的标准方程为

(2)由( 1 )知 a ? 2 3, b ? 2 ,则 c ? 4 ,且双曲线 C 的标准方程的一条渐近线 l 为:

y?

3 4 3 x ,即 3x ? 3 y ? 0 ,取右焦点 F2 ?4,0? ,则点 F2 到直线 l 的距离 d ? ?2, 3 3?9

? 双曲线 C 的焦点到一条渐近线的距离等于 2;
(3)由(1)知双曲线 C 的左焦点 F1 ?? 4,0? ,依题意, MF2 ? MF1 ? 4 3 ,

? MF2 ? MP ? MF1 ? MP ? 4 3 ? PF 1 ?4 3 ?2 2 ?4 3 ,
因此, MF2 ? MP 的最小值等于 2 2 ? 4 3 。

22.解. (1) 由椭圆定义可知, 点 P 的轨迹 C 是以 (? 3 , 长半轴长为 2 的 0) ,( 3 , 0) 为焦点, 椭圆,故曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)存在△ AOB 面积的最大值. 因为直线 l 过点 E (?1, 0 ) ,可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 或 y ? 0 (舍) .

? x2 ? ? y 2 ? 1, 则? 4 整理得 (m2 ? 4) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 .由 ? ? (2m)2 ? 12(m2 ? 4) ? 0 . ? x ? my ? 1. ?
设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) .

解得

y1 ?

m ? 2 m2 ? 3 , m2 ? 4

y2 ?

m ? 2 m2 ? 3 4 m2 ? 3 . .则 | y ? y | ? 2 1 m2 ? 4 m2 ? 4
1 m2 ? 3

2 2 因为 S ?AOB ? 1 OE ? y1 ? y2 ? 2 m ? 3 ? 2 2 m ?4 m2 ? 3 ?

设 g (t ) ? t ? , t ? m2 ? 3 , t ? 3 ,则 g (t ) 在区间 [ 3, ??) 上为增函数. 所以 g (t ) ?

1 t

4 3 . 3 3 3 ,当且仅当 m ? 0 时取等号,即 ( S ?AOB ) max ? . 2 2

所以 S?AOB ?

所以 S?AOB 的最大值为

3 . 2


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