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正方形的性质与判定


19.2.3 正方形

2002年世界数学大会会标

创设情景 ?

情景一
?
90?

问题:
从这个图形中你想到了什么?

想一想:正方形是怎样的矩形?

正方形 矩形

邻边相等 的矩形

情景二
A

D

A

D?

B

C

B

C?

图中CD在移动时,这个图形始终是怎样的图形? (CD在移动的过程中始终保持与AB平行) 当CD移动到 C ?D? 位置,且 AD? ? AB 时,此 时的图形还是矩形吗?

想一想:正方形是怎样的菱形?

正方形 菱形

一个角是直角的菱形

矩形 两组 对边

四边形
分别 平行

平行四 边形 菱 形

菱形

平行四边形

正方 形

矩形
一组邻边相等 平行四边形 一内角是直角

正方形

定义:一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形

平行四边形,矩形,菱形,正方形的关系

平行四边形 正 方 形

矩形

菱形

正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩 形,也是特殊的菱形。

边: 对边平行 四边相等
角 :四个角都是直角 对角线:相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。 图形的对称性:既是轴对称图形, 又是中心对称图形.

你觉得什么样的四边形是 正方形呢?( 判断一个四边形 是正方形有哪些方法?)

正方形的判定方法:

(可从平行四边形、矩形、菱形为基础)

1、

平行四边形 一内角是直角

一组邻边相等

正方形

定义法

2、

一内角是直角

菱形

正方形

菱形法

3、

矩形

一组邻边相等

正方形

矩形法

以四边形为基础:

①四条边相等,四个角都是直角 四边形 ②对角线互相垂直、平分且相等 正方形

既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

例1、求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个
全等的等腰直角三角形。 已知:如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。 求证: △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO

1、判断题:
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
等腰直角三角形(



) )

(3)如果一个菱形的对角线相等,那么它一定 是正方形 (





(4)如果一个矩形的对角线互相垂直,那么它 一定是正方形 ( 是正方形(





(5)四条边相等,且有一个角是直角的四边形





×

(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形(

(6)正方形一定是矩形.(√ ) (7)正方形一定是菱形.(√ ) (8)菱形一定是正方形.( ) (9)矩形一定是正方形.( ) (10) 正 方 形 、 矩 形 、 菱 形 都 是 平 行 四 边 形. (√ )

(12)正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴(

(13)四个角都相等的四边形是正方形 ( (14)四条边都相等的四边形是正方形 (

) )

×

× ×

× ×

)

2、选择题:

(1)正方形具有而矩形不一定具有的性质是(B A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等. (2)正方形具有而菱形不一定具有的性质( D) A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.

(3)下列命题正确的是( D ) A、四个角都相等的四边形是正方形

B、四条边都相等的四边形是正方形
C、对角线相等的平行四边形是正方形

D、对角线互相垂直的矩形是正方形

(4)四个内角都相等的四边形一定是(C )
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形 能判定这个四边形是正方形的是:( A.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD B.AD∥BC ∠A=∠C C.AO=CO BO=DO AB=BC D.AC=BD )A

(5)在四边形ABCD中,O是对角线的交点,

(6 )四个内角都相等,四条边也都相等的 四边形一定是:( A )
A.正方形 四边形 B.菱形 C.矩形 D.平行

3、填一填
(1)如图:正方形ABCD的周长为15cm,则

矩形EFCG的周长为

7.5

cm。
A

E
B

D G

F C

A

D

(2)已知:正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O,且AB=2cm,则AC= 2 2 , 2
O

4 正方形的面积S=______.
B

2
C

A (3)已知:在正方形ABCD中,对角线AC、

D

BD相交于点O,且AC=6

2

cm,
O

36 6 面积S=________.则边长AB=______,
B

C

4、思考题: 如图正方形ABCD的对角线相交于
点O,O又是另一个正方形OEFG的一个顶点,若正 方形OEFG绕点O旋转,在旋转的过程中.

探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会 发生变化?并说明理由。 探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边 分别相交于MN,试判断线段AM于BN之间 的关系.

作业:教材103页第13题
104页第15题

晚上:配套练习册第一课时

5、已知四边形ABCD是平行四边形,对角线 AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC,则四边形ABCD是( 菱形 )
⑵若AC=BD,则四边形ABCD是( 矩形 )

⑶若∠BCD=900,则四边形ABCD是( 矩形 )
⑷若OA=OB,则四边形ABCD是( 矩形 )

⑸若AB=BC,且AC=BD,则四边形ABCD是
( 正方形 )

6、如图,在正方形ABCD中,点E在对角 线AC上,那么,BE和DE相等吗?为什么?
D C

解:BE=DE. 因为 对角线AC所在的直 线是正方形ABCD的对 称轴,而点E在对称轴 上,点B为点D关于AC 的对称点, 所以 BE=DE

E A B

例2.如图(3),正方形ABCD中,AC、BD相交于O,
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N,
求证:BM=CN。

分析:要证明BM=CN,大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? △ABM≌△BCN 你所要证明的两个三角形已经满足 了哪些条件?

由正方形可以得到的条件有: AB=BC,∠1=∠2=45 °

条件够吗?

还需要的条件是 AM=BN(AO=BO,MO=NO?

你能完成证明吗???

例2、如图,正方形ABCD中,AC、BD相交于O,MN∥AB
且MN分别交OA、OB于M、N,求证:BM=CN。

证明:
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA=OB AB=BC ∠1=∠2=∠3=45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN=∠1=∠3=∠ONM=45° ∴OM=ON ∴OA-OM=OB-ON 即:AM=BN ∴△ABM≌△BCN ∴BM=CN

例3、 直角三角形ABC中,CD平分∠ACB交AB于D,
DE⊥AC,DF⊥AB。求证:四边形CEDF是正方形。
证明:∵ DE⊥AC,DF⊥AB ∴ ∠DEC=90°, ∠DFC=90° 而∠ACB=90° ∴
有三个角是 直 四边形ABCD为矩形( ) 角的四边形是矩 形

F

∵ CD平分∠ACB

DE⊥AC, DF⊥BC ∴ DE=DF(角平分线的定理 )

B

D

A

有一组邻边相 ∴四边形ABCD是正方形( ) 等的矩形是正 方形

例4.已知:如图(4)在正方形ABCD中,F为CD延长线

上一点,CE⊥AF于E,交AD于M,
求证:∠MFD=45°

分析:
欲证∠MFD=45°,由于

△MDF是直角三角形,只须证 △MDF是等腰三角形,即只要证

_____=_____ 要证MD=FD,大家只须证得哪两个三角形全等?

△CMD≌△ADF

试一试

看能不能完成证明???

例4、已知:如图(4)在正方形ABCD中,F为CD延长线上
一点,CE⊥AF于E,交AD于M, 求证:∠MFD=45°

证明:
∵CE⊥AF 四边形ABCD是正方形 ∴∠ADC=∠AEM=90° ∵∠CMD=∠AME ∴∠1=∠2 又∵CD=AD,∠ADF=∠MDC=Rt∠ ∴Rt△CDM≌Rt△ADF ∴DM=DF (AAS) ∴∠MFD=45°

7、如图,在AB上取一点C,以AC、BC为正方形的一边 在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF 于H。

求证:(1) △ACF≌△DCB

(2)

BH⊥AF

8、如图(6),△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG,连

结BG、CE,交点为N。
求证:∠CEA=∠ABG 证明:∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。 ∴AE=AB AG=AC ∠1=∠2=90°

又∵∠EAC=∠1+∠BAC=90°+∠BAC
∠BAG=∠2+∠BAC=90°+∠BAC ∴∠EAC=∠BAG ∴△AEC≌△ABG ∴∠CEA=∠ABG (SAS)

9、在正方形ABCD中,点A`,B`,C`,D`分别在

AB,BC,CD,DA上,且AA`=BB`=CC`=
DD`.四边形A`B`C`D`是正方形吗?为什么?

A

D

G B
BE=CF,探索图中AE与BF的关系。

F

E

C

10、如图,点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上,

11、如图,在正方形ABCD中,E在BC的延长线上,

且CE=AC,AE交CD于F,则求∠AFC的度数。

A

D

F

B

C

E

12、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F. 1)试说明:DE=DF 2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.

请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)

E

A F D C

B

课外拓展:
1、在一块正方形的花坛上,欲修建两条直的小 路,使得两条直的小路将花坛平均分成面积相 等的四部分(不考虑道路的宽度),你有几种 方法?(至少说出三种)

2 、如何设计花坛?

在一块正方形的花坛上,欲修建两条直 的小路,使得两条直的小路将花坛平均 分成面积相等的四部分(不考虑道路的 宽度),你有几种方法?(至少说出三 种)

请你当设计师

3、已知:正方形ABCD对角线AC、BD相
交于点O,且AB=2cm,如图(2)。 求:AC的长及正方形的面积S。 矩形EFCG的周长。
E

G

F

4、已知:如图矩形ABCD,对角线AC、 BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于 0,求 点E,连接OE,若∠EAO=15 ∠BOE的度数。
A O
B C D

E

5、在正方形ABCD中,AC=10,P是 AB上任意一点,PE⊥AC于点E, PF⊥BD于点F,求PE+PF的值。
A
E P F B C D

6、如图,正方形ABCD的边长为8, M在DC上,且DM=2,N是AC上一个动 点,求DN+MN的最小值。
A
N D M

B

C

7、如图,正方形ABCD的边长为8, M在DC上,且DM=2,N是AC上一个动 点,求DN+MN的最小值。
A
N D M

B

C

8、已知,如图在△ABC中,AB=AC, AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角 ∠CAM的平分线,CE⊥AN垂足为点E, ①求证:四边形ADCE是矩形。 ②当△ABC满足什么条件时,四边形

ADCE是正方形,说明理由。
A

M

E
N

B

D

C

9、如图B、C、E是同一直线上的三个点, 四边形ABCD与CEFG是正方形,连接 BG、DE (1)观察、猜想BG与DE之间的大小关 系,并说明理由。 (2)正方形CEFG在绕点C旋转过程中, BG与DE之间的关系是否仍然成立。
A
G B C

D
F E

A

D G

F
B C E

10、如图,M为正方形ABCD边AB的中 点,E是AB延长线上一点,MN⊥DM, 且交∠CBE的平分线于点N。 (1)求证:MD=MN (2)若将上述条件中的“M是AB的中点” 改为“M为AB上任意一点”,其它条件不 变,问结论MD=MN是否仍然成立。
D F


C N M B

D P


C N

A

E A

M B

E

11、探究三: 若正方形OEFG继续旋转时AM与

BN之间的关系是否还成立? 探究四: 如图,有两个大小不等的两个正 方形,其中小正方形的面积是大正方形面 积的一半,若阴影部分的面积为8,则小正 方形的边长为多少?

第十九章 四边形

12、构建与证明
如图,分别延长等腰直角三角形OAB的两条直 角边AO和BO,使AO=OC,BO=OD 求证:四边形ABCD是正方形。 A O B C D

第十九章 四边形

13、长见识
数一数图中正方形的个数,你发现了什么?



)个(

)个



)个



)个







第n个图中正方形有

3n-1 个

14、四边形ABCD是正方形,两条对角线相交 于点O,(1)求∠AOB,∠OAB的度数. F D A 解:∵四边形ABCD是正方形 ∴AC⊥BD ∠AOB=900 O ∠BAC=∠DAC C ∴∠OAB=450 B E (2)若AC=4,则正方形边长 2√2 ; 正方 形的面积是 8 (3)正方形的面积64cm,则对角线交点 到正方形一边的距离 4㎝

15、AC为正方形ABCD的对角线,E为AC上一点, 且AB=AE, EF⊥AC交BC于F. 请说明: EC=EF=FB A 解: ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴∠B=900 , ∠ACB=450 ∵∠AEF=900 AB=AE ∴△ABF≌△AFE(HL) ∴BF=EF B 又∵∠FEC=900, ∠ECF=45° ∴∠EFC=45° ∴EC=EF(等角对等边) ∴BF=EF=EC
D

E F C

D

C

16、在正方形ABCD中,点P是对 角线AC上一点,PE⊥AB, PF⊥BC,垂足分别是 点E、F.求证:DP=EF
P

F

A

E

B

课外拓展:
17、如图所示是一块在电脑屏幕上出现矩形色块 图,由6个颜色不同的正方形组成,若中间最小 的一个正方形边长为1,你能求这矩形色块的面 积吗?

成功就是99%的血汗, 加上1%的灵感。 ------爱迪生

马人道 克,, 思才只 在 能有 科 达不 学 到畏 上 光艰 从 辉险 没 的勇 有 顶于 平 点攀 坦 登的 的大 ------


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