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高中数学必修1 第3章 3.1.1 知能优化训练


高中数学必修 1 第 3 章 3.1.1 知能优化训练

1.函数 f(x)=log5(x-1)的零点是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 C.log5(x-1)=0,解得 x=2,∴函数 f(x)=log5(x-1)的零点是 x=2,故选 C. 2.根据表格中的数据,可以判断方程 ex-x-2=0 必有一个根在区间( ) x 0 1 2 3 -

1 ex 0.37 1 2.78 7.39 20.09 1 2 3 4 5 x+2 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 解析:选 C.设 f(x)=ex-x-2,∵f(1)=2.78-3=-0.22<0,f(2)=7.39-4=3.39>0.∴f(1)f(2)<0,由根 的存在性定理知,方程 ex-x-2=0 必有一个根在区间(1,2).故选 C. 2 ? ?x +2x-3,x≤0 ? 3.(2010 年高考福建卷)函数 f(x)= 的零点个数为( ) ?-2+lnx,x>0 ? A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 C.当 x≤0 时,由 f(x)=x2+2x-3=0,得 x1=1(舍去),x2=-3;当 x>0 时,由 f(x)=-2+lnx =0,得 x=e2,所以函数 f(x)的零点个数为 2,故选 C. 4.已知函数 f(x)=x2-1,则函数 f(x-1)的零点是________. 解析:由 f(x)=x2-1,得 y=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x,∴由 x2-2x=0.解得 x1=0,x2=2,因此,函 数 f(x-1)的零点是 0 和 2. 答案:0 和 2 1.若函数 f(x)=ax+b 只有一个零点 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是( 1 A.0,2 B.0,- 2 1 1 C.0, D.2, 2 2 )

1 解析:选 B.由题意知 2a+b=0,∴b=-2a,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1),g(x)=0,则 x=0 或- . 2 2 2.若函数 f(x)=x +2x+a 没有零点,则实数 a 的取值范围是( ) A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1 解析:选 B.由题意知,Δ=4-4a<0,∴a>1. 2 3.函数 f(x)=lnx- 的零点所在的大致区间是( ) x A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e,3) 2 解析:选 B.∵f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3- >0,∴f(2)· f(3)<0,∴f(x)在(2,3)内有零点. 3 4.下列函数不存在零点的是( ) 1 A.y=x- B.y= 2x2-x-1 x ?x+1 ?x≤0? ?x+1 ?x≥0? ? ? C.y=? D.y=? ? ? ?x-1 ?x>0? ?x-1 ?x<0? 1 解析:选 D.令 y=0,得 A 和 C 中函数的零点均为 1,-1;B 中函数的零点为- ,1;只有 D 中函数无 2 零点. 5.函数 y=loga(x+1)+x2-2(0<a<1)的零点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.无法确定 解析:选 C.令 loga(x+1)+x2-2=0,方程解的个数即为所求函数零点的个数.即考查图象 y1=loga(x+

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1)与 y2=-x +2 的交点个数. 1 - 6.设函数 y=x3 与 y=( )x 2 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是( ) 2 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 1 - 解析:选 B.设 f(x)=x3-( )x 2, 2 1- 1- 1 则 f(0)=0-( ) 2<0;f(1)=1-( ) 1<0;f(2)=23-( )0>0.∴函数 f(x)的零点在(1,2)上. 2 2 2 7.函数 f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为 1,则它的另一个零点为________. 2a 解析:设方程 f(x)=0 的另一根为 x,由根与系数的关系,得 1+x=- =-2, a 故 x=-3,即另一个零点为-3. 答案:-3 8.若函数 f(x)=3ax-2a+1 在区间[-1,1]上存在一个零点,则 a 的取值范围是________. 解析:因为函数 f(x)=3ax-2a+1 在区间[-1,1]上存在一个零点,所以有 f(-1)· f(1)≤0,即(-5a+1)· (a ?5a-1≥0 ?5a-1≤0, ? ? 1 +1)≤0,(5a-1)(a+1)≥0,所以? 或? 解得 a≥ 或 a≤-1. 5 ? ? a + 1 ≥ 0 a + 1 ≤ 0 , ? ? 1 答案:a≥ 或 a≤-1. 5 9.下列说法正确的有________: ①对于函数 f(x)=x2+mx+n,若 f(a)>0,f(b)>0,则函数 f(x)在区间(a,b)内一定没有零点. ②函数 f(x)=2x-x2 有两个零点. ③若奇函数、偶函数有零点,其和为 0. ④当 a=1 时,函数 f(x)=|x2-2x|-a 有三个零点. 解析:①错,如图.

2

②错,应有三个零点.

③对,奇、偶数图象与 x 轴的交点关于原点对称,其和为 0. ④设 u(x)=|x2-2x|=|(x-1)2-1|,如图向下平移 1 个单位,顶点与 x 轴相切,图象与 x 轴有三个交点.∴ a=1. 答案:③④ 10.若方程 x2-2ax+a=0 在(0,1)恰有一个解,求 a 的取值范围. 解:设 f(x)=x2-2ax+a. 由题意知:f(0)· f(1)<0,即 a(1-a)<0,根据两数之积小于 0,那么必然一正一负.故分为两种情况. ?a>0, ?a<0, ? ? ? 或? ∴a<0 或 a>1. ? ? ?1-a<0, ?1-a>0, 1 11.判断方程 log2x+x2=0 在区间[ ,1]内有没有实数根?为什么? 2 1 1 1 1 3 解:设 f(x)=log2x+x2,∵f( )=log2 +( )2=-1+ =- <0, 2 2 2 4 4 1 1 f(1)=log21+1=1>0,∴f( )· f(1)<0,函数 f(x)=log2x+x2 的图象在区间[ ,1]上是连续的,因此,f(x) 2 2

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1 1 在区间[ ,1]内有零点,即方程 log2x+x2=0 在区间[ ,1]内有实根. 2 2 12.已知关于 x 的方程 ax2-2(a+1)x+a-1=0,探究 a 为何值时, (1)方程有一正一负两根; (2)方程的两根都大于 1; (3)方程的一根大于 1,一根小于 1. a-1 ? ? <0 解:(1)因为方程有一正一负两根,所以由根与系数的关系得? a , ?Δ=12a+4>0 ? 解得 0<a<1.即当 0<a<1 时,方程有一正一负两根. (2)法一:当方程两根都大于 1 时,函数 y=ax2-2(a+1)x+a-1 的大致图象如图(1)(2)所示,

? ?Δ>0 所以必须满足?a+1 >1 a ? ?f?1?>0
a>0

? ?Δ>0 ,或?a+1 >1 a ? ?f?1?<0
a<0

,不等式组无解.

所以不存在实数 a,使方程的两根都大于 1. 法二:设方程的两根分别为 x1,x2,由方程的两根都大于 1,得 x1-1>0,x2-1>0, ? ? ??x1-1??x2-1?>0 ?x1x2-?x1+x2?+1>0 即? ?? . ??x1-1?+?x2-1?>0 ?x1+x2>2 ? ? 1 2?a+1? - +1>0 ?a- a a 所以? 2?a+1? ? a >2
? ?a<0 ?? ,不等式组无解. ?a>0 ?

即不论 a 为何值,方程的两根不可能都大于 1. (3)因为方程有一根大于 1,一根小于 1,函数 y=ax2-2(a+1)x+a-1 的大致图象如图(3)(4)所示,

?a>0 ?a<0 ? ? 所以必须满足? 或? ,解得 a>0. ?f?1?<0 ?f?1?>0 ? ? ∴即当 a>0 时,方程的一个根大于 1,一个根小于 1.


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