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【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习:选修4-4-2 参数方程]


选修 4-4-2 参数方程

一、填空题 1 ? ?x=1- t 1.曲线的参数方程是? (t 是参数,t≠0),它的普通方程是__________. 2 ? ?y=1-t x?x-2? 答案:y= ?x-1?2
2 ? ?x=4t , ? 2. 已知点 P(3, m)在以点 F 为焦点的抛物线 (t 为参数)上, 则|PF|=__________.

?y=4t ?

解析: 将抛物线的参数方程化为普通方程为 y2=4x, 则焦点 F(1,0), 准线方程为 x=-1, 又 P(3,m)在抛物线上,由抛物线的定义知|PF|=3-(-1)=4. 答案:4 ?x=-1+cosα ? 3.已知圆 C 的参数方程为? (α 为参数),当圆心到直线 kx+y+4=0 的距 ? ?y=1+sinα 离最大时,k 的值为__________. 1 答案:- 5 ? ?x=3cosθ → 4 .已知 O 为原点,参数方程 ? (θ 为参数 ) 上的任意一点为 A ,则 | OA | = ?y=3sinθ ? __________. 答案:3 ? ?x=2+cosθ 5.若直线 l:y=kx 与曲线 C:? (θ 为参数)有唯一的公共点,则实数 k= ?y=sinθ ? __________. 3 答案:± 3 ?x=a+2cosθ ? 6.如果曲线 C:? (θ 为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为 2,则实数 ?y=a+2sinθ ? a 的取值范围是__________. 答案:(-2 2,0)∪(0,2 2) 7.在极坐标系中,直线 l1 的极坐标方程为 ρ(2cosθ+sinθ)=2,直线 l2 的参数方程为 ?x=1-2t ? ? (t 为参数),若直线 l1 与直线 l2 垂直,则 k=__________. ?y=2+kt ? 答案:-1 4 x=1+ t 5 π θ+ ?所截的弦长为__________. 8.求直线 (t 为参数)被曲线 ρ= 2cos? ? 4? 3 y=-1- t 5 7 答案: 5 ? ?x=-2+cosθ y 9.已知点 P(x,y)在曲线? (θ 为参数,θ∈[π,2π])上,则 的取值范围是 x ? ?y=sinθ

? ? ?

__________.

3 答案: ?0, ? 3 ? ? 三、解答题 10. (2013· 辽宁卷)在直角坐标系 xOy 中, 以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, π ? 圆 C1,直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ=4sinθ,ρcos? ?θ-4?=2 2. (1)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (2)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为 x=t3+a, ? ? ? b3 (t∈R 为参数),求 a,b 的值. y= t +1 ? ? 2 解析:(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4. 直线 C2 的直角坐标方程 x+y-4=0. ?x2+?y-2?2=4, ?x1=0, ?x2=2, ? ? ? 由? 得? 或? ? ? ? ?x+y-4=0, ?y1=4 ?y2=2. π? ? π? ∴C1 与 C2 交点的极坐标为? ?4,2?,?2 2,4?. 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得 P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3),故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0, b ab 由参数方程可得 y= x- +1. 2 2 b =1, 2 ∴ 解得 a=-1,b=2. ab - +1=2, 2

? ? ?

11.在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 解析:(1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2, 圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cosθ. ?ρ=2, ? π 解? 得 ρ=2,θ=± , 3 ?ρ=4cosθ ? π? ? π? 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为? ?2,3?,?2,-3?.
?x=ρcosθ, ? (2)解法一:由? 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3). ?y=ρsinθ, ? ? ?x=1, 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? ?y=t, ?

- 3≤t≤ 3.
? ? ? ?x=1, - 3≤y≤ 3? ?或参数方程写成? ?y=y, ? ? ? ? ?x=ρcosθ, 解法二:将 x=1 代入? ?y=ρsinθ, ? 1 得 ρcosθ=1,从而 ρ= . cosθ

于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为 ?x=1, ? π π ? - ≤θ≤ . 3 3 ? y = tan θ , ?
? ?x=2cosφ 12.已知曲线 C1 的参数方程是? (φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半 ?y=3sinφ ? 轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 π? A,B,C,D 以逆时针次序排列,点 A 的极坐标为? ?2,3?. (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围. π π? 解析:(1)由已知可得 A? ?2cos3,2sin3?, ?π π? ?π π?? B? ?2cos?3+2?,2sin?3+2??, ?π+π?,2sin?π+π??, C? 2cos ? ?3 ? ?3 ?? π 3π ? ? ?π 3π?? D? ?2cos?3+ 2 ?,2sin?3+ 2 ??, 即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1). (2)设 P(2cosφ,3sinφ),令 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则 S=16cos2φ+36sin2φ+16 =32+20sin2φ. 因为 0≤sin2φ≤1,所以 S 的取值范围是[32,52].


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