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2016


1.3.1

二项式定理

1.会证明二项式定理.(难点) 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.(重点)

[基础·初探] 教材整理 二项式定理 阅读教材 P29~P31,完成下列问题. 二项式定理及相关的概念 二项式定理 概念 二项式系数 二项式通项 二项展开式 备注 Cna
k n-k k

公式(a+b) =Cna +Cna

n

0 n

1 n-1

n-2 2 n-k k n * b+C2 b +?+Ck b +?+Cn na na nb (n∈N )称为二

项式定理 各项的系数 Cn(k∈{0,1,2,?,n})叫做二项式系数
n-k k b 是展开式中的第 k+1 项,可记作 Tk+1=Ck b (其中 0≤k≤n,k∈N, na k

n∈N*)
Cna +Cna
0 n 1 n-1

n-2 2 n-k k n * b+C2 b +?+Ck b +?+Cn na na nb (n∈N ) n
0 1 2 2

在二项式定理中, 如果令 a=1, b=x, 则得到公式(1+x) =Cn+Cnx+Cnx +? +Cnx +?+Cnx (n∈N )
k k n n
*

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)(a+b) 展开式中共有 n 项.(
n

) )

(2)在公式中,交换 a,b 的顺序对各项没有影响.( (3)Cna
k n-k k

b 是(a+b)n 展开式中的第 k 项.(
n n

) )

(4)(a-b) 与(a+b) 的二项式展开式的二项式系数相同.( 【解析】 (1)× 因为(a+b) 展开式中共有 n+1 项. (2)× 因为二项式的第 k+1 项 Cna 的,其中的 a,b 是不能随便交换的. (3)× 因为 Cna
k n- k k k n-k k n

n-k k b 和(b+a)n 的展开式的第 k+1 项 Ck a 是不同 nb

b 是(a+b)n 展开式中的第 k+1 项.
n n r

(4)√ 因为(a-b) 与(a+b) 的二项式展开式的二项式系数都是 Cn.
1

【答案】 (1)×

(2)× (3)× (4)√ [质疑·手记]

预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[小组合作型]

二项式定理的正用、逆用 3 ?5 ? (1)用二项式定理展开?2x- 2? ; 2x ? ? (2)化简:Cn(x+1) -Cn(x+1)
0

n

1

n-1

+Cn(x+1)

2

n-2

-?+(-1) Cn(x+1)

k k

n-k

+?+(-1) Cn.

n n

【精彩点拨】 (1)二项式的指数为 5,且为两项的和,可直接按二项式定理展开;(2) 可先把 x+1 看成一个整体,分析结构形式,逆用二项式定理求解. 3 ?5 0 3 ?5 ? ? 3? 5 1 4 5? 【自主解答】 (1)?2x- 2? =C5(2x) +C5(2x) ·?- 2?+?+C5?- 2? 2x ? ? ? 2x ? ? 2x ? 180 135 405 243 5 2 =32x -120x + - 4 + 7 - 10. x x 8x 32x (2) 原式= C n(x + 1) + C n (x + 1)
n n n
0

n

1

n-1

( - 1) + C n (x + 1)

2

n-2

( - 1) +?+ C n (x + 1)

2

k

n-k

( - 1)

k

+?+Cn(-1) =[(x+1)+(-1)] =x .

n

1.展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征,准确理 解二项式的特点是展开二项式的前提条件. 2.对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便. 3.对于化简多个式子的和时,可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解,要 熟悉公式的特点,项数,各项幂指数的规律以及各项的系数.

2

[再练一题]

? 1.(1)求?3 x+ ?
1

1 ?4

x?

? 的展开式;
2

(2)化简:1+2Cn+4Cn+?+2 Cn.

n n

? 【解】 (1)法一:?3 x+ ?
· 1 +C4(3 x) ·?
2 2

1 ?4

0 4 1 3 ? =C4(3 x) +C4(3 x) x?

x

? 1 ?2 3 ? 1 ?3 4? 1 ?4 ? +C4(3 x)? ? +C4? ? ? x? ? x? ? x?
x x

12 1 2 =81x +108x+54+ + 2.

? 法二:?3 x+ ?
x

1 ?4 ?3x+1?4 ?= 2

x?

x

1 4 3 2 = 2(81x +108x +54x +12x+1) 12 1 2 =81x +108x+54+ + 2.

x

x

(2)原式=1+2Cn+2 Cn+?+2 Cn=(1+2) =3 .

1

2 2

n n

n

n

二项式系数与项的系数问题 1?6 ? (1)求二项式?2 x- ? 的展开式中第 6 项的二项式系数和第 6 项的系数;

?

x?

? 1?9 3 (2)求?x- ? 的展开式中 x 的系数. ?
x?
【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项, 可以通过二项展开式的通项公式 进行求解. 【自主解答】 (1)由已知得二项展开式的通项为 Tr+1 =C6(2 x)
r r r
6-r

? 1?r ·?- ? ? x?
6-r

=(-1) C6·2

3 ·x3- r, 2

9 ∴T6=-12·x- . 2 ∴第 6 项的二项式系数为 C6=6, 第 6 项的系数为 C6·(-1)·2=-12. (2)Tr+1=C9x
r 9-r
5 5

? 1?r r r 9-2r ·?- ? =(-1) ·C9·x , ? x?

3

∴9-2r=3,∴r=3,即展开式中第四项含 x ,其系数为(-1) ·C9=-84.

3

3

3

1.二项式系数都是组合数 Cn(k∈{0,1,2,?,n}),它与二项展开式中某一项的系数不 一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念. 2.第 k+1 项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为 Cn.例如,在 (1+2x) 的展开式中,第四项是 T4=C71 是 C72 =280.
3 3 7 3 7-3

k

k

(2x) ,其二项式系数是 C7=35,而第四项的系数

3

3

[再练一题] 2.(1+2x) 的展开式中第六项与第七项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项 和系数最大的项. 【解】 T6=Cn(2x) ,T7=Cn(2x) ,依题意有 Cn2 =Cn2 ? n=8. ∴(1+2x) 的展开式中,二项式系数最大的项为 T5=C8(2x) =1 120x .
? ?C82 ≥C8 2 , 设第 k+1 项系数最大,则有? k k k+1 k+1 ?C82 ≥C8 2 , ?
k k k-1 k-1 n
4 4 4 5 5 6 6 5 5 6 6

n

∴5≤k≤6. ∴k=5 或 k=6(∵k∈{0,1,2,?,8}). ∴系数最大的项为 T6=1 792x ,T7=1 792x . [探究共研型]
5 6

求展开式中的特定项

? 1?4 探究 1 如何求?x+ ? 展开式中的常数项. ?
x?
【提示】 利用二项展开式的通项 C4x
r 4-r

1 r 4-2r · r=C4x 求解,令 4-2r=0,则 r=2,所

x

4×3 ? 1?4 2 以?x+ ? 展开式中的常数项为 C4= =6. 2 ? x? 探究 2 (a+b)(c+d)展开式中的每一项是如何得到的? 【提示】 (a+b)(c+d)展开式中的各项都是由 a+b 中的每一项分别乘以 c+d 中的每 一项而得到.

? 1? 3 探究 3 如何求?x+ ?(2x+1) 展开式中含 x 的项? ?
x?
1 1 ? 1? 3 3 【提示】 ?x+ ?(2x+1) 展开式中含 x 的项是由 x+ 中的 x 与 分别与(2x+1) 展开

?

x?

x

x

4

1 1 3 2 1 2 2 2 3 2 式中常数项 C3=1 及 x 项 C32 x =12x 分别相乘再把积相加得 x·C3+ ·C3(2x) =x+12x=

x

? 1? 3 13x.即?x+ ?(2x+1) 展开式中含 x 的项为 13x. ?
x?

?3 3 ? ? ?n 的展开式中,第 6 项为常数项. x - 已知在 ? 3 ? x? ?
(1)求 n; (2)求含 x 项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.
2

【自主解答】 通项公式为:

n-r r r r r n-2r Tr+1=Cr (-3) x- =Cn(-3) x . nx
3 3 3 (1)∵第 6 项为常数项, ∴r=5 时,有

n-2r
3

=0,即 n=10.

10-2r 1 (2)令 =2,得 r= (10-6)=2, 3 2 ∴所求的系数为 C10(-3) =405. 10-2r ? ? 3 ∈Z, (3)由题意得,? 0≤r≤10, ? ?r∈Z. 3 则 10-2r=3k,即 r=5- k. 2 ∵r∈Z,∴k 应为偶数,
2 2

10-2r 令 =k(k∈Z), 3

k=2,0,-2 即 r=2,5,8,
所以第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项,它们分别为 405x ,-61 236,295 245x .
2 -2

1.求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第 k 项,Tk=Cn a
k-1 n-k+1 k-1

b ;
5

(2)求含 x 的项(或 x y 的项); (3)求常数项; (4)求有理项. 2.求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项); (2)对于有理项,一般是先写出通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解 这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的 整除性来求解; (3)对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方 式与求有理项一致.

k

p q

[再练一题] 3.(1)在(1-x )(1+x) 的展开式中,x 的系数是________. (2)若?x-
3 10 5

? ?

a?6 则常数 a 的值为________. 【导学号: 97270021】 ? 展开式的常数项为 60, x2 ?
5 10 5 2 3

【解析】 (1)x 应是(1+x) 中含 x 项、含 x 项分别与 1,-x 相乘的结果, ∴其系数为 C10+C10(-1)=207. (2)?x-
5 2

? ?

x ?
2

a?6

k 6-k ? 的展开式的通项是 Tk+1=C6x ·

(- a) x
2

k -2k

=C6x

k 6-3k

(- a) ,令 6-3k=0,得 k=2,即当 k=2 时,Tk+1 为常数项,即

k

常数项是 C6a, 根据已知得 C6a=60,解得 a=4. 【答案】 (1)207 (2)4 [构建·体系]
2

6

1.在(x- 3) 的展开式中,含 x 的项的系数是( A.-27C C.-9C
6 10

10

6

)

B.27C
4

4 10

6 10 6 4 6

D.9C10
4 4 6

【解析】 含 x 的项是 T5=C10x (- 3) =9C10x . 【答案】 D

?x- 1 ? 8 2.在?2 3 ? 的展开式中常数项是( ? ?
x?

?

) B.-7 D.28

A.-28 C.7 【解析】 Tk+1=C8·? ? ?2?
k

? 1 ? ?x?8-k·?- ?k=(-1)k·Ck·?1?8-k·x8-4k,当 8-4k=0,即 8 ?2? ? 3 x? 3 3 ? ? ? ? ?1? ? ?

2 k=6 时,T7=(-1)6·C6 8·? ? =7. 2

【答案】 C

? 2 1?6 3.在?2x - ? 的展开式中,中间项是________. ?
x?
【解析】 由 n=6 知中间一项是第 4 项,因 T4=

? 1?3 3 3 2 3 3 3 3 3 C6(2x ) ·?- ? =C6·(-1) ·2 ·x ,所以 T4=-160x . ? x?
【答案】 -160x
3

? 2 1 ?9 4. 在?x - ? 的展开式中, 第 4 项的二项式系数是________, 第 4 项的系数是________. 2x? ?
【导学号:97270022】

7

【解析】 Tk+1=C9·(x )

k

2 9-k

? 1 ?k ? 1?k k 18-3k, ? 1? 9 ·?- ? =?- ? ·C9·x 当 k=3 时, T4=?- ?3·C3 9·x ? 2x? ? 2? ? 2?

21 9 21 3 =- x ,所以第 4 项的二项式系数为 C9=84,项的系数为- . 2 2 21 【答案】 84 - 2

? 3 2 ?5 5.求?x + 2? 的展开式的第三项的系数和常数项. 3x ? ?
【解】 T3=C5(x ) ?
2 3 3

? 2 2?2=C2·4x5,所以第三项的系数为 C2·4=40. ? 5 5 9 9 9 ?3x ?

通项 Tk+1=C5(x ) C5(x ) ·?
3 3 2

k

3 5-k

? 2 2?k=?2?k·Ckx15-5k,令 15-5k=0,得 k=3,所以常数项为 T = ?3x ? ?3? 5 4 ? ? ? ?

? 2 2?3=80. ? ?3x ? 27

我还有这些不足:

(1)

(2)

我的课下提升方案:

(1)

(2)

学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.设 S=(x-1) +3(x-1) +3(x-1)+1,则 S 等于( A.(x-1) C.x
3 3 3 2

)

B.(x-2) D.(x+1)
3 3

3

3

【解析】 S=[(x-1)+1] =x .
8

【答案】 C

? 1?7 2.已知?x- ? 的展开式的第 4 项等于 5,则 x 等于( ?
x?
A. 1 7 1 B.- 7 D.-7

)

C.7

1?3 1 3 4? 【解析】 T4=C7x ?- ? =5,则 x=- . x 7 ? ? 【答案】 B 3.若对于任意实数 x,有 x =a0+a1(x-2)+a2(x-2) +a3(x-2) ,则 a2 的值为( A.3 C.9
3 3 2 3 2 3

)

B.6 D.12

【解析】 x =[2+(x-2)] ,a2=C3×2=6. 【答案】 B 4.使?3x+ A.4 C.6 【解析】 Tr+1=Cn(3x) =2,n=5 时成立. 【答案】 B
r n-r

? ?

x x?

1 ?n

? (n∈N )的展开式中含有常数项的最小的 n 为(
*

)

B.5 D.7 5 5 ? 1 ?r r n-r ? ? =Cn3 xn-2r,当 Tr+1 是常数项时,n-2r=0,当 r ?x x?

? 1 ?5 2 5.(x +2)? 2-1? 的展开式的常数项是( ?x ?
A.-3 C.2 B.-2 D.3

)

? 1 ?5 【解析】 二项式? 2-1? 展开式的通项为:Tr+1= ?x ?
r? 1 ?5-r r r 2r-10 r C5? 2? ·(-1) =C5·x ·(-1) . x

? ?

当 2r-10=-2,即 r=4 时,有 x ·C5x ·(-1) =C5×(-1) =5; 当 2r-10=0,即 r=5 时,有 2·C5x ·(-1) =-2. ∴展开式中的常数项为 5-2=3,故选 D. 【答案】 D 二、填空题
5 0 5

2

4 -2

4

4

4

9

? 1?n 6.(2016·安徽淮南模拟)若?x+ ? 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则 ?
x?
1 该展开式中 2的系数为________.

x

【解析】 由题意知,Cn=Cn,∴n=8. ∴Tk+1=C8·x
k
8-k

2

6

1 ?1?k k 8-2k 5 ·? ? =C8·x ,当 8-2k=-2 时,k=5,∴ 2的系数为 C8=56. x

? ?

x

【答案】 56 7.设二项式?x- 是________. 【解析】 对于 Tr+1=C6x ∵B=4A,a>0, ∴a=2. 【答案】 2 8.91 被 100 除所得的余数为________. 【解析】 法一:91 =(100-9) =C92·100 -C92·100 ·9+C92·100 ·9 -?+C92 9 , 展开式中前 92 项均能被 100 整除,只需求最后一项除以 100 的余数. ∵9 =(10-1) =C92·10 -C92·10 +?+C92·10 -C92·10+1, 前 91 项均能被 100 整除, 后两项和为-919, 因余数为正, 可从前面的数中分离出 1 000, 结果为 1 000-919=81,故 91 被 100 除可得余数为 81. 法二:91 =(90+1) =C92·90 +C92·90 +?+C92·90 +C92·90+C92. 前 91 项均能被 100 整除,剩下两项和为 92×90+1=8 281,显然 8 281 除以 100 所得 余数为 81. 【答案】 81 三、解答题 9.化简:S=1-2Cn+4Cn-8Cn+?+(-2) Cn(n∈N ). 【解】 将 S 的表达式改写为:S=Cn+(-2)Cn+(-2) Cn+(-2) Cn+?+(-2) Cn= [1+(-2)] =(-1) .
? ?1,n为偶数时, n ∴S=(-1) =? ?-1,n为奇数时. ?
n n
0 1 2 2 3 3 1 2 3 92 92 0 92 1 91 90 2 91 92 92 92 92 0 92 1 91 90 2 91 92 92 92 0 92 1 91 2 90 2 92 92

? ?

a ?6 3 ? (a>0)的展开式中 x 的系数为 A,常数项为 B.若 B=4A,则 a 的值 x?

r 6-r

1 r r 3 r 4 4 2 2 (-ax- ) =C6(-a) ·x6- r,B=C6(-a) ,A=C6(-a) . 2 2

n n

*

n n

? 10.(2016·淄博高二检测)在?2 x- ?

1 ?6

x?

? 的展开式中,求:

10

(1)第 3 项的二项式系数及系数; (2)含 x 的项. 【解】 (1)第 3 项的二项式系数为 C6=15, 又 T3=C6(2 x) ?-
2 4 2 2

? ?

1 ?2

x?

? =2 ·C6x,
4 2 4 2

所以第 3 项的系数为 2 C6=240. (2)Tk+1=C6(2 x)
2

k

6-k

?- 1 ?k k 6-k k 3-k ? ? =(-1) 2 C6x ,令 3-k=2,得 k=1. x? ?
2

所以含 x 的项为第 2 项,且 T2=-192x . [能力提升] 1. (2016·吉林长春期末)若 Cnx+Cnx +?+Cnx 能被 7 整除, 则 x, n 的值可能为( A.x=4,n=3 C.x=5,n=4
1 2 2 1 2 2

n n

)

B.x=4,n=4 D.x=6,n=5
n n n

【解析】 Cnx+Cnx +?+Cnx =(1+x) -1,分别将选项 A、B、C、D 代入检验知,仅 C 适合. 【答案】 C 2.已知二项式?
n
2

? x+ 1 ? 2 3 ?n 3 ? 的展开式中第 4 项为常数项,则 1+(1-x) +(1-x) +?+ ? x? ?
) B.19 C.20 D.-20

(1-x) 中 x 项的系数为( A.-19

? x+ 1 ? ? 1 ? n 5r n n-r ?n 的通项公式为 Tr+1=Cr ? ?r=Cr 【解析】 ? ( x ) · ,由题意知 - n nx - 3 ? ? ?3 ? 2 6 2 ?
x?

? x?

5×3 2 2 2 2 2 =0,得 n=5,则所求式子中的 x 项的系数为 C2+C3+C4+C5=1+3+6+10=20.故选 6 C. 【答案】 C

?1 3?n * 3.对于二项式? +x ? (n∈N ),有以下四种判断: ?x ?
①存在 n∈N ,展开式中有常数项;②对任意 n∈N ,展开式中没有常数项;③对任意 n ∈N ,展开式中没有 x 的一次项;④存在 n∈N ,展开式中有 x 的一次项.其中正确的是 ________.
* * * *

?1 3?n r 4r-n 【解析】 二项式? +x ? 的展开式的通项公式为 Tr+1=Cnx ,由通项公式可知,当 n ?x ?
=4r(r∈N )和 n=4r-1(r∈N )时,展开式中分别存在常数项和一次项. 【答案】 ①与④
11
* *

?x 1 ?5 4.求? + + 2? 的展开式的常数项. 【导学号:97270023】 ?2 x ? ?x 1 ?5 ??x 1? ?5 0 ?x 1?5 1 ?x 1? 【解】 法一: 由二项式定理得? + + 2? =?? + ?+ 2? =C5·? + ? +C5·? + ? 2 x 2 x ? ? ?? ? ? ?2 x? ?2 x?
4

?x 1?3 ?x 1?2 ?x 1? 2 2 3 3 4 4 5 5 · 2+C5·? + ? ·( 2) +C5·? + ? ·( 2) +C5·? + ?·( 2) +C5·( 2) . ?2 x? ?2 x? ?2 x?
其中为常数项的有: 1?4 ?1?2 1?x 1 2 C5? + ? · 2中的第 3 项:C5C4·? ? · 2; ?2 x? ?2? 1 ?x 1?2 3 3 3 1 3 5 5 C5·? + ? ·( 2) 中的第 2 项:C5C2· ·( 2) ;展开式的最后一项 C5·( 2) . 2 ?2 x? 1 63 2 ?1?2 1 2 3 1 3 5 5 综上可知,常数项为 C5C4·? ? · 2+C5C2· ·( 2) +C5·( 2) = . 2 2 ?2?

?x2+2 2x+2?5 法二:原式=? ? 2x ? ?
= 1 1 2 5 10 10 转化为求(x+ 2) 5·[(x+ 2) ] = 5·(x+ 2) .求原式中展开式的常数项, 32x 32x
5 5 5 5 10 5

C10·? 2? 63 2 的展开式中含 x 的项的系数,即 C ·( 2) ,所以所求的常数项为 = . 32 2

12


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2016年陕西省中考数学 真题
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2016年中考语文 议论文阅读试题汇编_图文
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倪花芬—2016英语中考评析
让教学插上灵动的翅膀,翱翔在英语教育的广阔天空——2016 年绍兴市初中英语学业考试试题评析与启示柯桥区 倪花芬 【摘要】 2016 年绍兴市英语中考试卷立意新颖、...
2016年中考(锐角三角函数中考+填空+解答题)
2016 年 07 月 17 日 397679180 的初中数学组卷(锐角三角函数 中考 填空 解答题)一.填空题(共 7 小题) 1. (2016?岳阳)如图,一山坡的坡度为 i=1: ,...
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