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第二章解析函数(练习题解答)
一、填空题 1． Ln(?3 ? 4i) ? （ ） ，主值为（ ） ；
4 Ln(?3 ? 4i) ? ln ?3 ? 4i ? iArg (?3 ? 4i) ? ln 5 ? i(? ? arctan ? 2k? ), k ? 0, ?1, ?2, ? 3 4 ln(?3 ? 4i) ? ? ln 5 ? i(? ? arctan ) . 3
2． 函数 f ( z ) ?
2z5 ? z ? 3 的解析区域是 （ 4z2 ?1
2
）该区域上的导数是 ， （
） ；
有理分式函数在分母为零处不解析，故 4 z ? 1 ? 0 处不解析，解得： z ? ?
i ， 2
? 2 z 5 ? z ? 3 ?? ?( z ) ? ? f ? 2 ? 4z ?1 ?
3．当 a ?（ ）时， f ( z ) ? a ln( x ? y ) ? i arctan
2 2
y 在区域 x ? 0 内解析； x
）外是解析的； ） 。
4．函数 f ( z ) ? 2arg( z ? 3) 在复平面除去实轴上一区间（ 5．函数 w ? z Im z ? Re z 在其可导处的导数为（ 二、计算下列各值 1． e
3?? i
；
2． tan(
?
4
? i) ；
3． Ln(?2 ? 3i) ； 4． 1 ； 5． 1 。 三、问函数 f ( z ) ? x ? 2 y i 在何处可导？何处解析？并求 f ?(3 ? i) ， f ?(3 ? 2i) .
2 3
2
i
四、 ln( z1 z2 ) ? ln z1 ? ln z2 是否正确？若不正确，举例说明. 五、试证下列各函数为调和函数，并求出相应的解析函数 f ( z ) ? u ? iv . (1) u ? xy ; (2) v ? ? sin xshy ;
六、如果函数 f ( z ) ? u ? iv 在区域 D 内解析，并且满足条件 8u ? 9v ? 2003 ，试证 f ( z ) 在
D 必为常数。
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