当前位置:首页 >> 其它课程 >>

立体几何初步复习


立体几何
【课标要求】 1.课程目标 三维空间是人类生存的现实空间,认识空间图形,培养和发展学生的空间想像能力、 推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力,是高中阶段数学必修系 列课程的基本要求.在立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体的整体观察入手,认 识空间图形;再以长方体为载体,直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;能用数学 语言表述有关平行、

垂直的性质与判定,并对某些结论进行论证.了解一些简单几何体的 表面积与体积的计算方法. 空间向量的引入为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了十分有效的工 具.学生将在学习平面向量的基础上,把平面向量及其运算推广到空间,运用空间向量解 决有关直线、平面位置关系的问题,体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一步发展 空间想象能力和几何直观能力. 2.复习要求 (1)了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生 活中简单物体的结构. 了解柱、 台、 锥、 球的表面积与体积的计算公式 (不要求记忆公式) , 会求一些简单几何体的表面积和体积. (2)了解画立体图形三视图的原理,并能画出简单几何图形(长方形、球、圆柱、圆 锥、棱柱等的简易组合)的三视图。能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二测 法画出立体图形的直观图. (3)会用符号语言表达空间点、线、面间的位置关系.了解公理 1、2、3、4 和推论 1、 2、3.了解定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. (4)理解直线与平面平行、垂直的判定及性质, 理解两平面平行、垂直的判定及性质, 会用上述判定及性质证明一些空间位置的简单命题. 感悟空间中直线、平面的垂直或平行 问题常常相互转化,将空间问题化归为平面问题是处理空间几何问题的重要思想. (5)了解空间向量的概念,理解空间向量共线、共面的充要条件.熟练掌握空间向量 的加法、减法及数乘运算.理解空间向量的坐标表示及数量积,能运用向量的数量积判断 向量的共线与垂直. (6)理解直线的方向向量与平面的法向量,能用向量方法证明有关直线和平面位置关 系的简单命题,能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面角的计算问题. 3.复习建议 随着新课程的改革, 立体几何的考查方式和重点有了很大的改变, 难度也有所下降. 从 08、09 高考试题分析,我们在复习中应重视以下几个方面的问题: (1)明确考试内容及要求,对传统内容中的距离、角(特别是二面角) 、三垂线定理及 其逆定理不要加以补充,重视点线面的位置关系,尤其直线与平面、平面与平面平行与垂 直的判定及性质在考试说明中要求是 B,要会灵活运用. (2)重视学生书写的规范性,体现在两个方面:一、符号语言的准确使用;二、定理 及性质在使用中注意条件的完整性.
7-1

(3)重视对学生空间想象力的培养.虽然在 08、09 江苏高考中没有对“空间几何体的 三视图和直观图”进行考查,但是在未来的高考中将会是命题的一个热点,复习中应多加 重视. (4)可以适当增加难度,如通过由三视图还原几何体,进而研究这个几何体的体积、 表面积及其中的线、面位置关系,或增加一些探索性问题等等. (5)对空间向量的考查高考中会以解答题的形式出现在附加题中,考查的主要方向是 建立空间直角坐标系,使立体几何问题成为代数问题,解决平行、垂直与角度问题.除了 上述题型外,我们还应重视其它非正交基底的情况. (6)在教学中,可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立 体几何问题. 【典型例题】 例 1(填空题) (1)(09 江苏)设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 ? ; ②若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; ③设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; ④直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号 (写出所有真命题的序号). ... 解析:根据直线、平面的垂直与平行判定的相关定理可得真命题的序号是①②. ... (2)已知两个不同的平面 ? 、 ? 和两条不重合的直线,m、n,有下列四个命题 ①若 m // n, m ? ? ,则 n ? ? ③若 m ? ? , m // n, n ? ? , 则? ? ? 其中正确命题的个数是 解析:①②③正确,有3个.
2 2

②若 m ? ? , m ? ? , 则? // ? ④若 m // ? ,? ? ? ? n, , 则m // n .

(3)(09 山东)一空间几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积为 . 解析:该几何体由一圆柱和一四棱锥组成,圆柱的底 面半径为 1,高为 2,体积为 2? ,四棱锥的底面边长为

2 2 正(主)视 图 2 侧(左)视 图

2 ,高为 3 ,体积为 ?
何体的体积为 2? ?

1 3

? 2?

2

? 3?

2 3 ,所以该几 3

2 3 . 3
俯视图

(4)有一根长为 6cm,底面半径为 0.5cm 的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕 4 圈,并使铁丝的两个端点落在同一母线的两端,则铁丝的长度最少为 cm. 解析:求曲面上最短路程问题通常考虑侧面展开.答案为 16? 2 ? 36 .
7-2

(5)已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍,那么圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 解析:设圆锥母线长为 L,底面半径为 R,由题意知侧面积是底面积的 2 倍,所以有



?RL ? 2?R 2 ,解出 L ? 2 R .侧面展开图扇形的弧长为 2?R ,半径为 L ? 2 R ,所以扇形的 2?R ?? . 圆心角大小为
2R
(6)给定空间中的直线 l 及平面?,条件“直线 l 与平面?内无数条直线都垂直”是“直 线 l 与平面?垂直”的 条件. 解析:由线面垂直的定义和判定定理可知为必要不充分条件. . (7)已知线段 AB 在平面 ? 外,AB 两点到平面 ? 的距离分别是 1 和 3,则线段 AB 中 点到平面 ? 的距离是__________. 解析:注意线段 AB 可能在平面 ? 一侧,也可能穿过平面 ? .答案是 1 或 2 (8)四面体 ABCD 中,共顶点 A 的三条棱两两相互垂直,且其长分别为 1、 6、3, 若四面体的四个顶点同在一个球面上,则这个球的表面积为 . 解析:把四面体补形为长方体,则长方体的八个顶点也一定在该球面上,并且长方体 的体对角线的长等于球的直径,所以答案为 16? . (9)如图,设 A 是棱长为 a 的正方体的一个顶点,过从此顶点出发的三条棱的中点作 截面,对正方体的所有顶点都如此操作,所得的各截面与正方体 A 各面共同围成一个多面体,则关于此多面体有以下结论:①有12 个顶点;②有 24 条棱;③有 12 个面;④表面积为 3a ;⑤体积为
2

5 3 a ,其中正确的结论是____________(要求填上所有正确结论 6
的序号) . 解析:①②⑤. (10)在一个密封的容积为 1 的透明正方体容器内装有部分液体,如果任意转动该正方 体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围是 . 解析:注意两种特殊情况即可,答案 ( , ) . 例 2(09 江苏)如图,在直三棱柱 ABC ? A B1C1 中, E 、 F 分别是 A B 、 AC 的中 1 1 1 点,点 D 在 B1C1 上, A1D ? B1C . 求证:(1) EF ∥平面 ABC ; (2)平面 A FD ? 平面 BB1C1C . 1 证明:(1)因为 E,F 分别是 A B,AC 的中点,所以 EF 1 1

1 5 6 6

// BC ,又 EF ? 面ABC ,

BC ? 面ABC ,所以 EF ∥ 平面ABC ;
(2) 因 为 直 三 棱 柱 ABC ? A B1C1 , 所 以 BB1 ? 面A B1C1 , 1 1
7-3

平面A1FD ? 平面BB1C1C .

, BB1 ? A1D , 又 A1D ? B1C , 所 以 A D? 面B B C C 又 A D ? 面A FD , 所 以 1 1 1 1 1

例 3 如图,四面体 ABCD 中, ?ABC △与 ?DBC 都是边长为 4 的正三角形. (1)求证: BC ? AD ; (2)试问该四面体的体积是否存在最大值?若存在求出这个最大值及此时棱长 AD 的 大小;若不存在,说明理由. .解: (1)证明:取BC 的中点 E,连接 AE,DE ∵ ?ABC 与 ?DBC 都是边长为 4 的正三角形 ∴AE⊥BC,DE⊥BC∴BC⊥平面 AED∴BC⊥AD (2)由已知得, ?AED 为等腰三角形, 且 AE=ED= 2 3 ,设 AD=x,F 为棱 AD 的中点, 则 EF= 12 ? ( x) ,
2

1 2

S?AED ?
2

1 x2 1 1 1 x 12 ? ? 48 x 2 ? x 4 ,V= S?AED ( BE ? CE) ? 48x2 ? x4 ( 0 ? x ? 4 3 ), 2 4 4 3 3

当 x ? 24 ,即 x ? 2 6 时, Vmax ? 8 .所以该四面体体积的最大值为 8,此时棱长 AD=8. 例 4 如图1, 等腰梯形 ABCD 中, AD∥BC, AB=AD, ∠ABC=600, 是 BC 的中点. E 如 图 2,将△ABE 沿 AE 折起,使二面角 B—AE—C 成直二面角,连结 BC,BD,F 是 CD 的 中点,P 是棱 BC 的中点. (1)求证:AE⊥BD; (2)求证:平面 PEF⊥平面 AECD; (3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC?并说明理由. B A D A B 图1 连接 BD ,取 AE 中点 M ,连接 BM , DM .
7-4

P

D F

E

C

E 图2

C 证明:(1)

? 在等腰梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,AB=AD, ?ABC ? 60? ,E 是 BC 的中点, ? BM ? AE , DM ? AE ??ABE 与 ?ADE 都是等边三角形
? BM ? DM ? M , BM , DM ? 平面 BDM ,? AE ? 平面 BDM .

? BD ? 平面 BDM , ? AE ? BD . (2)连接 CM 交 EF 于点 N ,连接 PN ? ME ∥ FC ,且 ME = FC ,∴四边形 MECF 是平行四边形。∴N 是线段 CM 的中点。 ∵P 是线段 BC 的中点,? PN ∥ BM ? BM ? 平面 AECD ?PN ? 平面 AECD .

(3) DE 与平面 ABC 不垂直. 假设 DE ? 平面 ABC ,则 DE ? AB .∵ BM ? 平面 AECD .?BM ? DE . ? AB ? BM ? M , AB, BM ? 平面 ABE ,? DE ? 平面 ABE .
?DE ? AE ,这与 ?AED ? 60? 矛盾? DE 与平面 ABC 不垂直.

例 5 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上,且 AB // EF ,矩形 ABCD 所在的 平面和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . (1)求证: AF ? 平面 CBF ; (2)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (3)设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为 VF ? ABCD , VF ?CBE , 求 VF ? ABCD : VF ?CBE . 证明:(1)? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB ,?CB ? 平面 ABEF ,

? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB , ? ? 又? AB 为圆 O 的直径, AF ? BF , AF ? 平面 CBF . 1 D CD , 又 (2) 设 DF 的 中 点 为 N , 则 MN // M B 2 E 1 AO // CD , MN // AO , 则 四边形 MNAO 为平行四边形, O 2 ? OM // AN ,又 AN ? 平面 DAF , F A OM ? 平面 DAF ? OM // 平面 DAF . (3)过点 F 作 FG ? AB 于 G , ? 平面 ABCD ? 平面 ABEF ,平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB 1 2 ? FG ? 平面 ABCD ,?VF ? ABCD ? S ABCD ? FG ? FG , 3 3 1 1 1 1 ? CB ? 平面 ABEF ,?VF ?CBE ? VC ? BFE ? S ?BFE ? CB ? ? EF ? FG ? CB ? FG , 3 3 2 6

C

?VF ? ABCD : VF ?CBE ? 4 : 1 .
例 6(理科)如图,在六面体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,
7-5

四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,四边形 A1 B1C1 D1 是边长为 1 的正方形, DD1 ? 平面

A1 B1C1 D1 , DD1 ? 平面 ABCD,DD1=2。 (Ⅰ)求证: A1C1 与 AC 共面, B1 D1 与 BD 共面; (Ⅱ)求证:平面 A1 ACC1 ? 平面B1 BDD1 ; (Ⅲ)求二面角 A ? BB1 ? C 的大小.

解:以 D 为原点,以 DA,DC, DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标 系 D ? xyz 如图,则有 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,

A1 (1,0,2), B1 (1,1,2),C1 (0,1,2), D1 (0,0,2) .
(Ⅰ)证明:? A1C1 ? (?1,1,0), AC ? (?2,2,0), D1 B1 ? (1,1,0), DB ? (2,2,0),

? AC ? 2 A1C1 , DB ? 2D1 B1. ? AC与A1C1平行, 与D1 B1平行, DB
于是 A1C1 与 AC 共面, B1 D1 与 BD 共面. (Ⅱ)证明: DD1 ? AC =( ,2) ? 2,0)= , 0 0, ? ( 2, 0

DB ? AC =( ,0) ? 2,0)= , 2 2, ? ( 2, 0
内的两条相交直线, ? DD1 ? AC, ? AC .又 DD1与DB是平面B1 BDD1, DB

? AC ? 平面B1 BDD1 . 又平面 A1 ACC1过AC, 平面A1 ACC1 ? 平面B1 BDD1 . ?
(Ⅲ)解: AA=(? 1 0, BB1=(? 1 ? 1 2), 1=( , 1 2 . ,2), , , CC 0?, ) 1 设 n ? ( x1 , y1 , z1 )为平面A1 ABB的法向量, 1

n ? AA1 ? ? x1 ? 2 z1 ? 0, n ? BB1 ? ? x1 ? y1 2 z1 ? 0,
于是 y1 ? 0, 取z1 ? 1, 则x1 ? 2, n ? (2,0,1).
7-6

设 m ? ( x2 , y 2 , z 2 )为平面B1 BCC1的法向量,

m ? BB1 ? ?x2 ? y2 ? 2z2 ? 0, m ? CC1 ? ? y2 ? 2z2 ? 0.
于是 x2 ? 0, 取z 2 ? 1, 则y2 ? 2, m ? (0,2,1). cos m, n ?

m?n 1 ? . mn 5

1 ? 二面角 A ? BB1 ? C的余弦为 ? . 5
【新题备选】 1.如图, ?ABC 中, ?C ? 90 , ?A ? 30 , BC ? 1 .在三角 形内挖去半圆(圆心 O 在边 AC 上,半圆与 BC、AB 相切于点 C、M, 与 AC 交于 N) 则图中阴影部分绕直线 AC 旋转一周所得旋转体的体积 , 为 .
? ?

答案:

5 3 ?. 27

2.用一张正方形的白纸包住一个棱长为1的正四面体,纸可以折叠但不可以剪开, 则这张正方形白纸的面积至少为 . 答案: 2 ? 3 (提示,用正四面体的展开图) . 3. 点A为平面 ? 内一点, 点B为平面 ? 外一点, 直线AB与平面 ? 成 60 角, 平面 ?
?

内有一动点P,当 ?ABP ? 30 时,则动点P的轨迹为
?



答案:椭圆. 4. 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且 PA ? 3, PB ? 2, PC ? 1 . 设 M 是底面 ABC 内一点,定义 f (M ) ? (m, n, p) ,其中 m 、 n 、 p 分别是三棱锥

1 M ? PAB 、 三棱锥 M ? PBC 、三棱锥 M ? PCA 的体积.若 f ( M ) ? ( , x, y ) ,且 2

1 a ? ? 8 恒成立,则正实数 a 的最小值为______. x y
答案:1.(提示:利用等体积转化) 【专题训练】 一、填空题
7-7

1.(09 广东)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 (写出所有真命题的序号). 2.右图是一个几何体的三视图, 根据图中数据, 可得该几何体的表面积是 .

2 4
俯视图 正(主)视图 第2题

4
侧(左)视图 主视图 第3题 俯视图

3.用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如右图所示,则它的体积的最 小值与最大值分别为 . 4.在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有 个. 5.在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中: ①BC//平面 PDF ; ②DF⊥ 平面 PA E ; ③平面 PDF⊥ 平面 ABC ; ④平面 PAE⊥ 平面 ABC, 不成立的是_____ _. ... 6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45? ,腰和上底均为 1 的等 腰梯形,则这个平面图形的面积是_____________. 7.如图,已知一个多面体的平面展开图由一边长为 1 的正方体和 4 个边长为 1 的正三 角形组成,则该多面体的体积是 .
主视图 A1 B 俯视图 A1 B 第7题 C 1 C D1 C1 第9题 A1 A 左视图 C1 B

8.若三棱锥的三条侧棱两两垂直, 且侧棱长均为 3 , 则其外接球的表面积是



9.如图,是一个长方体 ABCD—A1B1C1D1 截去“一个角”后的多面体的三视图,在这个 多面体中,AB=3,BC=4,CC1=2.则这多面体的体积为 . 10.正方体中,连接相邻两个面的中心的连线可以构成一个美丽的几何体.若正方体的 边长为 1,则这个美丽的几何体的体积为___________. 11. 已 知 正 三 棱 锥 P ? ABC 的 四 个 顶 点 在 体 积 等 于 36? 的 球 O 的 表 面 上 . 若
7-8

PA、PB、PC 两两互相垂直,则球心 O 到平面 ABC 的距离等于__________.
12.已知正四棱锥 P-ABCD 的高为 4,侧棱与底面所成的角为 60°,则该正四棱锥的 侧面积是________. 13.设等边 ?ABC 的边长为 a , P 是 ?ABC 内的任意一点,且 P 到三边 AB, BC, CA 的距离分别为 d1 , d 2 , d 3 ,则有 d1 ? d 2 ? d 3 为定值

3 a ;由以上平面图形的特性类比空 2

间图形:设正四面体 ABCD 的棱长为 a , P 是正四面体 ABCD 内的任意一点,且 P 到四 个面 ABC、ABD、ACD、BCD 的距离分别为 d1 , d 2 , d 3 , d 4 ,则有 d1 ? d 2 ? d 3 ? d 4 为定值 ________. 14.在底面为正方形的长方体上任意选择 4 个顶点, 它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点,①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰 三角形的四面体;④每个面都是等腰三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面 体.这些几何形体是___________.(填写正确命题的序号) 二、解答题 15.(08 江苏)如图,在四面体 ABCD 中,CB ? CD AD ? BD ,点 E,F 分别是 AB,BD , 的中点.求证:(1)直线 EF // 面 ACD ; (2)平面 EFC ? 平面 BCD . B F E

D C A

16.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC ,△PAD 是等边三角形,已知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 . (1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. P

M D A 17 . 已 知 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , D, E 分 别 为
AA1 , CC1 的中点, AC ? BE ,点 F 在线段 AB 上,且 AB ? 4AF .
7-9

C B

(1)求证: BC ? C1 D ; (2)若 M 为线段 BE 上一点,试确定 M 在线段 BE 上的位置,使得 C1 D / / 平面 B1 FM .
C1 B1
A1

E C B D A

F

18.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M 、 G 分别是 AB 、 DF 的中点. (1)求证: CM ? 平面FDM ; (2)在线段 AD 上(含 A 、 D 端点)确定一点 P ,使得 GP // 平面 FMC ,并证明; (3)一只飞虫在几何体 ADF ? BCE 内自由飞,求它飞入 F ? AMCD 内的概率. 主视图 左视图
F
E

a
2a
俯视图

G
D

C
M
B

a
2a

A

19.(理科)如图 1,三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB , CB ⊥面 PAB , M 、 N 分别在 PC 、 AB 上, 且 PM ? MC , AN ? 3NB , (1)求证: MN ? AB ;
? (2)当 ?APB ? 90 , BC ? 2,AB ? 4 时,求 MN 的长.

20.(理科)如图,在直三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中, 已知 AA? ? 4 , AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90? , D 是 AB 的中点. (1)求证: CD ? AB? ;
7-10

(2)求二面角 A? ? AB? ? C 的余弦值; (3)求直线 B?D 与平面 AB?C 所成角的正弦值. C′ B ′ A′ 【专题训练参考答案】 1.②④ 8. 9? 2.12? 9.20 3.10 与 16 10. 4.4 5.③ 6. 2 ? A C A B A

D A

2

7.

2 6

32 7 6 1 11.1 12. 13. 14.①③④⑤ a 6 3 3 15.证明:(1)∵E,F 分别是 AB,BD 的中点.∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵EF ? 面 ACD,AD ? 面 ACD,∴直线 EF∥面 ACD; (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD,∵CB=CD,F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD 又 EF∩CF=F, ∴BD⊥面 EFC, ∵BD ? 面 BCD,∴面 EFC ? 面 BCD .
P 16. (1) 证明:在 △ ABD 中,由于 AD ? 4 , BD ? 8 ,

AB ? 4 5 ,所以 AD2 ? BD2 ? AB2 .故 AD ? BD .
又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,

M D O C

BD ? 平面 ABCD ,所以 BD ? 平面 PAD , 又 BD ? 平面 MBD ,故平面 MBD ? 平面 PAD .
A

B (2) 解:过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O ,由于平面 PAD ? 平面 ABCD ,所以 PO ? 平面 ABCD .因此 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高,又 △PAD 是边长为 4 的等边三角形.因此

PO ?

3 ? 4 ? 2 3 .在底面四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , AB ? 2 DC , 2

所以四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ ADB 中,斜边 AB 边上的高为

4?8 8 5 , ? 5 4 5

此即为梯形 ABCD 的高,所以四边形 ABCD 的面积为 S ?

2 5?4 5 8 5 ? ? 24 . 2 5

17.⑴由直三棱柱可知 CC1 ? 平面 ABC ,所以 CC1 ? AC ,又因为 AC ? BF , CC1 ? BF ? F ,
7-11

C1

B1

A1

E

AC ? 面 BCF ,故 AC ? BC ,

又在直三棱柱中, CC1 ? BC, AC ? CC1 ? C , 故 BC ? 面 ACC1 , C1D 在平面 ACC1 内,所以 BC ? C1 D ⑵连结 AE,在 BE 上取点 M,使 BE=4ME, 连结 FM, B1M ,F B1 ,在 ?BEA 中,由 BE=4ME,AB=4AF 所以 MF//AE,又在面 AA1C1C 中,易证 C1D//AE,所以 C1 D / / 平面 B1 FM . 18.解:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面 ADF 中 AD⊥DF,DF=AD=DC (1)? FD ? 平面ABCD , CM ? 平面ABCD ,? FD ? CM

在矩形ABCD中,CD= 2a, AD= a,M为AB中点,DM = CM = 2a,?CM ? DM ,
? FD ? 平面FDM , DM ? 平面FDM ,? CM ? 平面FDM .

(2)点 P 在 A 点处. 证明:取 DC 中点 S,连接 AS、GS、GA∵G 是 DF 的中点,GS//FC,AS//CM ∴面 GSA//面 FMC,而 GA ? 面 GSA,∴GP//平面 FMC .

1 1 VF ? AMCD ? S AMCD ? DF ? a 3 , 3 2 VF ? AMCD : VADF ? BCE ? 1 2

VADF ?BCE ? a3 ,

所以概率为

.

19.解:(1)设 PA ? a, ? b, ? c ,则 a ? b ,且 a ? c ? 0 ,b ? c ? 0 , AB ? b ? a , PB BC

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

???? 1 ? ???? ??? ???? ? ??? ? 1 1 3 PC ? b ? c , PM ? (b ? c ) , PN ? PB ? BN ? b ? (a ? b) ? a ? b , 2 4 4 4 ???? ???? ???? 1 ? ? 1 1 ∴ MN ? PN ? PM ? a ? b ? c , 4 4 2
∴ AB ? MN ? (b ? a) ? (

1 1 1 1 1 1 1 a ? b ? c) ? b 2 ? a 2 ? c ? b ? c ? a 4 4 2 4 4 2 2

?

1 2 1 2 b ? a ? 0 ∴ AB ? MN . 4 4
?

(2)∵ ?APB ? 90 , BC ? 2, AB ? 4 ,∴ a ? b ? a ? c ? b ? c ? 0,|a| ? |b| ? 2 2,|c| ? 2,

???? ? 1 1 1 1 1 a 2 ? b 2 ? 4c 2 ? 2a ? b ? 4a ? c ? 4b ? c MN ? a ? b ? c ? (a ? b ? 2c)2 ? 4 4 4 2 4
7-12

?

1 8 ? 8 ? 16 ? 2 ,即 MN 的长为 2 . 4

20.解:以 A?B ? 的中点 O 为原点,先证明 C ?O ? 平面 A?B?BA ,建立空间直角坐标系, 由已知可得 O(0,0,0) 、 A( 2, 4,0) 、C(0, 4, 2) 、
z y C′ x A B′ O A′ A D A C A B A y x A

D(0, 4,0) 、 B?(? 2,0,0) 、 C?(0,0, 2) .

(1)证明: CD ? (0,0, ? 2) ,AB? ? (?2 2, ?4,0,) .

??? ?

????

x A

因为 CD ? AB? ? (0,0, ? 2) ? (?2 2, ?4,0) ? 0 ,所以 CD ? AB? . (2)解: AC ? (? 2,0, 2) 设平面 AB?C 的一个法向量为 n ? ( x, y, 1) ,

??? ???? ? ??? ?

???? ?n ? AB? ? 0, ? 由 ? ???? ? n ? AC ? 0, ?

??2 2 x ? 4 y ? 0, ? 得? ? ? 2 x ? 2 ? 0. ?

? x ? 1, 2 ? 解得 ? 2 所以 n ? (1, ? 2 , 1) . . ?y ? ? ? 2

又知 OC ? ? 平面 ABB?A? ,所以 OC? 为平面 ABB?A? 的法向量. ???? ? ???? ? ???? ? n ? OC ? 2 10 因为 OC? ? (0,0, 2) ,所以 cos? n, OC ?? ? ???? ? ? ? . 5 | n | ? | OC ? | 5 ? 2 2 由图可知,二面角 A? ? AB? ? C 大于 90?,所以二面角 A? ? AB? ? C 的余弦值为 ?
???? ? (3)由(2)可知平面 AB?C 的一个法向量 n ? (1, ? 2 , 1) , 又 B?D ? ( 2, 4,0 ) ,
2

???? ?

10 . 5

???? ? ???? ? n ? B?D ? 2 10 . 因 为 直 线 B?D 与 平 面 AB? C 所 成 角 为 所 以 cos?n, B?D? ? ???? ? ? ?? 15 | n | ? | B?D | 3 5

???? ? ? 10 ? n, B?D? ? ,所以直线 B?D 与平面 AB?C 所成角的正弦值为 . 2 15

7-13


相关文章:
必修二立体几何初步知识点整理.doc
必修二立体几何初步知识点整理 必修二立体几何初步知识点整理 立体几何初步一、...立体几何知识点整理 4页 免费 必修2立体几何复习(知识... 11页 1下载券 高中...
高一数学立体几何初步期末复习
高一数学立体几何初步期末复习高一数学立体几何初步期末复习隐藏>> 高一数学立体几何初步期末复习教学目的 1. 复习立体几何初步》的相关知识及基本应用 2. 掌握典型...
立体几何复习学案
立体几何复习学案学生版 8页 1下载券 立体几何初步专题复习学... 10页 1下载...立体几何复习学案(一)本章知识与方法归纳: 一.空间几何体 1.多面体和旋转体:...
立体几何专题复习(教师版)
立体几何专题复习一、立体几何初步 (一) 、在空间几何体部分,主要是以空间几何体的三视图为主展开,考查空间几何体三视图的识别判 断,考查通过三视图给出的空间...
立体几何初步知识点(很详细的)
-1- 立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 、(1)棱柱: )棱柱: 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等...
高一必修二立体几何练习题(含答案)
立体几何初步》练习题一、选择题 1、一条直线和三角形的两边同时垂直,则这...高一数学必修二 立体几... 7页 2下载券 必修2立体几何复习(知识... 10页...
几何初步知识总复习
几何初步知识总复习建议一.几何知识是小学数学学习的重要内容 二.小学几何教学是...第二部分:立体图形复习 1.棱长总和:长方体,正方体都有 12 条棱 2.表面积...
高中数学立体几何知识点整理
三、立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱: 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且 相等;平行于底...
立体几何初步垂直测试题终极版
立体几何初步垂直测试题终极版_高二数学_数学_高中教育_教育专区。线面垂直、平行,有关几何体的计算 立体几何初步垂直测试题班级 姓名 成绩 ). 1.一个平面内有...
立体几何复习
立体几何复习2 88页 20财富值 一轮复习立体几何-垂直 13页 1财富值 立体几何专题复习 6页 免费 立体几何初步章节复习(二) 28页 免费 立体几何复习1 9页 2财...
更多相关标签: