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2008年全国高中数学联赛四川赛区初赛试题


2008 年全国高中数学联赛四川赛区初赛试题 全国高中数学联赛四川赛区初赛试题
2008 年 5 月 18 日(14:30 一 16:30)
一、选择题(本大题满分 30 分,每小题 5 分) 选择题 本大题满分 1. 设集合 A = x x 2 + x ? 6 < 0, 且x ∈ Z ,则集合 A 的非空真子集的个数为 ( (A)13 (B) 14 (

C) 15 (D) 16

{

}



2. 在公差为 4 的正项等差数列中, a3 与 2 的算术平均值等于 S3 与 2 的几何平均值, 其中 S3 表示数列的前三项和,则 a10 为 ( )

(A)38 (B) 40 (C) 42 (D) 44 3. 某学校的课外数学小组有 8 个男生和 6 个女生,要从她们中挑选 4 个组成代表队去 参加比赛,则代表队包含男女各 2 人的概率为 ( )

10 30 60 70 (B) (C) (D) 143 143 143 143 4. 设有一个体积为 54 的正四面体,若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体,则 所作四面体的体积为 ( ) (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(A) 5. 已知椭圆
→ →

x2 y 2 + = 1 的左顶点为 A1 ,右焦点为 F2 ,点 P 为椭圆上的一点,则当 4 3
→ →

PA1 ? PF2 取最小值的时候, PA1 + PF2 的值为
(A) 2 2 (B)3 (C) 5



) (D)

13

π sin 3 α cos3 α 6. 设 α ∈ (0, ) 则 + 的最小值为 ( 2 cos α sin α 27 3 (A) (B) 2 (C) 1 64 5 填空题( 二、填空题(本大题满分 30 分,每小题 5 分)

) (D)

5 3 6

7. 函数 f ( x) = x ? 1 + x ? 3 + x ? 5 + x ? 7 的最小值为__________________ . 8. 函数 f ( x) 对任意的 x 满足 f ( x + 3) = ? ______________________. 9. 设数列 {an } 满足: an = (2n ? 1)(2n + 1)(2n + 3) ,则 a1 , a2 ,L , a2008 的最大公约数 d 为 ________________ . 10. 已 知 正 实 数 x, y 满 足 x + 2 y = 4 , 则

1 1 ,且 f (1) = ,则 f (2008) = f ( x) 2

1 1 + 的最小值为 x y

1 4

2 5 8

3 6 9

一切为了学生的发展

一切为了家长的心愿

7

__________________ . 11. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为 1, 2,L ,9 的 9 个小正方形(如图) ,使得 任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且“3、5、7”号数字涂相 同的颜色,则符合条件的所有涂法共有 _______ 种。

? an +1 = bn ? 2an a ,则 lim n =_________. 12. 数列 {an } 、 {bn } 满足: a1 = 1, b1 = 7 ,且 ? n →∞ b ?bn +1 = 3bn ? 4an n
三、解答题(本大题满分 80 分,每小题 20 分) 解答题( 13. 是否存在一个二次函数 f ( x) ,使得对任意的正整数
A

k ,当 x = 55L 5 时,都有 f ( x) = 55L5 成立?请给 1 3 2 1 3 2
k 个5 2 k 个5

B

出结论,并加以证明.
C F

14. 设 F 是抛物线 y 2 = 4 x 的焦点,橙子奥数欢迎您,

D

A、B 为 抛 物 线 上 异 于 原 点 O 的 两 点 , 且 满 足
uuu uuu r r FA ? FB = 0 .延长 AF、BF 分别交抛物线于点 C、D (如图) .求四边形 ABCD 面
积的最小值.

15. 已知⊙ O 与 ?ABC 的边 AB、AC 分别相切于 P 和 Q , 与 ?ABC 外接圆相切于 D , 是 PQ 的中点 M (如图)求 . 证: ∠POQ = 2∠MDC .
M P Q C D A

16. 已知 1 < ai < 7 , i = 1,2,L, n ,其中正整数 n ≥ 2 . (1)求证:对于一切的正整数 i ,都

O

1 1 2 + ≥ ; 2 a ? 1 7 ? ai 3
2 i

B

(2)求 S = ∑
i =1

n

1

(ai2 ? 1)(7 ? ai2+1 )

的最小值,其中约定 an +1 = a1 .

2008 年高中数学联赛四川赛区初赛试题 参考答案及评分标准
一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿

说明: 说明: 1、评阅试卷时,请依据评分标准.选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档;其它各 、评阅试卷时,请依据评分标准. 分两档; 题的评阅,请严格按照评分标准规定的评分档次给分 不要再增加其它中间档次. 题的评阅,请严格按照评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评阅时 、如果考生的解答题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确, 可参考本评分标准适当划分档次评分, 分一个档次,不要再增加其它中间档次. 可参考本评分标准适当划分档次评分,5 分一个档次,不要再增加其它中间档次.

一、选择题(本大题满分 30 分,每小题 5 分) 选择题 本 1、B 2、A 3、C 4、B 5、B 6、C

二、填空题(本大题满分 30 分,每小题 5 分) 填空题( 7、8 8、 ?2 9、3 10、

3+ 2 2 4

11、108

12、

1 4

三、解答题(本大题满分 80 分,每小题 20 分) 解答题(本大题 13、是否存在一个二次函数 f ( x) ,使得对任意的正整数 k ,当 x = 55L 5 时,都 1 3 2
k 个5

有 f ( x) = 55L5 成立?请给出结论,并加以证明. 1 3 2
2 k 个5

解:存在符合条件的二次函数. 设 f ( x) = ax 2 + bx + c ,则当 k = 1, 2,3 时有: f (5) = 25a + 5b + c = 55

…5 分 ①;

f (55) = 3025a + 55b + c = 5555

②; f (555) = 308025a + 555b + c = 555555 ③.

9 9 联立①、②、③,解得 a = , b = 2, c = 0 .于是, f ( x) = x 2 + 2 x .10 分 5 5 9 下面证明:二次函数 f ( x) = x 2 + 2 x 符合条件. 5 5 因为 55L5 = ( + 10 + 100 + L + 10k ?1 ) = (10k ? 1) , 1 3 51 2 9 k个5 5 同理: 55L5 = (102 k ? 1) ; 1 3 9 2 2 k 个5
…15 分

5 9 5 5 f (55L 5) = f ( (10k ? 1)) = [ (10k ? 1)]2 + 2 × (10k ? 1) 123 9 5 9 9
k 个5

5 5 5 5 = (10k ? 1)2 + 2 × (10k ? 1) = (10k ? 1)(10k + 1) = (102 k ? 1) = 55L 5 . 1 3 2 9 9 9 9 2 k个5
所以,所求的二次函数 f ( x) =

9 2 x + 2 x 符合条件. 5
一切为了家长的心愿

……20 分

一切为了学生的发展

14、设 F 是抛物线 y 2 = 4 x 的焦点, A、B 为抛物线上异于原点 O 的两点,且满足

uuu uuu r r FA ? FB = 0 .延长 AF、BF 分别交抛物线于点 C、D (如图) .求
四边形 ABCD 面积的最小值.
B

A

解:设 A x1 , y1 )、C ( x2 , y2 ) ,由题设知,直线 AC 的斜率存 ( 在,设为 k . 因直线 AC 过焦点 F (1,0) ,所以,直线 AC 的方程为

C

F

D

y = k ( x ? 1) .

? y = k ( x ? 1) 联立方程组 ? 2 ,消 y 得 k 2 x 2 ? 2(k 2 + 2) x + k 2 = 0 ? y = 4x
由根与系数的关系知: x1 + x2 =

2k 2 + 4 , x1 x2 = 1 k2

……5 分

于是 | AC |= (x1 ? x2 )2 + y1 ? y2 ) 2 = 1 + k 2 (x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 (

= 1+ k

2

? 2k 2 + 4 ? 4(1 + k 2 ) ? ? ?4 = 2 k2 ? k ?

2

……10 分

又因为 AC ⊥ BD ,所以直线 BD 的斜率为 ?

1 , k

1 从而直线 BD 的方程为: y = ? ( x ? 1) ,同理可得 | BD |= 4(1 + k 2 ) .……15 分 k
故 S ABCD =

1 8(1 + k 2 ) 2 1 | AB | ? | CD |= = 8(k 2 + 2 + 2) ≥ 8 × (2 + 2) = 32 2 2 k k
……20 分

当 k = ±1 时等号成立.所以,四边形 ABCD 的最小面积为 32.

15、已知⊙ O 与 ?ABC 的边 AB、AC 分别相切于 P 和 Q ,与 ?ABC 外接圆相切于 D ,

M 是 PQ 的中点(如图) .橙子奥数工作室欢迎您.求证:
A

∠POQ = 2∠MDC .
证明:如图,连结 AO、AD、DO和DQ .
M Q C O D B

∵ AP、AQ 分别与⊙ O 相切于 P、Q ∴ AP = AQ ∵ OP 和 OQ 都是⊙ O 的半径,

P

K

∠APO = ∠AQO = 90o

……5 分

一切为了学生的发展

一切为了家长的心愿

∴ 由对称性知 ∠POQ = 2∠AOQ ,且 OA ⊥ PQ 于 M . ∴ OD 2 = OQ 2 = OM ? OA ,即

OD OA = OM OD

……10 分

又∵ ∠DOM = ∠AOD ,∴ ?DOM ∽ ?AOD ∴ ∠ODM = ∠OAD ……15 分

过 D 作两圆的公切线 DE ,则 ∠CDE = ∠CAD 又∵ OD ⊥ DE ,即 ∠ODE = 90o ∴ ∠MDC = 90o ? ∠ODM ? ∠COE = 90o ? ∠OAD ? ∠DAC

= 90o ? ∠OAQ = ∠AOQ
故 ∠POQ = 2∠MDC . ……20 分

16、已知 1 < ai < 7 , i = 1, 2,L , n ,其中正整数 n ≥ 2 . (1)求证:对于一切的正整数 i ,都有

1 1 2 + ≥ ; 2 a ? 1 7 ? ai 3
2 i

(2)求 S = ∑
i =1

n

1 (ai2 ? 1)(7 ? ai2+1 )

的最小值,其中约定 an +1 = a1 .

(1)证明:对于一切的正整数 i ,

6 2 1 1 6 ≥ = .5 分 + = 2 2 2 2 2 2 a ? 1 7 ? ai (ai ? 1)(7 ? ai ) ? a ? 1 + 7 ? a ? 3 i i ? ? 2 ? ?
2 i

(2)由 Cauchy 不等式知 S = ∑
i =1

n

1 (ai2 ? 1)(7 ? ai2+1 )



n2


i =1

n

……10
2 i +1

(a ? 1)(7 ? a )
2 i





n2 n2 n = n = 2 2 2 2 n (a ? 1) + (7 ? ai +1 ) a ?a 3 ( ∑ i ∑ i 2 i +1 + 3) 2 i =1 i =1

……15 分

当 a1 = a2 = L = an = 2 时,等于成立,所以 S 有最小值

n .…20 分 3

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