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0909-江苏省东台市2009届高三上学期期末测试(数学文)。


江苏省东台市2009届高三上学期期末测试 数 学(文)
? 参考公式: b ?

? x y ? nx y ? x ? nx
i i 2 2 i
2 2

? ? a ? y ? bx

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4 页.考试结束后,将本试

卷和答题卡一并交回. 。 1.过点 P ( ?3 , 3) 作圆 x ? y ? 2 x ? 24 ? 0 的切线,则切线方程是 A. 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 C. 4 x ? 3 y ? 21 ? 0 B. 3 x ? 4 y ? 3 ? 0 D. 3 x ? 4 y ? 21 ? 0

2.已知二次曲线

x2 y2 ? ? 1 ,则当 m?[?2 , ? 1] 时,该曲线的离心率 e 的取值范围是 4 m
B. [

A. [

2 3 , ] 2 2

2 6 , ] 2 2

C. [

5 6 , ] 2 2

D. [

3 6 , ] 2 2

3.在一次实验中,测得 ( x , y) 的四组值为 (1, 2) , (2 ,3) , (3 , 4) , (4 ,5) ,则 y 与 x 之间的回 归直线方程为

? A. y ? x ? 1
4.若函数 f ( x) ? a 图像大致是 y
?x

? B. y ? x ? 2

? C. y ? 2 x ? 1

? D. y ? x ? 1

(a ? 0 , a ? 1) 是定义域为 R 的增函数,则函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) 的

y

O

1

x

O

1

x B

A y y

-1 O

x

-1 O
1

x

5.在 ? ABC 中, a , b , c 分别为三个内角 A , B , C 所对应的边,设向量

?? ? ?? ? m ? (b ? c , c ? a ) , n ? (b , c ? a ) ,若 m ? n ,则角 A 的大小为
A.

? 6

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 3

6.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积是 A.27 B.30 C.33 D.36

1

3

3 正视图 侧视图 俯视图

7.设 ? an ? 是等差数列,且 a2 ? ?6 , a8 ? 6 , Sn 是数列 ? an ? 的前 n 项和,则 A. S4 ? S5 B. S4 ? S5 C. S6 ? S5 D. S6 ? S5

8. 在抽查某批产品尺寸的过程中, 将样本的尺寸数据分为若干组,[a , b) 是其中的一组. 抽 查的个体在该组上的频率为 0.25 ,频率发布直方图在该组上的高是 0.4 ,则 b ? a 的值应为 A . 0.1 B. 0.625 C. 1.6 D. 6.25 9.设函数 f ( x) ? sin( x ?

?
3

) ( x ? R) ,则 f ( x)
B.在区间 [?

2? 7? , ] 上是增函数 3 6 5? ? C.在区间 [? , ? ] 上是增函数 6 3
A.在区间 [

2? , 0] 上是减函数 3 ? 5? D.在区间 [ , ] 上是减函数 3 6

10.设集合 A ? ( x , y ) 4 x ? y ? 6 , B ? ( x , y ) 3x ? 2 y ? 7 ,则满足 C ? ( A ? B) 的集 合 C 的个数是 A.0 B.1

?

?

?

?

C.2

D.3

11.设复数 z1 ? 1 ? i , z2 ? x ? i ( x ? R) ,若 z1 ? z2 为实数,则 x 等于 A . ?2 B. ?1 C.1 D.2

12.下列是关于函数 y ? f ( x) , x ? ? a , b ? 的几个命题:

2

①若 x0 ? ? a , b ? 且满足 f ( x0 ) ? 0, 则 ( x0 , 0) 是 f ( x) 的一个零点; ②若 x0 是 f ( x) 在 ? a , b ? 上的零点,则可用二分法求 x0 的近似值; ③函数 f ( x) 的零点是方程 f ( x) ? 0, 的根,但 f ( x) ? 0 的根不一定是函数 f ( x) 的零点; ④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值。 那么以上叙述中,正确的个数为 A .0 B.1 C.3 D.4 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 13.在可行域内任取一点规范如框图所示,则能输出数对 ( x , y) 的概率是
开始



给出可行域 ?

? ?1 ? x ? y ? 1 ? ?1 ? x ? y ? 1

在可行域内任取有序数对 ( x , y )

x2 ? y2 ?

1 2




输出数对 ( x , y )

结束

14.若 a ? 0 , b ? 0 ,且 4a ? b ? 1 ,则

1 4 ? 的最小值是 a b



15.已知 f (x) 是定义在 ( ??,??) 上的减函数,其图象经过 A(?4,1) 、 B (0,?1) 两点,则不 等式 | f ( x ? 2) |? 1 的解集是_________________。 16.若一个圆的圆心在抛物线 y ? ?4 x 的焦点处,且此圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切,则这个
2

圆的一般方程是_________________。 三、解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分12分)

3

x x 3x 3x P ? (cos , sin ) Q (? cos , sin ) 2 2 、 2 2 ,其中 设平面上 P 、 Q 两点的坐标分别是 x ? [0, ] 2 。
(Ⅰ)求 | PQ | 的表达式; (II)记 f ( x ) ?| PQ | ? | PQ | ,求函数 f (x) 的最小值和最大值。
2

?

18. (本小题满分12分) 甲乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2, 红桃3, 红桃4, 方片4)玩游 戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽 一张. (Ⅰ)设 (i, j ) 分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲乙二人抽到的牌的所有情况. (Ⅱ)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少? (Ⅲ)甲乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜.你认为此游戏 是否公平,说明你的理由.

19. (文) (本小题满分12分) 如图,多面体 AEDBFC 的直观图及三视图如图所示, M, N 分别为 AF , BC 的中点. (Ⅰ)求证: MN // 平面 CDEF ; (II)求多面体 A ? CDEF 的体积.

4

D

C

2

2

2

E M A
直观图

N

F
正视图 2 侧视图

B

2

2 俯视图

20. (文) (本小题满分14分)设函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ax ? 的交点也在函数 g (x) 的图象上,且在此点有公切线.

b ,函数 f (x) 的图象与 x 轴 x

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (II)证明:当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? g ( x) ;当 x ? 1时, f ( x) ? g ( x) .

21. (文) (本小题满分12分) 如图, 设F是椭圆
x2 y 2 MN为椭圆的长轴,MN ? 8 , 焦距为 2c , ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点, a 2 b2

? 2 ? 对于点 P ? ? a , 0 ? 有 PM ? 2 MF ? c ? (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (II)求证:对于任意的割线PAB,恒有 ?AFM ? ?BFN

5

22. (本小题共14分)已知函数 y ? f (x) 的图象经过坐标原点,且 f ?( x) ? 2 x ? 1, 数列{a n } 的前 n项和S n ? f (n)( n ? N ).
*

(I)求数列 {a n } 的通项公式; (文理)

{ (II)若数列 {bn }满足a n ? log 3 n ? log 3 bn , 求数列 bn }的前n项和. (文理)

江苏省东台市2009届高三上学期期末测试 数学(文)参考答案及评分标准
一、选择题: (1)-(12)CCADB BBBAC CA (16) x ? y ? 2 x ? 1 ? 0
2 2

?
二、填空题: (13) 4 三、解答题: (14)16 (15)

? x ?2 ? x ? 2?

x 3x x 3x (cos ? cos ) 2 ? (sin ? sin ) 2 2 2 2 2 (17)解: (1) | PQ |?
? 4 cos 2 x ? 2 cos x(? x ? [0, ]) ? 2 ? 2 cos 2 x 2 …………6分 1 1 f ( x) ? 4 cos 2 x ? 2 cos x ? 4(cos x ? ) 2 ? 4 4 …………8分 (2)
? cos x ? [0,1] ,∴由二次函数性质知:当

?

cos x ?

1 1 ? f (x) 有最小值 4 4 时,

6

当 cos x ? 1 时, f (x) 有最大值2…………12分 (18)解:解:(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4 ’表示)为: (2,3)(2,4)(2,4 ’)(3,2)(3,4)(3,4 ’) 、 、 、 、 、 、 (4,2)(4,3)(4,4 ’)( 4 ’,2)(4 ’,3) ’,4) 、 、 、 、 (4 , 共12种不同情况.……………………………………………………………… (4分) (没有写全面时:只写出1个不给分,2—4个给1分,5—8个给2分,9—11个给3分) (2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,4 ’.因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为;

(3)由甲抽到牌比乙大有(3,2)(4,2)(4,3)(4 ’,2) 、 、 、 、 种,

2 3

…(8分) (4 ’,3)5

……………….(10分)

甲胜的概率

p1 ?

5 7 5 7 p21 ? 12 ,乙获胜的概率为 12 .∵ 12 < 12 ,
………… (12分)

∴此游戏不公平.

(19)证明:由多面体 AEDBFC 的三视图知,三棱柱 AED ? BFC 中,底面 DAE 是等腰直 角三角形, DA ? AE ? 2 , DA ? 平面 ABEF ,侧面 ABFE, ABCD 都是边长为 2 的正方 形 (1)连结 EB ,则 M 是 EB 的中点, ……………2分

D

C

H N E M F

在△ EBC 中, MN // EC ,………4分

A B 且 EC ? 平面 CDEF , MN ? 平面 CDEF ,

7

∴ MN ∥平面 CDEF

………6分

(2) 因为 DA ? 平面 ABEF , EF ? 平面 ABEF ,

? EF ? AD ,
又 EF ⊥ AE ,所以, EF ⊥平面 ADE ,∴四边形 CDEF 是矩形, 且侧面 CDEF ⊥平面 DAE …………8分 取 DE 的中点 H , ? DA ? AE , DA ? AE ? 2 ,? AH ? 且 AH ? 平面 CDEF .…………10分

2,

所以,多面体 A ? CDEF 的体积
2

V ?

1 1 8 S CDEF ? AH ? DE ? EF ? AH ? 3 3 3 .………12分

(20)解:设 f ( x ) ? ax ? bx ? c, 由 f (0) ? 1得c ? 1, 故f ( x ) ? ax ? bx ? 1,
2

? f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x,

? a ( x ? 1) 2 ? b( x ? 1) ? 1 ? (ax 2 ? bx ? 1) ? 2 x,

?2 a ? 2 2ax ? a ? b ? 2 x, 所以? ?a ? b ? 0 即 ?a ? 1 ?? ?b ? ?1 ,
? f ( x) ? x 2 ? x ? 1,
(2)由题意得 x ? x ? 1 ? 2 x ? m在[ ?1,1] 上恒成立。
2

………………6分

即 x ? 3 x ? 1 ? m ? 0 在[-1,1]上恒成立。
2

设 g ( x ) ? x ? 3 x ? 1 ? m 其图象的对称轴为直线
2 2

x?

3 2 ,所以 g ( x)在[?1,1] 上递减,
………………12分

故只需, g (1) ? 0 ,即 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? m ? 0, 解得m ? ?1. (21)解: (Ⅰ)设G是曲线C上任一点,依题意,

GE ? GF ? 12

8

∴曲线C是以E、F为焦点的椭圆,且椭圆的长半轴a=6,半焦距c=4,
2 2 ∴短半轴b= 6 ? 4 ? 20 ,

x2 y2 ? ?1 ∴所求的椭圆方程为 36 20 ;

……………………………6分

(Ⅱ)由已知 A(?6,0) , F ( 4,0) ,设点P的坐标为 ( x, y ) ,则

AP ? ( x ? 6, y ), FP ? ( x ? 4, y ),
由已知得

? x2 y2 ? ? ?1 ? 36 20 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ?

2 则 2 x ? 9 x ? 18 ? 0 ,解之得

x?

3 或x ? ?6 2 ,

由于 y ? 0 ,所以只能取

x?

3 5 y? 3 2 ,于是 2 ,

?3 5 ? 3? ? , ?; 所以点P的坐标为 ? 2 2

……………………12分

? (22) (I)由 f ( x ) ? 2 x ? 1得 : f ( x ) ? x ? x ? b(b ? R )
2

? y ? f ( x)的图像过原点 ? f ( x) ? x 2 ? x

…………4分

? Sn ? n2 ? n ? a n ? S n ? S n ?1 (n ? 2) ? n 2 ? n ? [(n ? 1) 2 ? (n ? 1)]
? 2n ? 2

? a1 ? S1 ? 0
所以,数列 (II)由

{a n }的通项公式为a n ? 2n ? 2(n ? N * )
得:

…………8分

a n ? log 3 n ? log 3 bn

bn ? n ? 3 2 n (n ? N * )

…………10分

? Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn

? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 3 4 ? ? ? n ? 3 2 n ? 2 …………(1)
9

? 9Tn ? 3 2 ? 2 ? 3 4 ? 3 ? 3 6 ? ? ? n ? 3 2 n 8Tn ? n ? 3

…………(2)
2n?2

2n

(2)-(1)得:

? (1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3
2 4 6

)

? n ? 32n ?

32n ? 1 8

n ? 3 2 n 3 2 n ? 1 (8n ? 1)3 2 n ? 1 ? Tn ? ? ? 8 64 64

…………14分

10


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