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江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编4:三角函数


【推荐】江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 4:三角函数

一、填空题 1. (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)已知 ? ? 0 ,函数 y ? 3sin(?? x ?

?
4

) 的周期比振幅小 1,

则 ? ? ______. 【答案】1 ;
2. (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题) 已知 cos(75 ? ? ) ?
0

1 ,则 cos(300 ? 2? ) 3

的值为__________.
【答案】

7 9
4 1 , tan( A ? B) ? ? , 5 2

3. (徐州、 宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷) 在 △ ABC 中,已知 cos A ?

则 tan C 的值是____.
【答案】

11 ; 2

4. ( 徐 州 、 宿 迁 市 2013 届 高 三 年 级 第 三 次 模 拟 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 O 为 △ ABC 的 外 心 , 若

??? ? ??? ? ???? 5OA ? 12OB ? 13OC ? 0 ,则 ? C 等于_____.
【答案】

3π ; 4

错误!未指定书签。 5. (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)若点 G 为 ?ABC 的重心,

且 AG⊥BG,则 sin C 的最大值为________.
【答案】

3 5

6 错误!未指定书签。 . (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)已知 x , y 均

sin ? cos ? cos 2 ? sin 2 ? x 10 ?? ? ? ? 为正数, ? ? ? , ? ,且满足 , ,则 的值为______. ? 2 ? 2 2 2 x y y x y 3( x ? y ) ?4 2?
【答案】

3
7. ( 江 苏 省 无 锡 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 试 卷 ) 在 △ABC
o

错误!未指定书签。
o

中,∠A=45 ,∠C=105 ,BC= 2 ,则 AC 的长度为____________.
【答案】1 8 错误!未指定书签。 . (南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题) 在 ?ABC 中, 若

BC 9 cos 2 A ? 4 cos 2 B ? 5 , 则 AC 的值为
2 【答案】 3

.

9 错误!未指定书签。 . (江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)
1

? x ? ? ) (A ? 0 , ? ? 0 , 0≤? ? 2?) 在 R 上的部分图象如图所示 , 则 f (2013) 的值为 函数 f ( x) ? A sin(
______. y 5

?1

O

5

11 x

(第 9 题)

【答案】 ? 5 3

2

10 错误!未指定书签。 . (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)每年的 1 月 1 日是元旦节,7 月 1 日

是建党节,而 2013 年的春节是 2 月 10 日,因为 2sin11? sin 71? sin[( ______ )? ? 30? ] ? sin 2013? sin 210? , 新年将注定不平凡,请在括号内填写一个由月份和日期构成的正整数 ,使得等式成立 ,也正好组成我 国另外一个重要节日. 【答案】101; 本 题 的 一 般 结 论 是 4 sin x ? sin 60 0 ? x ? sin 60 0 ? x ? sin 3 x , 可 以 应 用 课 本 习 题 中 结 论

?

? ?

?

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? 证得.
11 错误!未指定书签。 . (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)在 ?ABC 中,角 A, B, C

所对边的长分别为 a, b, c ,且 a ? 5, b ? 3,sin C ? 2sin A ,则 sin A ? ____.

【答案】

5 5

12 错误! 未指定书签。 . (南京市、 盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷) 如图,在△ABC 中,∠B=45°,D

是 BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则 AB 的长为________.
A

B

D (第 9 题)

C

【答案】

5 6 2

13 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 江 苏 省 盐 城 市 2013 届 高 三 年 级 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 试 卷 ) 函 数

?? ? f ( x) ? 2 s i n ? x ? ? , x ? ?? ? ,0?的单调递增区间为 ________. 4? ?
2

【答案】

? ? ? ? ,0 ? ? 4 ? ?

14 错误!未指定书签。 . (江苏省泰州市 2012-2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题) 已知六个点

A1 ( x1 ,1) , B1 ( x2 , ?1) , A2 ( x3 ,1) , B2 ( x4 , ?1) , A3 ( x5 ,1) , B3 ( x6 , ?1)
( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 , x6 ? x1 ? 5? )都在函数 f(x)=sin(x+

? )的图象 C 上,如果这六个点中 3

不同两点的连线的中点仍在曲线 C 上 , 则称此两点为“好点组”,则上述六点中好点组的个数为 _____________(两点不计顺序) 【答案】11 15 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 连 云 港 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 高 三 期 末 考 试 数 学 试 卷 ) 如 果 函 数

y=3sin(2x+?)(0<?<?)的图象关于点( ,0)中心对称,则?=_______.
【答案】 ; 16 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 江 苏 省 无 锡 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 试 卷 ) 设 函 数

? 3

? 3

f ( x)? c o s ( x 3 ??
【答案】

f ( x) ? f ?( x) 是奇函数,则 ? ? ________. )? (? 0 ?? .若 )

? 6

17 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 南 京 市 、 盐 城 市 2013 届 高 三 第 三 次 模 拟 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 函 数 f

(x)=2sin(ω x+?)(?>0)的部分图象如图所示,则 ω =________.
y 3π - 8 O -2 (第 5 题) 15π 8 x

【答案】

2 3

18 错误! 未指定书签。 . (扬州、 南通、 泰州、 宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷) 设 ?,? ? ? ?,?? ,

且 sin(? ? ? ) ? 5 , tan ? ? 1 .则 cos ? 的值为____. 2 2 13
【答案】 ? 16 65 19 错误! 未指定书签。 . (扬州、 南通、 泰州、 宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷) 将函数 y ? 2sin π x

3

的图象上每一点向右平移 1 个单位,再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的 π 倍(纵坐标保持 3 不变),得函数 y ? f ( x) 的图象,则 f ( x) 的一个解析式为____.
【答案】 y ? 2sin x ? π

?

3

?

20 错 误 ! 未 指 定 书 签 。.( 镇 江 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 试 题 ) 在 △ABC
3

中, sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,则 cos C =______.
【答案】 ?

1 ; 4

21 错误!未指定书签。 . (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷) 函数 f ( x) ? ( x ? 1) sin π x ?1( ?1 ? x ? 3)的所有零点之和为____. 【答案】4 22 错误!未指定书签。 . (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)函数 f ( x) ? sin x cos x 的

最小正周期是__________.
【答案】 ? 23 错误!未指定书签。 . (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题)函数 f ( x) ? cos

px p ( x ? 1) 的 cos 2 2

最小正周期为______. 【答案】2
24 错误!未指定书签。 . (苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高 三第二次调研考试数学试卷)已知角 ? 的

终边经过点 P (1,?1) , 点 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 是函数 f ( x ) ? sin(?x ? ? )(? ? 0) 图象上的任意两点 ,若

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 时, x1 ? x 2 的最小值为
【答案】 ?

?

,则 f ( ) 的值是_____. 3 2

?

2 2

y ? sin(2 x ? ) 3 25 错误! 未指定书签。 . (南京市、 盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题) 将函数
的图像向左平移 ? 为 .

?

?? ? 0? 个 单 位 后 ,

所得到的图像对应的函数为奇函数, 则 ? 的最小值

?
【答案】 6 26 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 苏 州 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 高 三 期 末 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 ? 为 锐

角, sin(? ? 15? ) ?

4 ? ,则 cos(2? ? 15 ) ? _________. 5

【答案】

17 2 50

27 错误!未指定书签。 . (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)在平面直角坐

1) ,B,C 是函数 y ? 1 ( x ? 0) 图象上的两点,且△ABC 为正三角形, 标系 xOy 中,设 A(?1, x

则△ABC 的高为____.[来源:Zxxk.Com] 【答案】2
28 错误!未指定书签。 . (南 京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题) 若 x , y 满足

1 y e2 log 2 [4 cos ( xy ) ? ] ? ln y ? ? ln 4 cos 2 ( xy ) 2 2 , 则 y cos 4 x 的值为
2

.

4

【答案】-1 29 错误!未指定书签。 . (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)如图,点 O 为作简谐振动的物体的平

衡位置,取向右方向为正方向,若振幅为 3cm,周期为 3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始 计时.则该物体 5s 时刻的位移为________cm. O
(第 12 题)

答案:-1.5. 本题主要考查三角函数及其应用.考题取自教材的例题.教学中应关注课本 ,以及有关重要数学模型 的应用,讲评时还要强调单位书写等问题.
【答案】

10 ? S(t)= 3sin( ?t ? ) ,求 S(5)= -1.5 即可. 3 2
二、解答题 30 错误!未指定书签。 . (南京市、盐城市 2013 届高三第三次 模拟考试数学试卷)已知 α ,β ∈(0,π ),且

7 2 tanα =2,cosβ =. 10 (1)求 cos2α 的值;
【答案】解(1)方法一:

(2)求 2α -β 的值.

sinα 因为 tanα =2,所以 =2,即 sinα =2cosα cosα 4 1 2 2 2 2 又 sin α +cos α =1,解得 sin α = ,cos α = 5 5 所以 cos2α =cos α -sin α =方法二: 因为 cos2α =cos α -sin α = cos α -sin α 1-tan α = 2 , 2 2 sin α +cos α tan α +1 1-2 3 =2 2 +1 5
2 2 2 2 2 2 2 2

3 5

又 tanα =2,所以 cos2α = (2)方法一:

π 因为 α ∈(0,π ),且 tanα =2,所以 α ∈(0, ). 2 3 π 4 又 cos2α =- <0,故 2α ∈( ,π ) ,sin2α = 5 2 5 7 2 2 π 由 cosβ =,β ∈(0,π ),得 sinβ = ,β ∈( ,π ) 10 10 2 4 7 2 3 2 2 所以 sin(2α -β )=sin2α cosβ -cos2α sinβ = ×()-(- )× =5 10 5 10 2 π π π 又 2α -β ∈(- , ),所以 2α -β =2 2 4 方法二:

5

π 2tanα 4 因为 α ∈(0,π ),且 tanα =2,所以 α ∈(0, ),tan2α = =- . 2 2 1-tan α 3 从而 2α ∈( π ,π ) 2

7 2 2 π 由 cosβ =,β ∈(0,π ),得 sinβ = ,β ∈( ,π ), 10 10 2 1 因此 tanβ =7 4 1 - + 3 7 tan2α -tanβ 所以 tan(2α -β )= = =-1 1+tan2α tanβ 4 1 1+(- )×(- ) 3 7 π π π 又 2α -β ∈(- , ),所以 2α - β =2 2 4
31 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 扬 州 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 期 末 检 测 高 三 数 学 试 题 ) 已 知 向 量
2 1 m ? (sin x,?1) , n ? ( 3 cos x,? ) ,函数 f ( x) ? m ? m ? n ? 2 . 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值,并求取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ)已知 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边,且 a , b , c 成等比数列,角 B 为锐角,且

f ( B ) ? 1 ,求

1 1 的值. ? tan A tan C

【答案】解:(Ⅰ)

f ( x) ? (m ? n) ? m ? 2 ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ?

1 ?2 2

?

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ? ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) 2 2 2 2 2 6

故 f ( x) max ? 1 ,此时 2 x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z ,得 x ? k? ?

?
3

,k ? Z ,

∴取最大值时 x 的取值集合为 {x | x ? k? ? (Ⅱ) f ( B ) ? sin(2 B ?

?
3

, k ? Z}

?
6

) ? 1 ,? 0 ? B ?

?
2

,? ?

?
6

? 2B ?

?
6

?

? 2B ?

?
6

?

?
2

,B ?

?
3

5? , 6

由 b 2 ? ac 及正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C 于是

1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C

?

sin( A ? C ) 1 2 3 ? ? 2 sin B sin B 3

32 错误!未指定书签。 . (南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题)在△ABC 中,角 A,B,C

的对边分别为 a,b,c.
6

(1)若 cos(A+)=sinA,求 A 的值; (2)若 cosA=,4b=c,求 sinB 的值.
【答案】略 33 错误!未指定书签。 . (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研 (一 )数学试题) 在 ?ABC 中,角

A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且 A , B , C 成等差数列. ??? ? ??? ? 3 (1)若 BA?BC ? , b ? 3 ,求 a ? c 的值; 2 (2)求 2sin A ? sin C 的取值范围.
【答案】

34 错误!未指定书签。 . (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)如图,在 ?ABC

中, B ?

?
4

,角 A 的平分线 AD 交 BC 于点 D ,设 ?BAD ? ? , sin ? ?

5 . 5

(1)求 sin ?BAC 和 sin C ;(2)若 BA?BC ? 28 ,求 AC 的长.

??? ? ??? ?

7

A

B

D

C

【答案】

错误!未指定书签。 . (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷)已知 △ ABC 的面积为 S ,

8

角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , AB?AC ? S . ⑴求 cos A 的值; ⑵若 a , b, c 成等差数列,求 sin C 的值.

??? ? ??? ?

3 2

3 3 1 4 S ,得 bc cos A ? ? bc sin A ,即 sin A ? cos A 2 2 2 3 9 代入 sin 2 A + cos 2 A ? 1 ,化简整理得, cos 2 A ? 25 4 3 由 sin A ? cos A ,知 cos A ? 0 ,所以 cos A ? 3 5
【答案】⑴由 AB?AC ?

??? ? ??? ?

⑵由 2b ? a + c 及正弦定理,得 2sin B ? sin A + sin C , 即 2sin( A + C ) ? sin A + sin C , 所以 2sin A cos C + 2cos A sin C ? sin A + sin C .①

3 4 4 及 sin A ? cos A ,得 sin A ? , 5 3 5 4 ? sin C 代入①,整理得 cos C ? . 8 代入 sin 2 C + cos2 C ? 1 ,整理得 65sin 2 C ? 8sin C ? 48 ? 0 , 12 4 解得 sin C ? 或 sin C ? ? . 13 5 12 因为 C ? (0, ?) ,所以 sin C ? 13
由 cos A ?
错误!未指定书签。 . ( 常 州 市 2013 届 高 三 教 学 期 末 调 研 测 试 数 学 试 题 ) 已 知 ? , ? 均 为 锐 角 , 且

sin ? ?

3 1 , tan(? ? ? ) ? ? . 5 3

(1)求 sin(? ? ? ) 的值;

(2)求 cos ? 的值.

π π π 【答案】解:(1)∵ ? , ? ? (0, ) ,从而 ? ? ? ? ? ? . 2 2 2 1 π 又∵ tan(? ? ? ) ? ? ? 0 ,∴ ? ? ? ? ? ? 0 3 2

∴ sin(? ? ? ) ? ?

10 10

3 10 . 10 3 4 ∵ ? 为锐角, sin ? ? ,∴ cos ? ? 5 5 ∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )

(2)由(1)可得, cos(? ? ? ) ?

4 3 10 3 10 9 10 ? ? ? ? (? )? 5 10 5 10 50
错误!未指定书签。 . ( 江 苏 省 盐 城 市 2013 届 高 三 年 级 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 函 数

?? ? f ( x) ? 4 sin x cos? x ? ? ? 3 . 3? ?
9

⑴求 f ( x) 的最小正周期; ⑵求 f ( x) 在区间 ??

? ? ?? 上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值. , ? 4 6? ?

【答案】解:(Ⅰ) f ? x ? ? 4sin x ? cos x cos

? ?

? ?? ? sin x sin ? ? 3 ? 2sin x cos x ? 2 3 sin 2 x ? 3 3 3?

? sin 2 x ? 3 cos 2 x

?? ? ? 2sin ? 2 x ? ? 3? ?
所以 T ?

2? ?? 2

(Ⅱ)因为 ? 所以 ?

?

4

?x?

?
6

,所以 ?

?
6

? 2x ?

?
3

?

2? 3

? ? ? 1 ?? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 ,所以 ?1 ? f ? x ? ? 2 ,当 2 x ? ? ? , 即 x ? ? 时, f ? x ?min ? ?1 , 3 6 4 2 3? ?
?
3 ?

当 2x ?

?
2

,即 x ?

?
12

时, f ? x ?min ? 2 ,

错误!未指定书签。 . (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)在 ?ABC 中,已知角 A,B,C 所

对的边分别为 a, b, c ,且 (1)求 B;
【答案】

cos C 2a ? c ? , cos B b

(2)若 tan( A ?

?

4

) ? 7 ,求 cos C 的值.

10

错误!未指定书签。 . (苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试数学试卷)在△ ABC ,已 知 (sin A ? sin B ? sin C )(sin B ? sin C ? sin A) ? 3 sin B sin C .

(1) 求角 A 值; (2) 求 3 sin B ? cos C 的最大值.
【答案】⑴因为 (sin A ? sin B ? sin C )(sin B ? sin C ? sin A) ? 3sin B sin C ,

由正弦定理,得 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc , 所以 b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,所以 cos A ? 因为 A ? (0, ?) ,所以 A ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? , 2bc 2

? 3 ? 2? 2? ⑵ 由 A ? ,得 B ? C ? ,所以 3sin B ? cos C ? 3sin B ? cos( ? B) 3 3 3 1 3 ? ? 3 sin B ? (? cos B ? sin B) ? sin( B + ) , 2 2 6 2? ? ? ?? 因为 0 ? B ? ,所以 ? B + ? , 3 6 6 6 ? ? ? 当 B + ? ,即 B ? 时, 3sin B ? cos C 的最大值为 1 3 6 2
错误!未指定书签。 . ( 苏 州 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 高 三 期 末 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 函 数

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ,( 其 中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?
11

?
2

)的周期为 ? ,且图像上有一个最低点为

M(

2? , ?3) 3

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x) ? f ( x ?

?
4

) 的最大值及对应 x 的值.

【答案】

错误!未指定书签。 . (江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)在

△ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b ,c.已知 (1)求角 B 的大小; (2)设 T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求 T 的取值范围.
【答案】解:(1)在△ABC 中,

2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c 2 . 2sin A ? sin C c ? a ? b

2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c2 ? ?2ac cos B ? c cosB ? sin C cos B , 2sin A ? sin C c ? a ? b ?2ab cos C b cos C sin B cos C

因为 sin C ? 0 ,所以 sin B cos C ? 2sin A cos B ? sin C cos B , 所以 2sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C) ? sin A , 因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 1 , 2 因为 0 ? B ? π ,所以 B ? π 3 (2) T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 1 (1 ? cos 2 A) ? 3 ? 1 (1 ? cos 2C ) 2 4 2

? 7 ? 1 (cos 2 A ? cos 2C) ? 7 ? 1 ?cos 2 A ? cos 4π ? 2 A ? ? 4 2 4 2? 3 ? ?
12

?

?

? 7 ? 1 1 cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 7 ? 1 cos 2 A ? π 4 2 2 2 4 2 3
因为 0 ? A ? 2π ,所以 0 ? 2 A ? 4π , 3 3 故 π ? 2 A ? π ? 5π ,因此 ?1 ≤ cos 2 A ? π ? 1 , 3 3 3 3 2 所以 3 ? T ≤ 9 2 4

?

?

?

?

?

?

错误!未指定书签。 . (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)已知△ABC 的内

角 A 的大小为 120°,面积为 3 . (1)若 AB ? 2 2 ,求△ABC 的另外两条边长;
uuu r uuu r (2)设 O 为△ABC 的外心,当 BC ? 21 时,求 AO ? BC 的值.
【答案】 【解】(1)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,于是 3 ? 1 bc sin A ? 3 bc ,所以 bc=4

2

4





c ? AB ? 2 2
2 ? a 2 2 ?b

,





b?
2

? C 2 A .













B ?C

c ?c o

s b2 ? c

A ? 4

? b 2

?c 8

?4

? 1

? 4

(2)由 BC ? 21 得 b2 ? c 2 ? 4 ? 21 ,即 b2 ? 16 ? 17 ? 0 ,解得 b ? 1 或 4 b2
uuu r uuu r uuu r 设 BC 的中点为 D,则 AO ? AD ? DO , uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r 2 2 因为 O 为△ABC 的外心,所以 DO ? BC ? 0 ,于是 AO ? BC ? AD ? BC ? 1 AB ? AC ? AC ? AB ? b ? c 2 2 uuu r uuu r b2 ? c 2 uuu r uuu r 2 2 ? ? 15 ;当 b ? 4 时, c ? 1 , AO ? BC ? b ? c ? 15 所以当 b ? 1 时, c ? 4 , AO ? BC ? 2 2 2 2

?

??

?

错误!未指定书签。 . (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷)已知向量 m ? (sin x, ?1) ,向量

??

? ?? ?? ? 1 n ? ( 3 cos x, ) ,函数 f ( x) ? (m ? n) · m . 2
(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期 T; (Ⅱ)若不等式 f(x)-t=0 在 x ? [
【答案】

? ?

, ] 上有解,求实数 t 的取值范围. 4 2

13

错误!未指定书签。 . (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为

a,b,c, tan C ? sin A ? sin B .
cos A ? cos B

(1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a 2 ? b 2 的取值范围.

【答案】解:(1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B

所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). 即 2C ? A ? B , 得 C ? ? 3 (2)由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , 故 a 2 ? b 2 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2 B 2 2 = 1 ? 1 ?cos( 2π ? 2? ) ? cos( 2π ? 2? ) ? ? 1 ? 1 cos 2? ? 2? 3 3 2 ? ?
由- π ? ? ? π , 知- 2π ? 2? ? 2π , ? 1 ? cos 2? ≤ 1 ,故 3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 2 4 2 3 3 3 3

本题主要考查三角函数及解三角形的有关知识,涉及两角和与差的三角公式、正余弦定理等.讲评时, 应适当渗透切化弦、化同名、边角互化、减少变量等策略,同时注意三角形内本身一些关系在解决问 题时的应用,例如两边之和大于第三边,sin(A+B)=sinC,面积公式及等积变换等. [来源:学§科§网] (2)法一:由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B ,
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故 a 2 ? b 2 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2 B [来源:Z.xx.k.Com] 2 2 = 1 ? 1 ?cos( 2π ? 2? ) ? cos( 2π ? 2? ) ? ? 1 ? 1 cos 2? . ? 2? 3 3 2 ? ?
由- π ? ? ? π , 知- 2π ? 2? ? 2π , ? 1 ? cos 2? ≤ 1 ,故 3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 . 2 4 2 3 3 3 3

法二:由正弦定理得: c ? 2 R sin C ? 3 . 2 由余弦定理得: c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ,故 a 2 ? b 2 ? 3 ? ab . 4 因为 a ? 0, b ? 0 ,所以 a 2 ? b 2 ? 3 . 4
2 2 2 2 又 ab ≤ a ? b ,故 a 2 ? b 2 ≤ 3 ? a ? b ,得 a 2 ? b 2 ≤ 3 . 2 2 4 2

因此, 3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 . 4 2
错误!未指定书签。 . (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)在△ABC 中,角 A、B、C

所对的边分别为 a、b、c,且 ccosB+bcosC=3acosB. (1)求 cosB 的值; ?? (2)若BA?BC=2,求 b 的最小值. 【答案】解:(1)因为 ccosB+bcosC=3acosB, 由正弦定理,得 sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB, 即 sin(B+C)=3sinAcosB 1 又 sin(B+C)=sinA?0,所以 cosB= 3 ?? (2)由BA?BC=2,得 accosB=2,所以 ac=6 2 2 2 2 由余弦定理,得 b =a +c ?2accosB?2ac? ac=8,当且仅当 a=c 时取等号, 3 故 b 的最小值为 2 2
错 误 ! 未指 定 书签 。 . ( 镇江市 2013 届高 三上 学期期 末考试 数学试 题) 已知△ ABC 的面积为 S , 且

??? ? ???? AB ? AC ? S .
(1)求 tan 2 A 的值; ? ??? ? ? ??? (2)若 B ? , CB ? CA ? 3 ,求△ABC 的面积 S . 4

【答案】解:(1)设△ ABC 的角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c .

??? ? ???? 1 ? AB ? AC ? S ,? bc cos A ? bc sin A , 2

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2 tan A 4 1 ? tan 2 A ? ?? sin A , ? tan A ? 2 2 3 2 1 ? tan A ??? ? ??? ? ? (2) CB ? CA ? 3 ,即 AB ? c ? 3 , ? tan A ? 2,0 ? A ? , 2
? cos A ?

? sin A ?

2 5 5 , cos A ? 5 5

? sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B
2 5 2 5 2 3 10 ? ? ? ? . 5 2 5 2 10 c b c 由正弦定理知: ? ?b? ? sin B ? 5 , sin C sin B sin C ?
1 1 2 5 S ? bc sin A ? 5 ?3? ?3 2 2 5 【说明】本题主要考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算;考查运算变形 和求解能力.

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