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专题22+图形的变换(平移、旋转、轴对称)-2015连线中考数学一轮复习系列


基础知识 知识点一、图形的平移 1. 定义:一个图形沿着一定的方向平行移动,叫作平移变换,简称平移.平移 的两个要素:①平移的方向;②平移的距离. 2.性质:①平移前后两个图形的全等;②对应线段平行(或在同一条直线上)且 相等;③对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等. 知识点二、轴对称与轴对称图形 1. 轴对称:把一个图形沿着某条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那 么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫作对称轴,折叠后重合的点是 对应点,叫作对称点. 2. 轴对称的性质:①关于某条直线对称的两个图形是全等形;②对称轴垂直平 分任意一对对应点的连线; ③对应线段或延长线如果相交, 那么交点在对称轴上. 3. 轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重 合,这个图形叫作轴对称图形,这条直线叫作对称轴.轴对称图形的对称轴可以 是一条,也可以是多条,甚至是无数条; 知识点三、两个简单的轴对称图形及其性质 1. 线段的垂直平分线

⑴定义: 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线, 叫做这条线段的垂直平分线. ⑵性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等. ⑶判定:到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2. 角平分线 (1)定义:把一个角分成两个相等的角的射线叫作角的平分线. (2)性质:角的平分线上的点到这个角两边的距离相等. (3)判定:在角的内部,且到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上. 知识点四、图形的旋转 1. 定义:在平面内,将一个图形绕一个定点旋转一定的角度,这样的图形运 动叫做图形的旋转.这个定点叫旋转中心.旋转的角度称为旋转角。图形旋转后 的位置是由旋转中心、旋转方向和旋转的角度决定;
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2.性质:①旋转前、后的图形全等;②对应点到旋转中心的距离相等;③每一对 对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等; ④图形上的每一点都绕旋转中心沿 相同方向转动了相同的角度. 知识点五、中心对称与中心对称图形 1.定义:如果一个图形绕某一个点旋转 180°后能与另一个图形重合,那么这两 个图形就叫做关于这个点中心对称,简称为中心对称.这个点叫做这两个图形的 对称中心. 2.性质:①关于中心对称的两个图形是全等形;②关于中心对称的两个图形,对 应线段平行(或在同一直线上)且相等;③关于中心对称的两个图形,对称点所 连线段都经过对称中心, 而且被对称中心平分;④如果连结两个图形的对应点的 线段都经过某一点, 并且被这一点平分,那么这两个图形一定关于这一点成中心 对称. 3.中心对称图形:一个图形绕着中心点旋转 1800 后能与自身重合,我们就把这 种图形叫做中心对称图形, 这个中心点叫做对称中心. 4.中心对称与中心对称图形的联系和区别. 中心对称 (1)是针对 2 个图形而言 区 别 (2)是指两个图形的(位置)关系 (3)成中心对称图形的对称点分别 在两个图形上 (4)对称中心在两个图形之间 联 把成中心对称的两个图形视为一个 系 整体,则成为中心对称图形. 知识点六、平面直角坐标系下的图形变换 1. 平移: ①在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移 a 个单位长 度,可以得到对应点(x+a,y)(或(x-a,y));将点(x,y)向上(或下)平 移 b 个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b)). 2. 轴对称:关于 x 轴对称点的坐标特征:横坐标相等,纵坐标互为相反数. 关于 y 轴对称点的坐标特征:横坐标互为相反数,纵坐标相等. 中心对称图形 (1)是指 1 个图形而言 (2)是指该图形所具有的特性 (3)中心对称图形的对称点在 一个图形上 (4)对称中心在图形本身上 把中心对称图形的两部分看作 两个图形,则它们成中心对称.

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3. 关于原点中心对称:③关于原点对称的点的坐标的特点是:两个点关于原点 对称时,它们的坐标符号相反,即点 P′(x,y)关于原点对称的对称点为 P(-

x,-y).两个点关于原点对称,可理解为它们的横坐标与纵坐标分别互为相反
数, 第一象限的点关于原点对称的点在第三象限,第二象限的点关于原点对称的 点在第四象限.

典型例题解析 例 1. (德州)下列银行标志中,既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是 ( )

例 2. (毕节) 如图,Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,点 E 在 BC 上,将 △ABC 沿 AE 折叠,使点 B 落在 AC 边上的点 B′处,则 BE 的长为______.

答案:

3 2

解析: 本题以轴对称为背景考查了三角形中线段长度的计算问题,解题的关键是

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根据题意列出合适的方程.先根据勾股定理在 Rt△ABC 中求出 BC 的长;再利用 折叠后产生的直角三角形 B′EC,使用勾股定理列方程求解 B′E 的长,这里用 了两次勾股定理.当然本题还可以使用相似法和等积法来求解. 例 3. (广元)如图,在四边形 ABDC 中,△EDC 是由△ABC 绕顶点 C 旋转 40°所 得,顶点 A 恰好转到 AB 边上一点 E 的位置,则∠1+∠2=( A.90° B.100° C.110° D.120° )

例 4. (贵州)在如图所示的平面直角坐标系中,点 P 是直线 y=x 上的动点,A (1,0)、B(2,0)是 x 轴上的两点,则 PA+PB 的最小值 .

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例 5. 如图,折叠矩形 ABCD 的一边 AD,使点 D 落在 BC 边的点 F 处,已知折痕 AE=5 cm,且 tan∠EFC=.

(1)△AFB 与△FEC 有什么关系?试证明你的结论. (2)求矩形 ABCD 的周长.

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例 6. 阅读下列材料,按要求完成相应的任务. 几何中,平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形,大家 对于它们的性质都非常熟悉,生活中还有一种特殊的四边形—筝形,所谓筝形, 它的形状与我们生活中风筝的骨架相似.

定义:两组邻边分别相等的四边形,称之为筝形,如图,四边形 ABCD 是筝形, 其中 AB=AD,CB=CD. 判定:①两组邻边分别相等的四边形是筝形. ②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形. 显然,菱形是特殊的筝形,就一般筝形而言,它与菱形有许多相同点和不同点. 如果只研究一般的筝形(不包括菱形),请根据以上材料完成下列任务: (1)请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条; (2)请仿照图 1 的画法, 在图 2 所示的 8×8 网格中重新设计一个由四个全等的筝 形和四个全等酌菱形组成的新图案,具体要求如下:①顶点都在格点上; ②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形; ③将新图案中的四个筝形都涂上阴影(建议用一系列平行斜线表示阴影).

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例 7. 如图,固定一块三角板,另一块三角板按图示开始平移至两条较大直角边 重合时停止.(两个同学为一组,利用 30°角的三角板作图形的平移运动) (1)观察平移过程中的重叠部分是什么图形?你能把它画出来吗? (2)分别求出平移距离为 4cm 或 10cm 时,重叠部分的面积. (3) 若平移的距离为 x, 当x 重叠部分为五边形. (4)若重叠部分的面积为 Scm3,请写出 S 关于 x 的函数关系式. 时, 重叠部分为三角形; 当x 时,

∴S△OAA′=

3 ×42=4 3 (cm2); 4

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解析:本题以平移为背景,考查了平移的性质,三角形、多边形面积的计算等, 同时也通过运动考查了同学们的空间想象能力,分类讨论思想,转化思想等.

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例 8.(抚顺)已知:Rt△A′BC′≌Rt△ABC,∠A′C′B=∠ACB=90°, ∠A′BC′=∠ABC=60°,Rt△A′BC′可绕点 B 旋转,设旋转过程中直线 CC′和 AA′相交于点 D. (1)如图 1 所示,当点 C′在 AB 边上时,判断线段 AD 和线段 A′D 之间的数量 关系,并证明你的结论; (2)将 Rt△A′BC′由图 1 的位置旋转到图 2 的位置时,(1)中的结论是否成 立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由; (3) 将 Rt△A′BC′由图 1 的位置按顺时针方向旋转 α 角 (0°≤α≤120°) , 当 A、C′、A′三点在一条直线上时,请直接写出旋转角的度数.

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巩固练习:
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1. 下列手机软件图标中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(



2. (邵阳)某数学兴趣小组开展动手操作活动,设计了如图(六)所示的三种图 形,现计划用铁丝按照图形制作相应的造型,则所用铁丝的长度关系是( A.甲种方案所用铁丝最长 C.丙种方案所用铁丝最长 B.乙种方案所用铁丝最长 D.三种方案所用铁丝一样长 )

3.如图, 点 D 在△ABC 的边 AC 上, 将△ABC 沿 BD 翻折后, 点 A 恰好与点 C 重合. 若

BC=5,CD=3,则 BD 的长为(
A.4 B. 3

) C. 2 D.1

4. 如图,△ABC 中,AB=4,BC=6,∠B=60?,将△ABC 沿射线 BC 的方向平移,得 到△A′B′C′,再△A′B′C′绕点 A′逆时针旋转一定角度,点 B′恰好与点 C 重合,则平移的距离和旋转角的度数分别为( A.4,30? B.2,60? C.1,30? ). D.3,60?

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5. 将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置,其中∠ACB=∠CED=90°,∠ A=45°,∠D=30°. 把△DCE 绕点 C 顺时针旋转 15°得到△ D1CE1 ,如图②. 连 接 D1B ,则∠ E1D1B 的度数为( A. 10° B. 20° ) C. 7.5° D. 15°

6. 线段 EF 是由线段 PQ 平移得到的,点 P(-1,4)的对应点为(4,7),则 点Q (-3,1)的对应点 F 的坐标为 .

7.(桂林) 如图, 在△ABC 中, ∠CAB=70°, 将△ABC 绕点 A 逆时针旋转到△AB′C′ 的位置,使得 CC′∥AB,则∠BAB′是度数 .

8. 如图,将长 8cm,宽 4cm 的矩形纸片 ABCD 折叠,使点 A 与 C 重合,则折痕 EF 的长等于 cm.

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9. 如图, 是将菱形 ABCD 以点 O 为中心按顺时针方向分别旋转 90°, 180°, 270° 后形成的图形.若∠BAD=60°,AB=2,则图中阴影部分的面积为______.

10.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为 1,四边形 ABCD 的四个顶点都在小 正方形的顶点上,点 E 在 BC 边上,且点 E 在小正方形的顶点上,连接 AE. (1)在图中画出△AEF,使△AEF 与△AEB 关于直线 AE 对称,点 F 与点 B 是对称 点; (2)请直接写出△AEF 与四边形 ABCD 重叠部分的面积.

11. 如图,点 E,C 在 BF 上,BE=FC,∠ABC=∠DEF=45°,∠A=∠D=90°. (1)求证:AB=DE; (2)若 AC 交 DE 于 M,且 AB= ,ME= ,将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转,使点

E 旋转到 AB 上的 G 处,求旋转角∠ECG 的度数.

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12. 在平面直角坐标系中,矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点,顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D 为边 OB 的中点.

(1)若 E 为边 OA 上的一个动点,当△CDE 的周长最小时,求点 E 的坐标; (2)若 E、F 为边 OA 上的两个动点,且 EF=2,当四边形 CDEF 的周长最小时, 求点 E、F 的坐标.

中考预测 1. 顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点, 得到如图所示的图形, 该图形 ( A.既是轴对称图形也是中心对称图形 B.是轴对称图形但并不是中心对称图形 C.是中心对称图形但并不是轴对称图形 D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形 )

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2. 将一张正方形纸片按如图 1,图 2 所示的方向对折,然后沿图 3 中的虚线剪 裁得到图 4,将图 4 的纸片展开铺平,再得到的图案是( )

3. 在等边△ABC 中, D 是 AC 上一点, 连结 BD, 将△BCD 绕点 B 逆时针旋转 60°, 得到△BAE,连结 ED,若 BC=5, BD=4,则下列结论错误的是 ( ) B.∠ADE=∠BDC D.△ADE 的周长是 9

A.AE∥BC C.△BDE 是等边三角形

4. 如图,将△ABC 绕点 P 顺时针旋转 90°得到 △A′B′C′, 则点 P 的坐标是( ) C.(1,3) D.(1,4)

A.(1,2) B. (1,1)

5. 如图,△ABC 中,∠A=60°,将△ABC 沿 DE 翻折后, 点 A 落在 BC 边上的点 A’处。如果∠A’EC=70°,那么 ∠A’DE 的度数为 。

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6. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(-1,2)点 C 的坐标为(-3,0), 将点 C 绕点 A 逆时针旋转 90°,再向下平移 3 个单位,此时点 C 对应点的坐标 为 .

7. 如图,在 4×4 的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影 部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形, 并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又 是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有 种。

8.如图,正方形 OABC 的两边 OA 、 OC 分别在 x 轴、 y 轴上,点 D (5,3)在边
AB 上,

以 C 为中心,把△ CDB 旋转 90°,则旋转后点 D 的对应点 D ? 的坐标 是 .

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9. 如图,在边长为 1 的正方形组成的网格中,△AOB 的顶点均在格点上,点 A, B 的坐标分别是 A (3, 3) 、 B (1, 2) , △AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°后得到△A1OB1. (1)画出△A1OB1,直接写出点 A1,B1 的坐标; (2)在旋转过程中,点 B 经过的路径的长; (3)求在旋转过程中,线段 AB 所扫过的面积.

10. 先将一矩形 ABCD 置于直角坐标系中,使点 A 与坐标系的原点重合,边 AB、 AD 分别落在 x 轴、y 轴上(如图 1) ,再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕 原点旋转 30°(如图 2) ,若 AB=4,BC=3,请分别在图 1 和图 2 中求出点 B 和点 C 的坐标. (备选数据:sin30°=,cos30°= )

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11. 在数学活动课上,王老师发给每位同学一张半径为 6 个单位长度的圆形纸 板,要求同学们:(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选 取作图工具,把圆形纸板分成面积相等的四部分;(2)设计的整个图案是某种对 称图形.王老师给出了方案一,请你用所学的知识再设计两种方案,并完成下面 的设计报告. 名 称 方 案 选用 的工 具 带刻度的三角板 四等分圆的面积 方案一 方案二 方案三

画出 示意 图

简述 设计 方案 指出 对称 性

作⊙O 两条互相垂直 的直径 AB、CD,将⊙O 的面积分成相等的四 份. 既是轴对称图形又是 中心对称图形

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12.如图,已知△BAD 和△BCE 均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,点 M 为 DE 的中点.过点 E 与 AD 平行的直线交射线 AM 于点 N. (1)当 A,B,C 三点在同一直线上时(如图 1),求证:M 为 AN 的中点; (2)将图 1 中△BCE 绕点 B 旋转,当 A,B,E 三点在同一直线上时(如图 2),求 证:△CAN 为等腰直角三角形; (3)将图 1 中△BCE 绕点 B 旋转到图 3 的位置时,(2)中的结论是否仍然成立?若 成立,试证明之;若不成立,请说明理由.

(图 1)

(图 2)

(图 3)

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