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浙江省效实中学2015届高三上学期期中考试数学(理) Word版含答案


宁波效实中学

二○一四学年度 第 一 学 期

期中考试高三(理)数学试卷

请将所有题目的答案填写在答卷的相应位置 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. 1.集合 A ? {x | y ? log2 (1 ? x)}, B ? {x | x2 ? 0} ,则 A A. (0,1) B. (

0,1] C. (??,1)

B?

D. (??, 0)

(0,1)

2.已知向量 a ? (1, x2 ), b ? ( x,8) ,若 a / / b ,则实数 x 的值为 A. 2 B. ? 2 C. ?2 D. 0

3.等差数列 ?an ? 满足: a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 20 ,则 a9 ? A. 1 4.化简: 2 cos ( A. cos ?
2

?
2

B. 2

C. 3

1 a10 ? 2 D. 4

? ? ) ?1 ?
B. ? cos?
b a

C. cos 2?

D. ? cos 2?

5.已知 0 ? a ? b ? 1 ,则 a ,logb a,log 1 b 的大小关系是 A. log 1 b ? a ? logb a
b a

B. log 1 b ? logb a ? ab
a

C. logb a ? log 1 b ? ab
a

D. ab ? log 1 b ? logb a
a

6. ? , ? 是两个平面, l 是直线,给出以下四个命题: ①若 l ? ? , ? ? ? , 则l / / ? ,②若 l / /? , ? / / ? , 则l / / ? ,③ l ? ? , ? / / ? , 则l ? ? , ④ l / /? , ? ? ? , 则l ? ? ,其中真命题有 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

7.当 x ? 0, y ? 0 时, “ x ? y ? 2 ”是“ xy ? 1 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

8.中心为原点,焦点在 x 轴上,离心率为 e ? 为 A.

2 ,且与直线 y ? x ? 2 3 相切的椭圆的方程 2
x2 y 2 ? ?1 8 4 x2 y 2 ? ?1 12 4

x2 y 2 ? ?1 32 16

B.

x2 y 2 ? ?1 6 3

C.

D.

9.将函数 y ? sin 调递减区间是

?
2

x 的图象向右平移 2 个单位后,得到函数 f ( x) 的图象,则函数 f ( x) 的单

A. [?1 ? 2k ,1 ? 2k ], k ? Z

B. [1 ? 4k ,3 ? 4k ], k ? Z

-1-

C. [?1 ? 4k ,1 ? 4k ], k ? Z

D. [?1 ? 4k ?

4

?

4 ,1 ? 4k ? ], k ? Z

?

10.设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若函数 f ( x ) 满足条件:存在 [a, b] ? D ,使 f ( x ) 在 [ a, b] 上的 值域是 [ , ] ,则称 f ( x ) 为“倍缩函数” ,若函数 f ( x) ? log2 (2x ? t ) 为“倍缩函数” ,则实 数 t 的取值范围是 A. (0, )

a b 2 2

1 4

B. (0,1)

C. (0, ]

1 2

D. ( , ??)

1 4

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 11.若 sin ? ?

3 , ? ? (0, 2? ) ,则 ? ? ▲ . 2

12.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ,满足 f ( x) ? f ( x ? 4), f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,若 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? 2? x ,则 f (2015) ? ▲ .

?x ? y ? 4 ? 13. 已知点 P( x, y ) 的坐标满足:? y ? x , 过 P 的直线交圆 C : x2 ? y 2 ? 25 于 A、B 两点, ? y ?1 ?
则弦长 AB 的最小值为 ▲ .

14.已知 ?OAB 中, OA ? 3, OB ? 2, M 是 ?OAB 重心,且 MB ? MO ? 0 ,则 cos ?AOB ? ▲.

x2 y 2 15.已知 F1、F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,过 F2 且垂直于 x 轴的直线与双曲线 a b
交于 A、B 两点,若 ?ABF1 为锐角三角形,则双曲线的离心率 e 的取值范围是 ▲ .

16.异面直线 a , b 所成的角为 ? ,过空间中定点 P ,与 a , b 都成 60 ? 角的直线有四条,则 ? 的 取值范围是 ▲ . 17.已知正项数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,且 2nan?1 ? (n ?1)an an?1 ? (n ? 1)an ? 0(n ? N ) ,则
2 2 *

?an ? 的通项公式为 an ?

▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分.要求写出解题过程或演算步骤. 18. ?ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 对边,且 a ? bc .
2

-2-

(1)当 a ? 4,

b cos B ? ,求 ?ABC 的面积; c cos C

(2)求函数 f ( A) ? sin( A ?

?

3

) 的定义域和值域.

19.数列 an ? 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? 2an ? 4n(n ? N * ) . (1)求 an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

?

?

?n

an

,其中 ? ? 0 ,若 ?bn? 为递减数列,求实数 ? 的取值范围.

20.如图,四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , AB ? AD , BC ? CD ? 2 AB ? 2 , ?PAD 是等边三角形, M 、N 分别为 BC、PD 的中点. (1)求证: MN / /平面PAB ; (2)若 MN ? PD ,求二面角 P ? AD ? C 的余弦值. \

P

N

A

D

B M

C

21.已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 1) x ? 1, a ? R . (1)求证:函数 f ( x ) 的图象与 x 轴恒有公共点; (2)当 a ? 0 时,求函数 y ?

f ( x) 的定义域;
1 有四个不同的实数根,求实数 a 的取值 m

(3)若存在 m ? 0 ,使关于 x 的方程 f ( x ) ? m ? 范围.

22.过抛物线 C : y ? 2 px 上的点 M (4, ?4) 作倾斜角互补的两条直线 MA、MB ,分别交抛
2

物线于 A、B 两点. (1)若 AB ? 4 10 ,求直线 AB 的方程;

-3-

(2)不经过点 M 的动直线 l 交抛物线 C 于 P、Q 两点,且以 PQ 为直径的圆过点 M ,那么直线

l 是否过定点?如果是,求定点的坐标;如果不是,说明理由.

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二○一四学年度 期中考试高三数学(理)试卷 第 一 学 期

-4-

题目 答案 11.

1 D

2 A

3 B 12.

4 D

5 A

6 A 13. 2 15 ; 17.

7 A

8 C 14.

9 C

10 A

? 2? 或 ; 3 3

1 ; 2

1 ; 6

15. (1, 2 ?1) ;

16. (60 ,90 ] ;

n ; 2 n ?1

18.答:(1) S ? 4 3 ; (2) A ? (0,

?
3

], f ( A) ?[

3 ,1] . 2

19.答: (1) an ? 2n?2 ? 4 ; (2) ? ? 3 .; 20.(1)证明:取 PC 中点 Q ,可证面 NQM / / 面 PAB ,得 MN / / 面 PAB ; (2)解:取 AD 中点 O , PO ? AD, MO ? AD , ?POM 是二面角 P ? AD ? C 平面角,

1 cos ?POM ? . 3
21.答: (1) f ( x) ? (ax ? 1)( x ? 1), f ( x) 图象与 x 轴恒有公共点 (1, 0) . (2) a ? 1 时, x ? (??, ] [1, ??) ; 0 ? a ? 1 时, x ? (??,1] [ , ??) (3) m ? 0 时, m ?

1 a

1 a

1 1 ? 2 ,令 t ? m ? , m m

y ? f ( x ) 是偶函数,只要讨论 x ? 0 时函数图象与函数 y ? t 图象有两个公共点即可,
以下只讨论 x ? 0 时的情形:

y ? f ( x ) 图象恒过 (0,1) 点, f ( x) 函数图象对称轴 x ?

a ?1 , 2a

① a ? 0 时,根据函数图象, y ? t ? 2 与 y ? f ( x)( x ? 0) 图象只有一个公共点,不符题 意,舍去; ②a ? 0且x ?

a ?1 ? 0 时,y ? f ( x)( x ? 0) 单调递减, 最大值为 1 , 图象与 y ? t ? 2 无 2a

交点,不符题意,舍去;

a ?1 (a ? 1) 2 ? 0 时,只要 y ? f ( x)( x ? 0) 最大值 1 ? ? 2 即可, ③a ? 0且x ? 2a 4a
解得 a ? ?3 ? 2 2 ;

a ? 0 ,显然不符,综上可得 a ? ?3 ? 2 2 .
22.答: (1)抛物线方程为 y ? 4 x ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,
2

-5-

设直线 AB 的方程是 x ? my ? b ,由 ?

? y1 ? y2 ? 4m ? x ? my ? b ,得 y 2 ? 4my ? 4b ? 0 , ? 2 ? y ? 4x ? y1 y2 ? ?4b

由 k AM ? kBM ? 0 ,得 y1 ? y2 ? 8 ,则 m ? 2 , 由弦长公式 AB ? 1 ? m
2

y1 ? y2 ? 4 10 ,得 b ? ?2 ,

因此直线 AB 的方程是 x ? 2 y ? 2 ? 0 (2)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,以 PQ 为直径的圆过点 M , 则 ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ( y1 ? 4)( y2 ? 4) ? 0 ,即 ( 化简,得 y1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? 32 ? 0 , 过 PQ 的直线为 y ?

y12 y2 ? 4)( 2 ? 4) ? ( y1 ? 4)( y2 ? 4) ? 0 , 4 4

yy 4 (x ? 1 2 ) y1 ? y2 4

?

4( y1 ? y2 ) ? 32 4 4 (x ? )? ( x ? 8) ? 4 ,恒过 (8, 4) 点. y1 ? y2 4 y1 ? y2

-6-


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