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空间两异面直线距离的 若干求法


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赣南师范学院科技学院学士学位论文

空间两异面直线距离的 若干求法
系 届 专 学 姓 别 数学与信息科学系 别 2014 届 业 数学与应用数学 号 1020151224 名 刘禹伟

指导老师 陈海莲 完成日期

目 录
内容摘要 ................

.................................. 1 关键字 .................................................... 1 Abstract .................................................. 1 Key words ................................................. 1 1、引言 ................................................... 2 2、空间两异面直线的相关概念 ............................... 2 2.1、空间两异面直线的概念 ................................. 2 2.2、空间两异面直线间距离的概念 ........................... 2 3、求异面直线距离的常用方法 ............................... 3 3.1、直接法 ............................................... 3 3.2、线面距离法 ........................................... 4 3.3、面面距离法 ........................................... 4 3.4、等体积法 ............................................. 5 4、求解异面直线间距离的其他方法 ........................... 6 4.1、运用极值法 ........................................... 6 4.2、公式法 ............................................... 7 4.3、射影面积法 ........................................... 9 5、分析比较求解方法 ...................................... 10 6、结语 .................................................. 11 致谢 ..................................................... 12 参考文献 ................................................. 13

内容摘要: 立体几何中的异面直线间距离( 即两条异面直线的公垂 线在这两条异面直线间的线段的长度) 问题是教材中的一个难点, 学 生普遍反映困难, 主要由于学生思维不全面和认识上的不足, 又由于 学生由平面几何到立体几何思维上的转化存在着问题 , 从而导致解题 和学习上困难。 本文我们来着重讲解空间两异面直线间的距离的求法, 即直接或利用转换和利用体积来求解。在其基础上再深入研究,利用 解析几何的思想来探讨求解异面直线间距离。比较各种求法,让学生 在求异面直线间距离方面简单。 关键字:异面直线间距离 直接法 转化法 体积法 解析几何 Abstract : The differences between the three-dimensional geometry of the surface linear distance (ie two different male faces straight vertical line in these two segments of different lengths between straight face) problem is a difficult textbook. Students generally reflect difficulties, Mainly due to the students' thinking is not comprehensive and lack of understanding, Also due to the transformation of the students from the plane geometry on the three-dimensional geometry of thinking there is a problem, resulting in the problem-solving and learning difficulties. In this paper, we explain the space to focus on the distance between the two different method for finding straight face, that directly or using the conversion and use of volume to solve. The basis of its further in-depth study to explore solving linear distance between the different faces of the use of analytic geometry ideas. Comparative method for finding a variety of students in terms of a simple distance between divergent straight face. Key words : The distance between lines in different planes
method Volume method Transformation method The direct

Analytic geometry

1

1、引言
求异面直线的距离是立体几何的一个难点,主要原因是公垂线段 较难找, 那么如何求异面直线的距离呢?为帮助同学们克服这一难点, 下面介绍异面直线的概念、异面直线间距离的概和异面直线间距离的 求法。

2、空间两异面直线的相关概念

[1]

在空间上,两条直线的位置关系有平行、相交和异面,下面我们着 重来介绍空间两条异面直线的相关概念。

2.1、空间两异面直线的概念[2]
定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 特点:既不平行,也不相交。 判定方法: (1)定义法:由定义判定两直线永远不可能在同一平面内。 (2)定理:经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过 该点的直线,是异面直线。

2.2、空间两异面直线间距离的概念[3]
两条异面直线的距离的定义:两条异面直线的公垂线在这两条异 面直线间的线段,叫做这两条异面直线的公垂线段;公垂线段的长度 d,叫做两条异面直线的距离。 其中,两条异面直线所成的角的定义:直线 a,b 是异面直线,经 过空间一点 O,分别引直线 A//a,B//b,相交直线 A,B 所成的锐角(或 直角)叫做异面直线 a,b 所成的角。角可取的范围在(0,π /2]。 两条异面直线垂直的定义:如果两条异面直线所成的角是直角, 则称这两条异面直线互相垂直。 两条异面直线的公垂线的定义:和两条异面直线都垂直相交的直 线叫做两条异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线,有且只有一 条。 理解这些概念,有助于理解异面直线间距离的求法。
2

3、求异面直线距离的常用方法
求解异面直线间距离的方法有许多,一般常用的方法有四种, 分别 为直接法、线面距离法、面面距离法,等体积法,下面详细介绍这四 种方法。

3.1、直接法
根据定义,直接找出公垂线段,再求其长,这是解题时首先要考 虑的方法。 例 1 (1999 ?广 东 )如图,已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1,点 E 在 棱 D1D 上,截面 EAC//D1B,且平面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45°, AB=a,求异面直线 A 1 B1 与 AC 之间的距离。 解:连结 DB,设 DB 交 AC 于点 O 由题设知 ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱 则 A1A ? 底面 ABCD, 即 A1A ? AC,而 A1A ? A1B1 所以 A1A 是异面直线 A1B1 与 AC 的公垂线段 由题意分析知 ? DOE 为平面 EAC 与底面 则∠DOE=45° 又∵截面 EAC//D1B,且平面 D1BD 与平面 EAC 的交线为 EO ∴D1B//EO,∠DBD1=∠DOE=45° ∴D1D=DB= ∵AA1=D1D ∴异面直线 A1B1 与 AC 之间的距离为 2a ABCD 所成的角

2a

3

3.2、线面距离法
选择异面直线中的一条,过它作另一条直线的平行平面,则此直线 与平行平面的距离即为异面直线间的距离。 例 2 (2004 ?江 苏 )在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AB=2, AD=3, AA1=4, 求异面直线 AB 与 A1C 间的距离。 解:如图所示,连结 A1D 由 AB//DC,得 AB//平面 A1DC 故 AB 到平面 A1DC 的距离即为 AB 与 A1C 间的距离 又平面 A1D ? 平面 A1DC 及平面 A1D ? AB 故可在平面 A1D 内过 A 作 AE ? A1D 于点 E 则 AE 为 AB 到平面 A1DC 的距离即为异面直线 AB 与 A1C 间的距离。 由 AD ? AA1=A1D ? AE 可得 AE ?
12 5

3.3、面面距离法
选择异面直线中的一条,过它作另一条直线的平 行平面,再根据所画平面作出另平行面,两异面直线 分别在两个平面上,求两平行面间的距离。 例 3 ( 2004 ? 广 州 一 模 ) 如 图 , 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,求异面直线 A1D 与 AC 间的 距离。 解:A1C、C1D、AB1、B1C,A1D 与 AC 分别在两个相互平行的平面
4

A1DC1 和 B1CA 内, 则 A1D 与 AC 间的距离就是两个相互平行的平面 A1DC1 和 B1CA 之间的距离。 连结 BD,且交 AC 于点 O,作 OO1 ? 平面 AC 交平面 A1C1 于 O1 连结 DO1,作 OE ? DO1 于 E 可知 OE 为两平行平面 A1DC1 和 B1CA 之间的距离 在 Rt△DOO1 中,OO1=1,DO=
2 6 ,DO1= 2 2

∴OE=OO1

DO 3 ? DO1 3

∴异面直线 A1D 与 AC 间的距离为

3 3

3.4、等体积法
在一般情况下,求异面直线间的距离可转化为 (1) 一异面直线与过另一异面直线且平行于第一条异面直线的平 面之间的距离. (2)分别过两异面直线的两个平行平面之间的距离. 上述两种距离总是通过直线上 ( 或平面上 ) 一点到另一平面之间的距离求出,除直接求出 外,一般都要通过等积计算再求高的办法来求得 的. 例 4 ( 2004 ?江 西 ) 如图 4 所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a, 求 AC 与 BC1 的距离. 解:连接 A1C1,A1B,C1A,

5

∵AC∥A1C1, ∴AC∥平面 A1BC1,则求 AC 与 BC1 的距离 转化为求 AC 与其平行平面 A1BC1 的距 离.也就是三棱锥 A-A1BC1 的高 h. 而 VA? A 1BC 1

? VC1 ? ABA1



1 3 1 1 2 ? ( 2a) ? h= ( a 2) ?a 3 4 3 2

? h=

3 a 3

由上可知,等积法与作辅助平面法紧密相连,它是以辅助平面为 底,与平面平行的另一条异面直线上某一点到该平面的距离为高组成 一个三棱锥,若改变三棱锥的底面易于求得三棱锥的体积,便可利用 等积法求出以辅助平面为底的三棱锥的高,即异面直线间的距离.

4、求解异面直线间距离的其他方法
一般的解题方法就是上述四种, 这些都是基础的, 比较容易掌握。 下面我们来结合解析几何的思想,利用其求解空间两异面直线间的距 离。

4.1、运用极值法
求异面直线 a、 b 的距离是先在 a(或 b)上取点 A, 过 A 点作 AB⊥b, 设某一线段为 x,列出 AB 关于 x 的函数表达式 AB=f(x),求出 AB 的 最小值,就是所求异面直线间的距离.其理论依据是两异面直线间的
6

距离是连接两直线中最短线段的长. 例5
( 2004 ?浙 江 ) 如图 5,圆锥底面半径为 R,母线长为 2R,

AC 为轴截面 SAB 的底角 A 的平分线,又 BD 为底面的一条弦,它和 AB 成 30°的角,求 AC 与 DB 之间的距离. 解:在 AC 上任取一点 E,作 EF⊥AB, 垂足为 F,则 EF⊥底面. 设 EF=x ∵△SAB 是正三角形(AB=SA=SB=2R)

? ? CAB=30。 ,AF= 3 X ? FB=2R- 3 X
在底面内作 FG ? BF,FG=BF ? sin 30 =
1 (2R- 3 X) 2

? EG2=EF2+FG2=X2+(R- 3 X)2= 7 (X- 2 3 R)2+ 4 R2 4 7 2 7

? EGmin= 2 7 R 即为所求。 7

4.2、公式法
预备定理设: OA,OB,OC 是空间共端点的 3 条射线 ? AOB= ? 1,? BOC= ? 2,? AOC= ? ,(其

7

中 ? 1, ? 2 均为锐角 ) ,二面角 A-OB-C 是直二面角,则 COS ? =COS ? 1 .COS ? 2. 设 A , B 是直二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上的两点,AC 在平面 ?
1

定理

内, BD 在平面 ? 内,且 ? CAB= ?

, ? DBA= ? 2,(其中 ? 1, ? 2 均为锐角)

AB=a。异面直线 AC 和 BD 所成的角为 ? ,距离为 d;则: (1)COS ? (2) d= =COS ?1 .COS ?2 .

a 1+ cot 2 ?1 + cot 2 ?2

例6 ( 2004 ?江 西 ) 已知正三棱锥D-ABC的 侧棱与底面的边长相等M, N分别为BD,DC的中点, 求:异面直线AM与BN所成角的余弦值。 解 如图,连接NA,取BC的中点E, 连接ME交BN与点G,则DC ? 平面ABN MG//DG ? MG ? 平面ABN ? 二面角M-AG-N为直二面角 设正四面体ABCD的棱长为a, 则 RT△AGM中, AM=
11 a 4
1 3 a,MG= a 4 2

? AG=

? cos ? 1=cos ? MAG=

11 ,△ANG中,cos ? 2=cos ? AGN 2 3

8

AG 2 ? NG 2 ? AN 2 1 ? ? . 2 AG ? NG 33

由定理可知

cos ? = cos ?1 ? cos ? 2 =
注:由于易得cot ? 1= 11 ,cot ? 2=

1 6
2 ;若正四面体的棱长 8

11 为a,则AG= 4 a ,由定理可得异面直线AM与BN的距离为

d=

AG 1+ cot ?1 + cot ? 2
2 2

?

70 35

4.3、射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平 面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos ? 二面角的大小。 例 7 AC=BC=2, ? ACB=90 AP=BP=AB,PC ? AC.求二面角 B-AP-C 的大小; 分析:本题要求二面角 B—AP—C 的大小,如果利用 射影面积法解题, 不难想到在平面 ABP 与平面 ACP 中 建立一对原图形与射影图形并分别求出 S 原与 S 射 于是得到下面解法。 解: AC=BC,AP=BP,
( 2004 ?广 州 ) 如图,在三棱锥 P-ABC 中, 。 A C P

=

S射 S

)求出

B

? △APC ? △BPC.
又 PC ? AC,,? PC ? BC.
A
9

P E B C

又 ? ACB=90 ,即 AC ? BC, 且 AC PC=C,



? BC ? 平面 PAC.
取 AP 中点 E.连结 BE,CE. AB=BP

? BE ? AP.
EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影,

? CE ? AP.
∴△ACE 是△ABE 在平面 ACP 内的射影, 于是可求得: AB=BP=AP= AC2 ? CB2 = 2 2 , BE= AB2 ? AE 2 = 6 , AE=EC= 2 ,
1 1 则 S 射=S△ACE= AE ? CE= 2 ? 2 =1, 2 2 1 1 S 射=S△ABE= AE ? EB= 2 ? 6= 3 2 2

设二面角 B-AP-C 的大小为 ? ,则 cos ? =

S射 S原

=

1 3 = 3 3

∴二面角 B-AP-C 的大小为 ?

=arccos

3 3

5、分析比较求解方法
中学空间两异面直线间距离的算法和解析几何算法,有相同之处 也有不同之处。 相同点:都是直接或者间接的利用公垂线的来找出两异面直线间 的关系,让其两条线能够联系起来。 不同点:中学求解方法都能够在图中找出公垂线,即能够找出实 实在在的一条线,说明其为两异面直线的公垂线,而解析几何的方法 都是不找出公垂线,而是利用公垂线的性质,没有实实在在的找出来,
10

后者需要有比较好的空间概念,能够想象出公垂线,从而利用其求解。

6、结语
本文总结了 7 种求解空间两异面直线距离的方法, 介绍的方法都是 从简单开始,从基本的思想开始,所以在求解的时候先掌握前面的基 本求法,再逐步深入掌握,利用解析几何的思想,巧妙地求解空间两 异面直线距离。熟练的掌握了这些方法,能够帮助学生对理解或者求 解空间两异面直线距离方面更易懂。

11

致谢
在论文完成之际,我首先向关心帮助和指导我的指导老师陈海莲 表示衷心的感谢并致以崇高的敬意! 在学校的学习生活即将结束,回顾四年来的学习经历,面对现在 的收获,我感到无限欣慰。为此,我向热心帮助过我的所有老师和同 学表示由衷的感谢!在论文工作中,遇到了许许多多这样那样的问题, 有的是专业上的问题,有的是论文格式上的问题,一直得到陈海莲老 师的亲切关怀和悉心指导,使我的论文可以又快又好的完成,陈海莲 老师以其渊博的学识、严谨的治学态度、求实的工作作风和他敏捷的 思维给我留下了深刻的印象,我将终生难忘我的陈海莲老师对我的亲 切关怀和悉心指导,再一次向他表示衷心的感谢,感谢他为学生营造 的浓郁学术氛围,以及学习、生活上的无私帮助! 值此论文完成之际, 谨向陈海莲老师致以最崇高的谢意!

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参考文献:
[1] 马兰. 2007(02) [2] 付俊兵. 1990(01) [3] 马金江,张凤然. 求解两异面直线间的距离与公垂线方程的方法 谈有关异面直线的几个问题[J]. 现代中小学教育. 直线、平面、简单几何体[J]. 数学爱好者(高考版).

[J]. 高师理科学刊. 2007(05) [4] 马广韬. 异面管道最短距离的计算方法[J]. 沈阳建筑大学学报

(自然科学版). 2005(03) [5] 杨奇. 报. 2000(01) [6] 陈长龙. 浅谈异面直线间距离的求法[J]. 安庆师范学院学报 异面直线间距离的求法[J]. 遵义师范高等专科学校学

(自然科学版). 1999(02) [7] 蒋雪英. 版). 2006(09) [8] 李云鹏,孙家宝. 2003(09) [9] 何世元. 版). 2008(01) [10] 石秉浦. 1996(05) [11] 万保军. 异面直线距离的几种常见求法[J]. 中学生数理化(高 求两条异面直线距离的一个公式[J]. 数学教学通讯. 异面直线距离的八种求法[J]. 数学学习与研究(教研 两异面直线距离的求法[J]. 高中数学教与学. 求两条异面直线距离的常用方法[J]. 广东教育(教研

二版). 2009(01)

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