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高中数学高考模拟训练系列试题


高中数学高考模拟训练系列

高中数学高考模拟训练系列试题(5)
文科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题) ,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) ⒈ 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x

| ( x ? 2)( x ? 1) ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 0} ,则

A ? (CU B) 为
A. {x | x ? ?2或x ? 1} C. {x | x ? ?1或x ? 0} B. {x | x ? ?2或x ? 0} D. {x | x ? ?1或x ? 1}

⒉ 设 0<a<1,实数 x,y 满足 x+ log a y =0,则 y 关于 x 的函数的图象大致形状是

A

B

C

D

1 ⒊ 条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : ? 1 ,则 ?p 是 ?q 的 3? x
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ⒋ 将抛物线 y2 = 4x 沿向量 a 平移得到抛物线 y2 -4y = 4x.则向量 a 为 A. (-1,2) B. (1,-2) C. (-4,2) D. (4,-2) ⒌ 设b、c表示两条直线,α、β 表示两个平面,下列命题中真命题是 A.若b ? α,c∥α,则b∥c. B.若b ? α,b∥c,则c∥α. C.若c∥α,c⊥β,则 α⊥β. D.若c∥α,α⊥β,则c⊥β. ⒍ 已知向量 a、b 满足:| a |=1,| b |=2,| a - b |=2,则| a + b |=( A.1 B. C. D. ⒎ 函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 是 A.最小正周期为 2π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 ⒏ 设 A、B 是锐角三角形 ABC 的两个内角,则有 A. cos A ? sin B, 且 cos B ? sin A B. cos A ? sin B, 且 cos B ? sin A C. cos A ? sin B, 且 cos B ? sin A ⒐ 实数 x、y 满足不等式组 D. cos A ? sin B, 且 cos B ? sin A 则W=

?

?

?

?

? ?



y ?1 的取值范围是 x ?1 1 1 1 A.[-1, ] B.[- , ] 3 2 3 ? 1 ? ? 1 ? C. ?? ,?? ? D. ? ? ,1? ? 2 ? ? 2 ? x ⒑ 若函数 y ? lg(4 ? a ? 2 ) 的定义域为 {x | x ? 1} ,则实数 a 的取值范围是 A. (0,??) B. (0,2) C. (??,2) D. (??,0)

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第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上) 11.在△ ABC 中, 已知 ?C ? 60 , b、 分别为角 A、 C 所对的边, a、 c B、 则
?

a b ? b?c c?a

的值等于 . 12.等差数列 {a n } 中, a1 ? 2 ,公差不为零,且 a1 、 a 3 、 a11 恰好成等比数列,那么 该等比数列公比的值等于 . 13.正四棱锥P-ABCD 的五个顶点在同一球面上, 若正四棱锥的底面边长为4,侧 棱长为2 6 ,则此球的表面积为 14.给出下列四个命题: ① 函数 f ( x) ? x x ? bx ? c 为奇函数的充要条件是 c =0; ②函数 y ? 2 ( x ? 0) 的反函数是 y ? ? log 2 x(0 ? x ? 1) ; ③若函数 f ( x) ? lg( x ? ax ? a) 的值域是 R,则 a ? ?4 或 a ? 0 ;
2 ?x

④ 若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数, 则函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? 0 对称。 其中所有正确命题的序号是 . 15. 某地每年消耗木材约 20 万 m ,每 m 价 480 元,为了减少木材消耗,决定按 t % 征收木材税,这样每年的木材消耗量减少
3 3

5 t 万 m 3 ,为了既减少木材消耗又保证税金收入 2

每年不少于 180 万元,则 t 的范围是 . 16.如图第 n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来,(n=1,2,3,…) 。则第 n -2 个图形中共有 个顶点。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17. (本小题满分 13 分)

? x 设 函 数 f ? x ? ? a ? (b ? c ) , 其 中 向 量 a ? ? s i n x , co s ? , b ? ? sin x, ?3cos x ? , c ? ? ? cos x,sin x ? , x ? R 。
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值和最小正周期; (Ⅱ)将函数 y ? f ? x ? 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成 中心对称,求向量 d 。 18. (本小题满分 12 分) 如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1
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中,侧面 AA1B1B⊥底

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面 ABC, 侧棱 AA1 与底面 ABC 成 600 的角, AA1= 2.底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,其 重 心为 G 点。E 是线段 BC1 上一点,且 BE=

1 BC1 . 3

(1)求证: GE∥侧面 AA1B1B ; (2)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大 小.

19. 本小题满分 12 分) ( 数列{an}是等比数列, 1=1, a 1 公比 q 是 ( x ? 2 )4 的展开式 4x 中的第二项 (按 x 的降幂排列). (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn;
1 2 n (2)若 An ? Cn S1 ? Cn S2 ? ? ? Cn Sn ,求 An.

20. (本小题满分 13 分)某先生居住在城镇的 A 处,准备开车到单位 B 处上班。若该 地各路段发生堵车事件都是独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车 事件的概率如图.( 例如:A ? C ? D算作两个路段:路段AC 发生堵车事件的概率为

1 1 ,路段 CD 发生堵车事件的概率为 ). 10 15
请你为其选择一条由A到B的路线,使得 途中发生堵车事件的概率最小; 若记 ξ 路线A ? C ? F ? B中遇到堵车 次数为随机变量 ξ,求 ξ 的数学期望Eξ。

21.(本大题满分 13 分)设 x 、y∈R,i、j 为直角坐 标平面内 x 、 y 轴正方向上的单位向量,向量 a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j ,且| a |+| b |=8. (1)求点 M (x,y)的轨迹 C 的方程; (2)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 OP ? OA ? OB ,是否存在这样 的直线 l ,使得四边形 OAPB 是矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理 由.

22. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b 的图象在点P(1,0)处的 切线 与直线3x+y=0平行. 求常数 a、b 的值. (2)求函数 f(x)在区间[0,t]上的最小值和最大值(t>0) 。
3 2

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高中数学高考模拟训练系列试题(5)
文科数学 参考答案 一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. CAAAC DCADC 二、填空题:每小题4分,共 24 分. 11. 1 12 . 4 13. 36? ; 14.①②③ 15.[3,5] 三、⒘解: (Ⅰ)由已知得 16. n ? n
2

f ( x ) ? a ? (b ? c ) ? (sin x , cos x) ? (sin x ? cos x , 3 cos x ? sin x) ? ? ? sin x(sin x ? cos x) ? cos x(?3 cos x ? sin x)

? cos 2x ? sin 2x ? 2 ? 2 sin(? ? 2 x) ? 2 4 ? f max ( x) ? 2 ? 2 ,T ? 2? ? ? . | ?2 |
(Ⅱ)设 y ?

? sin 2 x ? 2 cos x sin x ? 3 cos2 x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 3 ? 1 ? cos 2 x 2 2

2 sin(? ? 2 x) ? 2 , 4
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2 sin(? ? 2 x) ? ? 2 sin[2( x ? ? )] 4 8 ? x' ? x ? ? ? 8 ,则 y ' ? ? 2 sin x' 图像关于坐标原点成中心对称, 令? ? y' ? y ? 2 ?
则 y?2?

? d ? (? ? , 2) . ? 8
18. 解法 1:(1)延长 B1E 交 BC 于 F, ∵ΔB1EC∽ΔFEB, ∴BF= 1 B1C1= 1 BC,从而F为BC的中点. 2 2 ∵G为 ΔABC的重心,∴A、G、F三点共线,且 BE= 1 EC1 2

又 GE ? 侧面 AA1B1B, ∴GE∥侧面 AA1B1B (2)在侧面 AA1B1B 内,过 B1 作 B1H⊥AB,垂足为H,∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,∴B1H⊥底面 ABC.又侧棱 AA1 与底面 ABC 成 600 的角, AA1= 2,


FE FG 1 = = ,∴GE∥AB1, FA FB1 3

∴∠B1BH=60 ,BH=1,B1H= 3 . 在底面 ABC 内,过H作HT⊥AF,垂足为T,连 B1T.由三垂线定理有 B1T⊥A F, 又平面 B1GE 与底面 ABC 的交线为AF,∴∠B1TH为所求二面角的平面角. 0 ∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30 , ∴HT=AHsin300= 3 , 2 在RtΔB1HT中,tan∠B1TH= B1 H = 2 3 , 3 HT 从而平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 arctan 2 3 3 解法 2: (1)∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,侧棱 AA1 与底面 ABC 成 600 的角, 0 ∴∠A1AB=60 ,又 AA1= AB= 2,取AB的中点O,则AO⊥底面 ABC. 以 O 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz如图, 则A(0,-1,0) ,B(0,1,0) ,C( 3 ,0,0) , A1(0,0, 3 )B1(0,2, 3 ) 1( 3 ,1, 3 ) ,C .

1 ∵G为 ΔABC的重心,∴G( 3 ,0,0) , ∵ BE = BC1 3 3 ∴E( 3 ,1, 3 )∴ GE =(0,1, 3 )= 1 AB1 , 3 3 3 3 又 GE ? 侧面 AA1B1B, ∴GE∥侧面 AA1B1B (2)设平面 B1GE 的法向量为n=(a,b,c) , B GE 则由n· 1 E =0及n· =0得 3 a-b- 2 3 c=0;b+ 3 c=0. 3 3 3
可取n=( 3 ,-1, 3 ) . 又底面 ABC 的法向量为m=(0,0,1) , 设平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 ? , 则 cos ? =

m?n 21 = , | m|?| n| 7

∴ ? =arccos

21 . 7

19. (1)解:∵ ( x ?

1 4 1 1 ) 的第二项为 C4 ? x3 ? ( 2 ) ? x ,∴q=x 2 4x 4x

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∴an=x

n-1

?n ? , Sn ? ? 1 ? x n ? 1? x ?

x ?1 x ?1
6分

1 2 3 n (2)解:当 x=1 时, An ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn 又 n n n 1 0 1 2 n An ? nCn ? (n ? 1)Cn ?1 ? (n ? 2)Cn ?2 ? ? ? Cn ? nCn ? (n ? 1)Cn ? (n ? 2)Cn ? ? ? Cn ?1 0 1 2 n ∴ 2 An ? n(Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? n ? 2n ,An=n · n 2
-1

当 x≠1 时, An ?

1 ? x 1 1 ? x 2 2 1 ? x3 3 1 ? xn n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn 1? x 1? x 1? x 1? x

?

1 1 2 3 n 1 2 3 n [(Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? ( xCn ? x2Cn ? x3Cn ? ? ? x4Cn )] 1? x

1 2 3 n ? 1 [2 n ? 1 ? (1 ? xCn ? x 2 C n ? x 3Cn ? ? ? x n C n ? 1)] ? 1 [2 n ? (1 ? x) n ] 1? x 1? x

?n ? 2n ?1 ? ∴ An ? ? 2n ? (1 ? x)n ? 1? x ?

x ?1 x ?1

20. 解:(1)记路段 MN 发生堵车事件为 MN. 因为各路段发生堵车事件都是独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,所 以路线A ? C ? D ? B中遇到堵车的概率 P1 为 1-P( AC ? CD ? DB )=1-P( AC ) ? P( CD ) ? P ( DB ) =1-[1-P(AC)] [1-P(CD)] [1-P(DB)] 9 14 5 = 3 ; =1- ? ? 10 15 6 10 同理:路线A ? C ? F ? B中遇到堵车的概率 P2为 1-P( AC ? CF ? FB )= 239 (小于 3 ) ; 10 800 路线A ? E ? F ? B中遇到堵车的概率 P3为 1-P( AE ? EF ? FB )= 91 (大于 3 ) 300 10 显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小,只可能在以上三条路线中 选择 . 因此选择路线A ? C ? F ? B,可使得途中发生堵车事件的概率最小. (2) 路线A ? C ? F ? B中遇到堵车次数 ξ 可取值为 0,1,2,3. P(ξ=0)=P( AC ? CF ? FB )= 561 ,
800

P(ξ=1)=P(AC ? CF ? FB )+P( AC ? CF ? FB )+P( AC ? CF ? F B)

1 17 11 9 3 11 9 17 1 637 + + = , 10 20 12 10 20 12 10 20 12 2400 P(ξ=2)=P(AC ? CF ? FB )+P(AC ? CF ? FB)+P( AC ? CF ? FB) 1 3 11 1 17 1 9 3 1 77 = + + = , 10 20 12 10 20 12 10 20 12 2400 1 3 1 3 P(ξ=3)=P( AC ? CF ? FB )= = . 10 20 12 2400 561 637 77 3 1 ∴Eξ=0× +1× +2× +3× = 。 800 2400 2400 2400 3

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答:路线A ? C ? F ? B中遇到堵车次数的数学期望为

1 。 3

21. (1)解:∵a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j ,且| a |+| b |=8 ∴点 M(x,y)到两个定点 F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和为 8

x2 y2 ? ?1 12 16 (2)解: l 过 y 轴上的点(0,3),若直线 l 是 y 轴,则 A、B 两点是椭圆的顶点
∴轨迹 C 为以 F1,F2 为焦点的椭圆,方程为 ∴ OP ? OA ? OB ? 0,∴P 与 O 重合,与四边形 OAPB 是矩形矛盾. ∴直线 l 的斜率存在,设 l 方程为 y=kx+3,A(x1,y1),B (x2,y2) ? y ? kx ? 3 ? 由 ? x2 得: (4 ? 3k 2 ) x2 ? 18kx ? 21 ? 0 y2 ? 12 ? 16 ? 1 ? 此时, ? ? (18k ) 2 ? 4(4 ? 3k 2 )( ?21) ? 0 恒成立,

18k 21 , 1x2 ? ? x 2 4 ? 3k 4 ? 3k 2 ∵ OP ? OA ? OB ,∴四边形 OAPB 是平行四边形
且 x1 ? x2 ? ? 若存在直线 l ,使得四边形 OAPB 是矩形,则 OA⊥OB,即 OA ? OB ? 0 ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 即 (1 ? k 2 ) x1x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ? 0 解得: k ? ? ?

(1 ? k 2 )(?

21 18k ) ? 3k (? )?9?0 2 4 ? 3k 4 ? 3k 2

5 4

5 x ? 3 ,使得四边形 OAPB 是矩形. 4 2 22. (1) f ?? x ? =3 x +2ax
∴存在直线 l: y ? ? 依题意有: f ??1? =3+2a=-3; ∴a=-3 又 f(1)=a+b+1=0. ∴b=2
3 2 2

(2)由(1)知 f(x)= x -3 x +2; f ?? x ? =3 x -6x . 令 f ?? x ? =0得:x=0,x=2. ∴①当0<t≤2时, f ?? x ? <0 .f(x)在区间[0,t]上是减函数. ∴当x=t时,f(x)取最小值为 f(t)= t -3 t +2, 当x=0时,f(x)取最大值为 f(0)=2.
3 2

∵0≤x≤t

②当t>2时,当x变化时, f ?? x ? 、f(x)的变化情况如下表: x 0

f ??x ?
f (x) 2

(0 ,2) - 减函 数

2 ( 2 ,t) + - 增 函 2 数



t 3 -3 t 2
+2

从上表可知:当x=2时,f(x)取最小值为 f(2)=-2;
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f(x)取最大值是 f(0)与 f(t)中较大的一个. ∴当2<t≤3时,f(x)最大值为 f(0)=2, 当t>3时,f(x)最大值为 f(t)= t -3 t +2.
3 2

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