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圆锥曲线面积最值问题探索


圆锥曲线中面积最值问题探索
浙江省象山中学 张美娟

上课时间:2013.5.县师资培训暨骨干教师带徒第三小组活动 上课班级:高三(3)班 上课地点:象山中学微格教室 教学目标
知识目标: 1.掌握三角形面积的多种表示:公式法、水平分割、垂直分割,学会根据具体题情选 择方法; 2.抛物线的图象与性质特征; 3.直线与抛物线的关系,设而不求方

程组思想、点差法等解解析几何常规方法. 能力目标: 在解圆锥曲线的的关题目中,学会分析图形的静与动,抓住图形变化的主因,引起 变化的关键因素. 情感、态度、价值观: 学生在自我建构与课堂交流中分析能力得以提高.

教学过程
引例 如图,在直角坐标系 xoy 中,点 P (1, 线的距离为

1 2 )到抛物线 C : y = 2 px ( p ? 0 )的准 2

5 点. M ( t ,1)是 C 上的定点, A 、 B 是 C 上的两动点,且直线 AB 平分线 4

段 OM . (1)求 p, t 的值。 (2)求△ ABP 面积的最小值.

p 5 ? ?p ? ?1 ? (? ) ? 2. 2 4 ,得 ? 答案:(1)由题意得 ? ?t ? 1 ? 2 pt ? 1 ? ?
(2) S min

?

1

?

1 4

变题 1 把题设中的条件“直线 AB 平分线段 OM ”改为“线段 AB 被直线 OM 平分” ,其 它条件不变. (1)求 p, t 的值。 (2)求△ ABP 面积的最大值. (2012 年浙江高考文科第 22 题)

分析:本题主要考查了抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系,同时考查解析几何的 基本思想方法和运算求解能力.

p 5 1 ? ? ?1 ? (? ) ? ?p ? (1)由题意得 ? 2 4 ,得 ? 2. ? 2 pt ? 1 ?t ? 1 ? ?

解:设

A( x1 , y1 ), B ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点坐标为 Q(m, m)

由题意得,设直线 AB 的斜率为 k(k

? 0 ).

? y12 ? 2px1 ? 由? 2 ? y2 ? 2px 2 ?

,得 ( y2

? y1 )( y1 ? y2 ) ? k ( x2 ? x1 ) ,得 k ? 2m ? 1

所以直线的方程为

y?m ?

1 ( x ? m) ,即 x ? 2my ? 2m2 ? m ? 0 . 2m

? x ? 2my ? 2m 2 ? m ? 0 ? 2 由? 2 ,整理得 y ?y ? x ?
所以 ? ?

? 2my ? 2m2 ? m ? 0 ,

4m ? 4m2 , y1 ? y2 ? 2m , y1 y2 ? 2m2 ? m .从而得
1 y1 ? y2 ? 1 ? 4m 2 4m ? 4m 2 2 k


AB ? 1 ?

设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d

?

1 ? 2m ? 2m 2 1 ? 4m 2


设 ? ABP 的面积为 S,则 S

?

1 AB ? d ? 1 ? 2(m ? m2 ) ? m ? m2 2

.



? ? 4m ? 4m2 ? 0 ,得 0 ? m ? 1 .
? m ? m2
,0 ? t

令t

?

1 2 ,则 S ? t (1 ? 2t ) . 2 1 2 ,则 S ? ? 1 ? 6t . 2

2 设 S ? t (1 ? 2t ) , 0 ? t ?

由 S ? ? 1 ? 6t

2

? 0 ,得 t ?

6 ? 1? ? ? 0, ? , 6 ? 2?

所以 S max

6 ? 9

,故 ? ABP 的面积的最大值为

6 9

.

变题 2:己知点 F 为抛物线 C : y ? x 的焦点,斜率为 1 的直线 l 交抛物线于不同两点 P 、
2

以 分别交 x 轴负半轴于 M 、N , 直线 PM 、QN Q .以 F 为圆心, FP 、FQ 为半径作圆, 交于点 T . (I)判断直线 PM 与抛物线 C 的位置关系,并说明理由; (II)连接 FT , FQ , FP ,记 S1 ? S?PFT , S2 ? S?QFT , S3 ? S?PQT ,设直线 l 在 y 轴上的截 距为 m ,当 m 何值时,

S1 S 2 取得最小值,并求出取到最小值时直线 l 的方程. S3
(宁波市 2012 届 4 月高考模拟文)

同理直线 PN : x ? 2 y2 y ? y2 ? 0
2

? PM : x ? 2 y1 y ? y12 ? 0 1 ? 由? , 求得 T ( m, ) 2 2 ? PN : x ? 2 y2 y ? y2 ? 0 ?

1? 1? 1 1? 1 ?? 1? S1 ? S?PFT ? S?PFM ? SMFT = ? x1 ? ? ( y1 ? ) = ? y12 ? ?? y1 ? ? 2? 4? 2 2? 4 ?? 2? 1 ? 2 1 ?? 1 1? 1? 1 ? S2 ? S?QFT ? S?QFN ? S NFT = ? x2 ? ? ( ? y2 ) = ? y2 ? ? ? ? y2 ? 2? 4 ?? 2 2? 4? 2 ? 1? 1 1 ?? 1 1? 2 2 S1 S 2 = ? ? y12 y2 ? ? y12 ? y2 ? ? ?? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? ? 4? 4 16 ?? 2 4?
=

1? 2 m 5? ? m ? ? ? ?1 ? 4m ? 16 ? 2 16 ?
2 2

直线 PQ : y ? x ? m ,代入抛物线方程 y ? x ,消去 x 整理得: y ? y ? m ? 0 , 则 ? ? 1 ? 4m ? 0 ,得 m ?

1 , y1 ? y2 ? 1 , y1 y2 ? m 4
2m ? 1 2

PQ = 1 ? 12 y1 ? y2 = 2 ? 1 ? 4m ,点 T 到直线 PQ 的距离 d ?

2

S3 ? S?PQT ?

1 1 PQ ?d = ?1 ? 4m ? 1 ? 4m 2 4

S1S2 16m 2 ? 8m ? 5 ? S3 64 1 ? 4m

回顾与反思:
1.圆锥曲线有关综合问题,常需分析图形的静与动,抓住变化的关键因素. 2.“目标先行”是一个永远的话题 3.数、 形两方面恰当地表示图形的位置关系和数量关系.几何关系如何用代数形式转化, 是解圆锥曲线问题的关键.


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