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解析高考中圆锥曲线的最值问题


解析高考中圆锥曲线的最值问题

单位:沁阳一中 姓名:赵炜 电话:13513817227

1

解析高考中圆锥曲线的最值问题
摘要
本文主要以 2007 年各省高考题为载体,从几何与代数两个角度阐述了圆锥曲

线最值问题的求解策略。几何法注重圆锥曲线定义与平面几何知识的结合,代数法从三角 函数、二次函数、均值不等式三方面解析了圆锥曲线的最值问题。

关键词 圆锥曲线

最值 几何法

代数法

历年来,高考数学都要考查圆锥曲线中的最值问题。此类问题是解析几何综合问题的 重要内容之一,它融解析几何知识、函数、不等式等知识为一体,综合性强,且对于解题 者有着相当高的能力要求,正基于此,这类问题近年来成为了数学高考中的难关。但其解 法仍然有章可循,有法可依。本文将介绍求解圆锥曲线最值问题的常用方法。 解答此类问题一般有两种方法:①几何法:若题目条件和结论能明显体现几何特征及 意义,则考虑用图形性质、 ;圆锥曲线定义等简洁求解 ②代数法:就是建立目标函数,转化为求函数的最值问题.根据目标函数的特点可利 用三角函数有界性、 二次函数区间上的值域、 均值不等式及函数的单调性等方法求最值. 要 特别注意自变量的取值范围。

一:几何法
例 1. 已知椭圆 求
PA ? PF
x
2

?

y

2

? 1 内有一点

A(2,1) 为椭圆的左焦点,P 是椭圆上动点, ,F

25

16

的最大值与最小值。

解:如图 1,设椭圆的右焦点为 F ' ,可知其坐标为(3,0) 由椭圆的第一定义得:
? PF ? 10 ? PF ' ? PA ? PF ? PA ? 10 ? PF ' ? 10 ? PA ? PF '
PF ? PF ' ? 10

可知,当 P 为 A F ' 的延长线与椭圆的交点时, 当 P 为 F ' A 的延长线与椭圆的交点时, 故
PA ? PF PA ? PF '

PA ? PF '

最大,最大值为
AF ' ? ?

AF ' ? 2

2



最小,最小值为 ? 。



的最大值为 1 0 ?

2

,最小值为 1 0 ?

2

求解策略:利用椭圆第一定义转化为平面内到两定点距离的最值问题。 例 2. 定长为 d
? 2b ? ?d ? ? a ? ?
2

的线段 AB 的两个端点分别在椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

上移

2

动,求 AB 的中点 M 到椭圆右准线 l 的最短距离。 解:设 F 为椭圆的右焦点,如图 3,作 A A ' ? l 于 A',BB'⊥ l 于 B',MM'⊥ l 于 M'

图3 则 MM '?
AA' ? BB' 2 ? BF ? 1 ? AF 1 ? ? ? ? 2? e e ? 2e

? AF

? BF

??

AB 2e

?

d 2e
d 2e

当且仅当 AB 过焦点 F 时等号成立。故 M 到椭圆右准线的最短距离为 说明:
2b a
2

.

是椭圆的通径长,是椭圆焦点弦长的最小值, d

?

2b a

2

是 AB 能过焦点的充

要条件。 求解策略:从椭圆的第二定义出发,再将问题转化为平几中的问题:三角形两边之和 大于第三边,两边之差的绝对值小于第三边。是解决此类问题的常见思路。 例 3. 06 年江西卷)P 是双曲线 (
x
2

?

y

2

? 1 的右支上一点,M、N

分别是圆(x+5)2+y2

9

16

=4 和(x-5)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( ) A. 6 B.7 C.8 D.9 解:设双曲线的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0) ,则这两点正好是两圆的 圆心当且仅当点 P 与 M、F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的值最大,此时 |PM|-|PN|≤(|PF1|+2)-(|PF2|-1)= | P F1 | ? | P F 2 | ? 3 ? 6 ? 3 ? 9 故选 D 求解策略:先将点到圆上点的距离转化为点到圆心的距离,再利用双曲线的第一定义。 例 4. (07 辽宁理 20) 已知正三角形 O A B 的三个顶点都在抛物线 y 2 坐标原点,设圆 C 是 OAB 的内接圆(点 C 为圆心) (I)求圆 C 的方程; (II)设圆 M 的方程为 ( x ? 4 ? 7 co s ? ) 2
? ( y ? 7 co s ? ) ? 1 ,过圆
2

? 2x

上, 其中 O 为

M 上任意一点 P 分别作圆 C

的两条切线 PE、PF,切点为 E、F,求 C E ? C F 的最大值和最小值. 解: (I)设 A, B 两点坐标分别为 ( x1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,由题设知
x1 ? y 1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2

??? ?

??? ?


2 2 2

又因为 y 12

? 2 x1 , y 2 ? 2 x 2 ,可得 x1 ? 2 x1 ? x 2 ? 2 x 2
3

.即 ( x1 ?

x 2 )( x1 ? x 2 ? 2 ) ? 0



由 x1 设 C

? 0

, x2

? 0

,可知 x1

? x2

,故 A , B 两点关于 x 轴对称,所以圆心 C 在 x 轴上.
? 3 ? 3 r? ? 2? r ,于是有 ? ? 2 ? 2 ? ?
2

?3 3 ? 点的坐标为 ( r , 0 ) ,则 A 点坐标为 ? r , r? ?2 ? 2 ? ?

,解得 r

? 4



所以圆 C 的方程为 ( x ? 4 ) 2

? y ? 16 .
2

(II)解:设 ? E C F ? 2 a ,则
??? ??? ? ? ??? ? ??? ? 2 C E ?C F ? | C E | ? | C F | co s 2 ? ? 1 6 co s 2 ? ? 3 2 co s ? ? 1 6



在 R t ? P C E 中, c o s ?

?

x | PC |

?

4 | PC |

,由圆的几何性质得

| P C |≤ | M C | ? 1 ? 7 ? 1 ? 8

,| PC

|≥ | M C | ? 1 ? 7 ? 1 ? 6 ,

所以

1

? cos ? ?

2 3

,由此可得 ? 8 ?
16 9

2 ??? ??? ? ? 则CE ? CF

??? ??? ? ? 16 CE ? CF ? ? 9



的最大值为 ?

,最小值为 ? 8 .

小结:利用圆锥曲线定义,并结合平面几何相关定理,常使最值问题变得轻松,简洁。

二:代数法
(一) 三角函数法
? 2b
2

例 1(05 福建)设 a , b ? R , a 2 A. ? 2 B. ?
5 3 3

? 6, 则 a ? b

的最小值是 D. ?
7 2

2

C.-3

解法一:利用椭圆的参数方程,化归为三角最值问题,
a , b ? R , a ? 2b ? 6, a ?
2 2

6 cos ? ,

2b ?

6 sin ? , a ? b ?

3

?

2 c o s ? ? sin ?

? ? 3 sin ? ? ? a rc ta n

2 ? ? ? 3, 3 ?

?

选 C; 解法二:利用截距的几何意义,数形结合构建椭圆 a 2 别式为 0 得 m ? ?? 3 , 3 ? ,选 C; 小结:注意参数方程的灵活运用,解题时恰当地引入参数,将复杂的代数运算转化为 简单的三角运算,并提供进一步利用函数性质的可能性。 (二)二次函数法 例 1.(07 四川理 20) )设 F1 、 F 2 分别是椭圆
??? ? ??? ?
x
2

? 2 b ? 6, a ? b ? m
2

相切,借助判

? y ? 1 的左、右焦点.
2

4

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 P F 1 ? P F 2 的最大值和最小值; (Ⅱ)设过定点 M
(0, 2 ) 的直线 l

与椭圆交于不同的两点 A、B,且∠ A O B 为锐角(其中 O
4

为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解: (Ⅰ)解法一:易知 a 所以 F1 ? ?
3 , 0 , F2
? 2 , b ? 1, c ? 3

?

?

3,0

? ,设 P ? x , y ? ,则
3 ? x, ? y ? x ? y ? 3 ? x ? 1 ?
2 2
2

???? ???? ? P F1 ? P F 2 ? ? 3 ? x , ? y ?

?

? ?

?

x

2

?3?

1 4

4

?3x

2

? 8?

因为 x ? ? ? 2, 2 ? ,故当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, P F1 ? P F 2 有最小值 ? 2 当x
? ? 2 ,即点

????

???? ?

P 为椭圆长轴端点时, P F1 ? P F 2 有最大值 1

????

???? ?

(Ⅱ)略 例 2、 (07 湖北理 19)在平面直角坐标系 x O y 中,过定点 C ( 0 , p ) 作直线与抛物线
x ? 2 py
2

(p

? 0 )相交于 A , B

两点.

(I)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 ? A N B 面积的最小值; (II)是否存在垂直于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 A C 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若 存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由. (Ⅰ)解法 1:依题意,点 N 的坐标为 N (0, ? p ) ,可设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 直线 A B 的方程为 y 由韦达定理得 x1 ? 于是 S △ A B N
? kx ? p

,与 x 2

? 2 py

联立得 ?

? x ? 2 py
2

? y ? kx ? p

消去 y 得 x 2

? 2 p kx ? 2 p ? 0
2



x2 ? 2 pk

, x1 x 2

? ?2 p

2

. .

y

1 ? S △ B C N ? S △ A C N ? · 2 p x1 ? x 2 2

B C A O N x

? p x1 ? x 2 ? p
? p
∴当

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
2
2

4p k ?8p
2 2

? 2p

2

k ?2
2


2

k=0 时, ( S △ A B N ) m in

? 2 2p



解法 2:前同解法 1,再由弦长公式得
AB ? 1? k
2

2

x1 ? x 2 ?
k ?2
2

1? k ·
2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

1? k ·
2

4p k ?8p
2 2

2

? 2 p 1? k ·


? 2p 1? k
2

又由点到直线的距离公式得 d



5

从而 S △ A B N
∴ 当k ? 0

1 1 2 ? · d· A B ? · 2 p 1 ? k · 2 2

k ?2 ·
2

2p 1? k
2

? 2p

2

k ?2
2



时, ( S △ A B N ) m in

? 2 2p

2



(Ⅱ)略 例 3 07 上海文 21) ( 我们把由半椭圆 成的曲线称作“果圆” ,其中 a 2
?b ?c
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (x ? 0)

与半椭圆

y b

2 2

?

x c

2 2

?1

(x ? 0)



,a ? 0 ,b ? c ? 0 .

如图,设点 F 0 , F1 , F 2 是相应椭圆的焦点, A1 , A 2 和 B 1 , B 2 是“果圆” 与 x,y 轴 的交点,M 是线段 A1 A 2 的中点. (1)若 △ F
0

y
B2

F1 F 2

是边长为 1 的等边三角形,求该

.
A1

F2

“果圆”的方程; (2)设 P 是“果圆”的半椭圆
(x≤ 0)

O M

y b

2 2

?

x c

2 2

.

. .
F0 A2

x

?1

F1

上任意一点.求证:当
1

PM

取得最小值时,

B1

P

在点 B

, B2

或 A1 处;
PM
2

(3)若 P 是“果圆”上任意一点,求 解: (1)?
?
F 0 ( c , 0 ), F1

取得最小值时点 P 的横坐标.
2

? 0, ?
2

b ?c
2

2

?,

F2

? 0,

b ?c

?,
?1,

F0 F2 ?
2

?b
, a

2

?c

2

??c

? b ? 1,
? 7 4

F1 F 2 ? 2 b ? c
2

2

于是 c

?

3 4

2

? b ? c
2

2


2

所求“果圆”方程为 (2)设 P ( x ,
2

4 7

x ? y
2

?1

(x≥ 0)

,y

2

?

4 3

x

2

?1

(x≤ 0).

y)

,则
2

a?c? ? 2 | PM | ? ? x ? ? ? y 2 ? ?

? b ? 2 (a ? c) 2 ? ? 1 ? 2 ? x ? ( a ? c )x ? ?b , c ? 4 ?
2 2

?c≤ x≤ 0



?

1?

b c

2 2

? 0

,?

| PM |

2

的最小值只能在 x ? 0 或 x ? ? c 处取到. 或 A1 处.
6

即当

PM

取得最小值时,P 在点 B

1

, B2

(3)? 椭圆
x a
2 2

| A1 M | ? | M A 2 |
?1 (x≤ 0)

,且 B 1 和 B 2 同时位于“果圆”的半椭圆
P

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

(x≥ 0)

和半

y b

2 2

?

x c

2 2

上,所以,由(2)知,只需研究

位于“果圆”的半椭圆

?

y b

2 2

? 1 ( x ≥ 0)

上的情形即可.
2

a?c? ? 2 | PM | ? ? x ? ? ? y 2 ? ?
2

?

c a

2 2

? a (a ? c) ? (a ? c ) a (a ? c ) 2 ? ? x? ? ?b ? 2 2 2c 4 4c ? ?
2 2 2

2

2



当x ?

a (a ? c)
2

2c

2

≤ a

,即 a ≤ 2 c 时, | P M

|

2

的最小值在 x

?

a (a ? c)
2

2c a (a ? c)
2

2

时取到,

此时 P 的横坐标是
a (a ? c)
2

2c

2



当x
x ? a

?

2c

2

? a

,即 a ? 2 c 时,由于 | P M

|

2

在 x ? a 时是递减的, | P M

|

2

的最小值在

时取到,此时 P 的横坐标是 a.
a (a ? c)
2 2

综上所述,若 a ≤ 2 c ,当 | P M | 取得最小值时,点 P 的横坐标是 当 | P M | 取得最小值时,点 P 的横坐标是 a 或 ? c .

;若 a ? 2 c ,

2c

小结:函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见 的有二次函数,三角函数等,值得注意的是函数自变量取值范围的考察不容忽视。上述三 例解题过程均是将圆锥曲线最值转化为讨论二次函数在区间上的最值,此时应注意其定义 域是否受题设条件限制,是否需要分类讨论。 (三) :均值不等式 例 1、 (07 陕西文 22)已知椭圆 C: 到右焦点的距离为 .
x a
3
2 2

?

y b

2 2

=1(a>b>0)的离心率为

6 3

,短轴一个端点

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 的最大值.
?c ? ? 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a ? ?a ? 6 3 3
3 2

,求△AOB 面积

? b ? 1 ,? 所求椭圆方程为

x

2

? y ? 1.
2

3
7

(Ⅱ)设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) . (1)当 A B ⊥ x 轴时,
AB ? 3


? kx ? m

(2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 A B 的方程为 y 由已知 把y
m 1? k
? kx ? m
2



?

3 2

,得 m 2

?

3 4

( k ? 1)
2


? 1) x ? 6 km x ? 3 m ? 3 ? 0
2 2

代入椭圆方程,整理得 (3 k 2 , x1 x 2 ?
3( m ? 1)
2



? x1 ? x 2 ?

?6 km 3k ? 1
2

3k ? 1
2


2 2 2

? AB

2

1 2 ( m ? 1) ? 2 ? 36k m 2 2 ? ? (1 ? k )( x 2 ? x1 ) ? (1 ? k ) ? ? 2 2 2 3k ? 1 ? ? (3 k ? 1)
2 2

?

1 2 ( k ? 1)(3 k ? 1 ? m )
2

(3 k ? 1)
2

2

?

3( k ? 1)(9 k ? 1)
2 2

(3 k ? 1)
2

2

? 3?

12k
4

2 2

9k ? 6k ? 1

? 3?
2

12 9k ? 1 k
2

(k ? 0) ≤ 3 ? ?6

12 2?3? 6

? 4



当且仅当 9 k 2 综上所述
?

?

1 k
2

,即 k .

? ?

3 3

时等号成立.当 k ? 0 时,

AB ?

3



AB

m ax

? 2



AB

最大时, △ A O B 面积取最大值 S
2

?

1 2

? AB

m ax

?

3 2

?

3 2



例 2、 (07 全国 1 理 21)已知椭圆

x

?

y

2

3

2

? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F 2 .过 F1 的直

线交椭圆于 B , D 两点,过 F 2 的直线交椭圆于 A , C 两点,且 A C ? B D ,垂足为 P . (Ⅰ)设 P 点的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ,证明:
x0 3
2

?

y0 2

2

? 1;

(Ⅱ)求四边形 A B C D 的面积的最小值. 证明: (Ⅰ)略 (Ⅱ) (ⅰ)当 B D 的斜率 k 存在且 k ? 0 时, B D 的方程为 y
? k ( x ? 1)

,代入椭圆方程

8

x

2

?

y

2

? 1 ,并化简得 (3 k ? 2 ) x ? 6 k x ? 3 k ? 6 ? 0
2 2 2 2



3

2

设 B ( x1 , y 1 ) , D ( x 2 , y 2 ) ,则
x1 ? x 2 ? ? 6k
2 2

3k ? 2

, x1 x 2

?

3k ? 6
2

3k ? 2
2

BD ?

1 ? k ? x1 ? x 2 ?
2

(1 ? k ) ?? ( x 2 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ? ? ? ?
2 2

4 3 ( k ? 1)
2

3k ? 2
2



因为 A C 与 B C 相交于点 P ,且 A C 的斜率为 ?
? 1 ? 4 3 ? 2 ? 1? 2 4 3 ( k ? 1) ?k ? AC ? ? 2 1 2k ? 3 3? 2 ? 2 k

1 k



所以,



四边形 A B C D 的面积
S ? 1 2 ?BD AC ? 2 4 ( k ? 1)
2 2 2 2

(3 k ? 2 )( 2 k ? 3)


2

? ? ( k ? 1)
2

2 2

?

96 25



? (3 k ? 2 ) ? ( 2 k ? 3) ? ? ? 2 ? ?
2

当k 2

? 1 时,上式取等号.

(ⅱ)当 B D 的斜率 k ? 0 或斜率不存在时,四边形 A B C D 的面积 S ? 4 . 综上,四边形 A B C D 的面积的最小值为
96 25



小结:以上二例均是利用均值不等式定理求解圆锥曲线最值问题的,解题时要先将目 标函数配凑成积(或和)为定值的形式,这种恒等变形是使用最值定理的重要前提。同类 型题还有 07 年高考浙江文 21、安徽文 18 综上所述,解决圆锥曲线中的最值问题,要注意联系圆锥曲线的定义和性质,重视运 用数形结合,将问题转化为一定的函数关系或不等式进行讨论。概括来说:先根据题设条 件,恰当选择某个与目标密切相关的自变量,并确定目标函数的解析式;在充分考虑函数 的定义域、不等式的最值条件等前提下,应用函数的单调性、均值不等式定理及其推论等 进行分类讨论。此外,解题过程力争做到思路清晰、推理严密、规范合理、结果准确。

参考文献 :周宝生等, 《十年高考》 ,南方出版社,2007 年

9


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