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2014年常州市教育学会学生学业水平监测高三数学


2014 年常州市教育学会学生学业水平监测
高三数学Ⅰ试题
参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,… , x n 的方差 s 2 ?
1 n 1 n ( xi ? x) 2 ,其中 x = ? xi . ? n i ?1 n i ?1

2014 年 1 月

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5

分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. 设集合 A ? x x2 ? 1 ,x ? R , B ? ?x 0 ≤ x ≤ 2? ,则 A 2. 若

?

?

B=

▲ ▲

. . ▲ .

1 ? mi ? 1 ? ni ( m,n ? R ,i 为虚数单位),则 mn 的值为 i

3. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 ,则 a 的值为 a2 4

4. 某学校选修羽毛球课程的学生中,高一,高二年级分别有 80 名,50 名.现用分层抽样 的方法在这 130 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级学生中抽取了 24 名,则在高 二年级学生中应抽取的人数为 ▲ .

5. 某市连续 5 天测得空气中 PM2.5(直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物)的数据(单位:
mg / m3 )分别为 115,125,132,128,125,则该组数据的方差为





6. 函数 y ? 2sin 2 x ? 3cos2 x ? 4 的最小正周期为





7. 已知 5 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁类饮料.从这 5 瓶饮料中随机取 2 瓶,则所取 2 瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ . ▲ .

? x ? y ≥3, ? 8. 已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ≤ 3, 则 z ? 5 ? x 2 ? y 2 的最大值为 ? x ≤ 3, ?

9. 若曲线 C1 : y ? 3x4 ? ax3 ? 6x2 与曲线 C2 : y ? e x 在 x ? 1 处的切线互相垂直,则实数 a 的值为 ▲ .

10.给出下列命题: (1)若两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面; (2)若两个平面平行,那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面; (3)若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面; (4)若两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面. 则其中所有真命题的序号为 ▲ .

3 ? p p? tan 3 3q ,若数列 ?an ? 的前 2014 11.已知 q ? ? ? , ? ,等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a4 ? 9 ? 6 6?

项的和为 0,则 q 的值为





?? 1 ? x ?? ? , x ? 0, 12.已知函数 f(x)= ?? 若 f ( f (?2)) ? f (k ) ,则实数 k 的取值范围为 ▲ . 2? ? 2 ?( x ? 1) , x ≥ 0,

13.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 tan A ?7tan ▲ .

B,

a 2 ? b2 ? 3 ,则 c ? c

,2) ,M,N 为圆 O 上不同的 14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 16 ,点 P(1

两点,且满足 PM ? PN ? 0 .若 PQ ? PM ? PN ,则 PQ 的最小值为





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.设向量 m ? (a, c) , n ? (cos C,cos A) . (1)若 m ∥ n , c ? 3a ,求角 A;

4 (2)若 m ? n ? 3b sin B , cos A ? ,求 cos C 的值. 5
16.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中,AB⊥ E,F 分别是 A1 B , AC1 的中点. (1)求证:EF∥ 平面 ABC; (2)求证:平面 AEF ⊥平面 AA1 B1 B ; ( 3 )若 A1 A ? 2 AB ? 2 BC ? 2 a ,求三棱锥 的体积. 17.(本小题满分 14 分) 设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? a5 , S5 ? 25 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 p , q 为互不相等的正整数,且等差数列 {bn } 满足 bap ? p , baq ? q ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 18.(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆
O

A?1

A E

BC ,

F
B?1

B
F ? ABC

C?1

C

(第 16 题)

y
l

B

M

P

Q

A

x

(第 18 题)

E:

x2 y 2 动直线 y ? kx ? m (k ? 0,m ? 0) 交椭圆于 A, ? ? 1(a ? b ? 0) 的右准线为直线 l, a 2 b2

B 两点,线段 AB 的中点为 M,射线 OM 分别交椭圆及直线 l 于 P,Q 两点,如图.若

1 A,B 两点分别是椭圆 E 的右顶点,上顶点时,点 Q 的纵坐标为 (其中 e 为椭圆的离 e
心率),且 OQ ? 5OM . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)如果 OP 是 OM,OQ 的等比中项,那么 是,请说明理由.

m 是否为常数?若是,求出该常数;若不 k

19.(本小题满分 16 分) 几名大学毕业生合作开设 3 D 打印店,生产并销售某种 3 D 产品.已知该店每月生产的 产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为 34 元,该店的月总成本由两部分组成: 第一部分是月销售产品的生产成本,第二部分是其它固定支出 20000 元.假设该产品 的月销售量 t ( x) (件)与销售价格 x (元/件)( x ? N )之间满足如下关系:①当
2 34 ≤ x ≤ 60 时 , t ( x? ) ? a( ? x 5 )?
?

6 ≤ 0 x≤ ; 0② 1 0当 5 0

7时 0 ,

M (元),月利润=月销售总额-月总成本. t ( x? ) ? 1 0x ? 0 .设该店月利润为 7 6 0 0
(1)求 M 关于销售价格 x 的函数关系式; (2)求该打印店月利润 M 的最大值及此时产品的销售价格.

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ?

a ,a?R . x

(1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的极大值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)当 a ? 1 时,设函数 g ( x) ? f ( x ? 1) ? x ? 1 ?

a ,若实数 b 满足: b ? a 且 x ?1

? b ? ? a?b ? g? ? ? g (a) , g (b) ? 2 g ? ? ,求证: 4 ? b ? 5 . ? b ?1 ? ? 2 ?

常州市教育学会学生学业水平监测
数学Ⅱ(附加题)
2014 年 1 月 21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在 ...... 答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ....... A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,等腰梯形 ABCD 内接于⊙ O , AB ∥ CD. 过点 A 作⊙ O 的切线交 CD 的延长线于点 E. 求证:∠DAE=∠BAC.
C O

B

A

D
(第 21-A 题)

E

B.选修 4—2:矩阵与变换
?0 1 ? 已知直线 l : ax ? y ? 0 在矩阵 A ? ? ? 对应的变换作用下得到直线 l ? ,若直线 l ? 过点 ?1 2 ?

(1,1),求实数 a 的值.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程

p p 在极坐标系中,已知点 P(2 3, ) ,直线 l : r cos(q ? ) ? 2 2 ,求点 P 到直线 l 的距离. 6 4

D.选修 4—5:不等式选讲 已知 x ≥1 , y ≥ 1 ,求证: x2 y ? xy 2 ? 1 ≤ x2 y 2 ? x ? y .

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解 ....... 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,三棱锥 P-ABC 中,已知平面 PAB⊥平面 ABC,AC⊥ BC,AC=BC=2a,点 O,D 分别是 AB,PB 的中点,PO⊥ AB,连结 CD. (1)若 PA ? 2a ,求异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦 值的大小; (2)若二面角 A-PB-C 的余弦值的大小为 PA.
5 ,求 5

P

D
A
O

B

23.(本小题满分 10 分) 设集合 A,B 是非空集合 M 的两个不同子集,满足:A 不是 B 的子集,且 B 也不是 A 的子集. (1)若 M= {a1 , a2 , a3 , a4 } ,直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数; (2)若 M= {a1 , a2 , a3 , ???, an } ,求所有不同的有序集合对(A,B)的个数.
C

(第 22 题)

常州市教育学会学生学业水平监测
高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 1. ?0,1? 8. 2. ?1 9. 3. 1 4. 15 5.31.6(写成

158 也对) 6. p 5
13.4
2

7.

7 10

1 2

1 3e

10.(1)(2) 11. ?

p 9

12. (log 1 9, 4)

14. 3 3 ? 5

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解:(1)∵ m ∥ n ,∴ a cos A ? c cos C .由正弦定理,得 sin A cos A ? sin C cos C . 化简,得 sin 2 A ? sin 2C . ………………………………………………2 分

∵ A, C ? (0, p ) ,∴ 2 A ? 2C 或 2 A ? 2C ? p , 从而 A ? C (舍)或 A ? C ? 在 Rt△ABC 中, tan A ?

p p .∴ B ? . 2 2

………………………………4 分 …………………………………6 分

a 3 p ? ,A? . c 3 6

(2)∵ m ? n ? 3b cos B ,∴ a cos C ? c cos A ? 3b sin B . 由正弦定理,得 sin A cos C ? sin C cos A ? 3sin 2 B ,从而 sin( A ? C) ? 3sin 2 B .

1 ∵ A ? B ? C ? p ,∴ sin( A ? C ) ? sin B . 从而 sin B ? . 3
∵ cos A ?

……………8 分 ……………………10 分
2 2 . 3

4 p 3 ? 0 , A ? (0, p ) ,∴ A ? (0, ) , sin A ? . 5 2 5

∵ sin A ? sin B ,∴ a ? b ,从而 A ? B ,B 为锐角, cos B ? ∴ cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B
4 2 2 3 1 3?8 2 ? ? ? =? ? . 5 3 5 3 15

………12 分

…………………………………14 分

16.证明:(1)连结 A1C . ∵直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, AA1C1C 是矩形, ∴点 F 在 A1C 上,且为 A1C 的中点.

在△ A1 BC 中,∵E,F 分别是 A1 B , A1C 的中点,

∴EF∥BC. ……………2 分 ………………4 分

又∵BC ? 平面 ABC, EF ? 平面 ABC,所以 EF∥ 平面 ABC. (2)∵直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, B1 B ? 平面 ABC,∴ B1 B ? BC.

∵EF∥BC,AB⊥BC,∴AB⊥EF, B1 B ? EF. ………………………………6 分 ∵ B1 B
AB ? B ,∴EF⊥平面 ABB1 A1 .

………………………………8 分 ………………………………10 分 ………………………………12 分 ………………………………14 分
? a ? 1, 解得 ? 1 ? d ? 2.

∵EF ? 平面 AEF,∴平面 AEF⊥平面 ABB1 A1 .

1 1 1 (3) VF ? ABC ? VA1 ? ABC ? ? ? S?ABC ? AA1 2 2 3

1 1 1 a3 = ? ? a2 ? 2a ? . 2 3 2 6
?3a ? 3d ? a1 ? 4d, 17.解:(1)由已知,得 ? 1 ?5a1 ? 10d ? 25,

…………………4 分

∴ an ? 2n ? 1 .

……………………………………………………………6 分

(2) p , q 为正整数, 由(1)得 a p ? 2 p ? 1 , aq ? 2q ? 1 . …………………8 分 进一步由已知,得 b2 p ?1 ? p , b2q?1 ? q . ………………………………………10 分 ∵ {bn } 是等差数列, p ? q ,∴ {bn } 的公差 d ? ? 由 b2b ?1 ? b1 ? (2 p ? 2)d ? ? p ,得 b1 ? 1 . ∴ Tn ? nb1 ?
q? p 1 ? . 2q ? 2 p 2

………………12 分

n(n ? 1) n2 ? 3n . d? ? 2 4

…………………………………………14 分

18. 解:当 A,B 两点分别是椭圆 E 的右顶点和上顶点时,则

a b A(a,0) , B(0, b) , M ( , ) . 2 2
1 b a2 1 ∵ Q( , ) ,∴由 O,M,Q 三点共线,得 ? e2 ,化简,得 b ? 1 .………2 分 a a c e c

a2 ∵ OQ ? 5OM ,∴ c ? 5 ,化简,得 2a ? 5c . a 2

?a 2 ? b2 ? c 2, ? 由 ?b ? 1, ? ?2a ? 5c,

? a 2 ? 5, ? 解得 ? 2 ? ?c ? 4.

…………………………………………4 分

x2 ? y 2 ? 1 . …………………………………………6 分 5 x2 (2)把 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) ,代入 ? y 2 ? 1 ,得 5
(1)椭圆 E 的标准方程为
(5k 2 ? 1) x2 ? 10mkx ? 5m2 ? 5 ? 0 .

……………………………………………8 分

当△ ? 0 , 5k 2 ? m2 ? 1 ? 0 时, xM ? ? 从而点 M (?

5mk m , yM ? 2 , 5k 2 ? 1 5k ? 1
……………………………………………10 分

5mk m , 2 ). 2 5k ? 1 5k ? 1 1 x. 5k

所以直线 OM 的方程 y ? ?
1 ? y ? ? x, ? ? 5k 由? 2 ? x ? y 2 ? 1, ? ?5

得 xP 2 ?

25k 2 . ……………………………………………12 分 5k 2 ? 1

∵OP 是 OM,OQ 的等比中项,∴ OP2 ? OM ? OQ , 从而 xP 2 ? xM xQ ? ? 由 ∴
25mk . 2(5k 2 ? 1)

……………………………………………14 分

25k 2 25mk m ?? ,得 m ? ?2k ,从而 ? ?2 ,满足△ ? 0 . ……………15 分 2 2 5k ? 1 2(5k ? 1) k

m 为常数 ?2 . k

………………………………………………………………16 分

19.解:(1)当 x ? 60 时, t (60) ? 1600 ,代入 t ( x) ? ?a( x ? 5)2 ? 10050 , 解得 a ? 2 . ………………………………………………………………2 分

?(?2 x2 ? 20 x ? 10000)( x ? 34) ? 20000,34 ≤ x ? 60, x ? Ν? , ? ∴ M ( x) ? ? ? ? ?(?100 x ? 7600)( x ? 34) ? 20000,60 ≤ x ≤ 70, x ? Ν . ??2 x3 ? 48x2 ? 10680 x ? 360000,34 ≤ x ? 60, x ? Ν? , ? 即 M ( x) ? ? 2 ? ? ??100 x ? 1100 x ? 278400,60 ≤ x ≤ 70, x ? Ν .

……………4 分

(注:写到上一步,不扣分.) (2)设 g (u) ? (?2u 2 ? 20u ?10000)( u ?34) ?20000 , 34 ≤ u ? 60 , u ? R ,则
g ?(u) ? ?6(u 2 ? 16u ? 1780) .

令 g ?(u ) ? 0 ,解得 u1 ? 8 ? 2 461 (舍去), u2 ? 8 ? 2 461 ? (50,51) .……………7 分

当 34 ? u ? 50 时, g ?(u ) ? 0 , g (u ) 单调递增; 当 51 ? u ? 60 时, g ?(u ) ? 0 , g (u ) 单调递减. … ………………………………10 分

∵ x ? Ν? , M (50) ? 44000 , M (51) ? 44226 ,∴ M ( x ) 的最大值为 44226 .………12 分 当 60 ≤ x ≤ 70 时, M ( x) ? 100(? x2 ? 110x ? 2584) ? 20000 单调递减, 故此时 M ( x ) 的最大值为 M (60) ? 216000 . … ………………………………14 分 ……………………15 分

综上所述,当 x ? 51 时,月利润 M ( x ) 有最大值 44226 元.

答:该打印店店月利润最大为 44226 元,此时产品的销售价格为 51 元/件. ……16 分 20.解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) . (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ? x , f ?( x) ? 列表: x
f ?( x) f ( x) (0,1)

1 ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 . x

………1 分

1
0 极大值

(1, ??)
?

+ ↗



所以 f ( x) 的极大值为 f (1) ? ?1 . (2) f ?( x) ?

…………………………………………3 分

1 a ? x2 ? x ? a . ?1 ? 2 ? x x x2

令 f ?( x) ? 0 ,得 ? x 2 ? x ? a ? 0 ,记 ? ? 1 ? 4 a .

1 (ⅰ)当 a ≤ ? 时, f ?( x) ≤ 0 ,所以 f ( x) 单调减区间为 (0, ??) ; …………5 分 4
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 1 , x2 ? (ⅱ)当 a ? ? 时,由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? , 2 2 4 1 ①若 ? ? a ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0 , 4

由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? x2 , x ? x1 ;由 f ?( x) ? 0 ,得 x2 ? x ? x1 .
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1? 4a , ?? ) , 单 调 增 区 间为 ), ( 所 以 , f ( x) 的 单 调 减 区 间 为 ( 0, 2 2 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ( , ); 2 2

…………………………………………………………7 分

②若 a ? 0 ,由(1)知 f ( x) 单调增区间为 (0,1) ,单调减区间为 (1, ??) ; ③若 a ? 0 ,则 x1 ? 0 ? x2 , 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? x1 ;由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? x1 .

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , ?? ) ,单调增区间为 (0, ) . ……9 分 f ( x) 的单调减区间为 ( 2 2

1 综上所述:当 a ≤ ? 时, f ( x) 的单调减区间为 (0, ??) ; 4
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 1 , ?? ) , ) ,( 当 ? ? a ? 0 时, f ( x) 的单调减区间为 (0, 2 2 4 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , ); 单调增区间为 ( 2 2 1 ? 1 ? 4a , ?? ) , 单 调 增 区 间 为 当 a ≥ 0 时 , f ( x) 单 调 减 区 间 为 ( 2

(0,

1 ? 1 ? 4a ). 2

………………………………………………………10 分

(3) g ( x) ? ln( x ? 1) ( x ? 1 ). 由 g(
1 b ? ln(a ? 1) . ) ? g (a) 得 ln b ?1 b ?1

∵1 ? a ? b ,

∴ b ? 1 ? a ? 1 (舍),或 (a ? 1)(b ? 1) ? 1 . …………………………………12 分

∵ 1 ? (a ? 1)(b ? 1) ? (b ? 1)2 ,∴ b ? 2 . 由 g (b) ? 2 g (

a?b ) 得, 2 a?b 1 ln(b ? 1) ? 2 ln( ? 1) ? 2 ln [( a ? 1) ? (b ? 1)] , ? ? ? (*) 2 2 a ?1 ? b ?1 ≥ (a ? 1)(b ? 1)=1 , 2

因为

1 所以(*)式可化为 ln(b ? 1) ? 2ln [(a ? 1) ? (b ? 1)] , 2 1 1 即 b ?1 ? [ ( ? b ?1 ) ]2 . 2 b ?1
………………………………………………14 分

1 1 令 b ? 1 ? t (t ? 1) ,则 t ? [ (t ? )]2 ,整理,得 t 4 ? 4t 3 ? 2t 2 ? 1 ? 0 , 2 t
从而 (t ? 1)(t 3 ? 3t 2 ? t ? 1) ? 0 ,即 t 3 ? 3t 2 ? t ? 1 ? 0 . 记 h(t ) ? t 3 ? 3t 2 ? t ? 1, t ? 1 . h?(t ) ? 3t 2 ? 6t ? 1 , 令 h?(t ) ? 0 得 t ? 1 ?
t ?1? 2 3 ,列表: 3

2 3 (舍), 3

t
h?(t )

(1,1 ?

2 3 ) 3

(1 ?

2 3 , ?? ) 3

?

+ ↘ ↗

h (t )

所以, h (t ) 在 (1,1 ?

2 3 2 3 ) 单调减,在 (1 ? , ?? ) 单调增,又因为 h(3) ? 0, h (4) ? 0 , 3 3

所以 3 ? t ? 4 ,从而 4 ? b ? 5 .

………………………………………………16 分

常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅱ(附加题) 参考答案
21、【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分. ...... A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:∵ABCD 是等腰梯形,AB∥CD, ∴∠ACD=∠BAC. ∴AD=BC. 从而 AD ? BC .

……………………………………………………4 分 …………………………………8 分

∵AE 为圆的切线,∴∠EAD=∠ACD. ∴∠DAE=∠BAC. B.选修 4—2:矩阵与变换

……………………………………………………10 分

解:设 P( x, y ) 为直线 l 上任意一点,在矩阵 A 对应的变换下变为直线 l ? 上点 P?( x?, y ?) ,则
? x? ? ?0 1 ? ? x ? ? y ? ? ? ?1 2 ? ? y ? , ?? ? ? ? ? ? x ? ?2 x? ? y?, 化简,得 ? ? y ? x?.

……………………………………………4 分 ……………………………8 分 ……………………………10 分

代入 ax ? y ? 0 ,整理,得 ?(2a ? 1) x? ? ay ? ? 0 . 将点(1,1)代入上述方程,解得 a=-1. C.选修 4—4:坐标系与参数方程

解:点 P 的直角坐标为 (3, 3) ,

…………………………………………………4 分 ………………………………………8 分

直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,

从而点 P 到直线 l 的距离为 D.选修 4—5:不等式选讲

3? 3 ? 4 2

?

2? 6 . …………………………10 分 2

证明:左边-右边= ( y ? y 2 ) x2 ? ( y 2 ? 1) x ? y ? 1 ? (1 ? y)[ yx2 ? (1 ? y) x ? 1] ………4 分 = (1 ? y)( xy ? 1)( x ? 1) , ∵ x ≥1 , y ≥ 1 , ∴ 1 ? y ≤ 0, xy ? 1≥ 0, x ? 1≥ 0 . 从而左边-右边≤0, ∴ x2 y ? xy 2 ? 1 ≤ x2 y 2 ? x ? y . ………………………………………………10 分 ………………………………………………8 分 ………………………………………………………6 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.解:连结 OC. ∵平面 PAB⊥平面 ABC,PO⊥ AB,∴PO⊥平面 ABC.从而 PO⊥ AB,PO⊥ OC. ∵ AC=BC ,点 O 是 AB 的中点,∴ OC⊥ AB .且
OA ? OB ? OC ? 2 a . ……………2 分
P D A O B y C z

如图,建立空间直角坐标系 O ? xyz . (1) PA ? 2a , PO ? 2a .

A(0, ? 2a,0) , B(0, 2a,0) , C ( 2a,0,0) , P(0,0, 2a) , D (0,
2a 2a , ). 2 2

…………4 分

x

2 2 a) . 从而 PA ? (0, ? 2a, ? 2a) , CD ? (? 2a, a, 2 2

∵ cos ? PA, CD ??

PA ? CD PA CD

?

?2a2 2a ? 3a

??

3 , 3
3 . ……………………………6 分 3

∴异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦值的大小为

(2)设 PO ? h ,则 P(0,0, h) .∵ PO⊥ OC,OC⊥ AB,∴OC⊥平面 PAB.

从而 OC ? ( 2a,0,0) 是平面 PAB 的一个法向量. 不妨设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

? ?n ? PB ? 0, ∵ PB ? (0,2a, ?h) , BC ? ( 2a, ? 2a,0) , ? ? ?n ? BC ? 0.
不妨令 x=1,则 y=1, z ?
5 OC ? n ? ? 5 OC n
2a 2a ). ,则 n ? (1,1, h h

? 2ay ? hz, ? ∴? ? ? x ? y.
………………………8 分

由已知,得

2 ,化简,得 h2 ? a2 . 3 2a 2a 2 ? 2 h
2

2a

∴ PA ? PO 2 ? OA2 ? 23.解:(1)110;
n

2 2 2 6 a ? 2a 2 ? a. 3 3

…………………………………10 分

………………………………………………………………3 分

(2)集合 M 有 2 个子集,不同的有序集合对(A,B)有 2n (2n ?1) 个.
* 若A ? ? B ,并设 B 中含有 k (1≤ k ≤ n, k ? N ) 个元素,则满足 A ? ? B 的有序

集合对 (A,B) 有

?C
k ?1

n

k n

k k k (2k ? 1) ? ? Cn 2 ? ? Cn ? 3n ? 2n 个 . …………………6 分 k ?0 k ?0

n

n

n n 同理,满足 B ? ? A 的有序集合对(A,B)有 3 ? 2 个.

…………………8 分 (A,B) 的 个 数 为























2n (2n ?1) ? 2(3n ? 2n ) ? 4n ? 2n ? 2 ? 3n ………………………………………………10 分


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