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+高一数学平面向量基本定理及坐标表示1


2.3

平面向量的基本定理 及坐标表示

2.3.1 平面向量基本定理
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

教学目标:
1,理解、掌握平面向量基本定理 2,理解向量的正交分解 3,掌握向量的坐标表示

重点: 平面向量的基本定理
难点: 平面向量的基本定理

新课引入:
如图,光滑斜面上一个木块受到的重力为G,下滑力为F1, 木块对斜面的压力为F2,这三个力的方向分别如何? 三者有何相互关系? 在物理中,力是一个向量, 力的合成就是向量的加法运 算.力也可以分解,任何一 个大小不为零的力,都可以 分解成两个不同方向的分力 之和.将这种力的分解拓展 到向量中来,就会形成一个 新的数学理论.

F1

G

F2

探究(一):平面向量基本定理

思考1:给定平面内任意两个向量e1,e2, 如何求作向量3e1+2e2和e1-2e2?
e1-2e2
e2 e1 2e2 B C

O

e1 D

3e1 A

3e1+2e2

思考2:如图,设OA,OB,OC为三条共 点射线,P为OC上一点,能否在OA、OB 上分别找一点M、N,使四边形OMPN为平 行四边形?
B
N O P C

M

A

???? ???? ???? 思考3:在下列两图中,向量 O A , O B , O C

不共线,能否在直线OA、OB上分别找一 ??? ? ??? ? ??? ? 点M、N,使 O M ? O N ? O C ?
B N O C N B

C

A

M

A

O

M

探究:
?? ? e2 N

B C
?? ? e2

B N
? a

C

? a
? ? e1 O
1

O

? ? e1

A M M A ??? ? ? ???? ?? ???? ? ? ? OB 在上图中,设 OA = e , = e , OC = a ???? ???? ? ? ? ? ? ?? ON a e 则 OM 、 、与 e 、 2 的关系如何?
? ? ? ? O C

? ? ? ? ? O M

,

? ? ? ? O N

? ? O

2

1

???? ? ???? O M ? ?1 e1 , O N ? ? 2 e 2 . a ? ? 1 e1 ? ? 2 e 2 .

B
N O

B C N
C

uuur OM = uuu r ON =

A

M

A

O

M

???? ? ???? O M ? ?1 e 1 , O N ? ? 2 e 2 , a ? ?1e 1 ? ? 2 e 2

思考:若上述向量e1,e2,a都为定向量, 且e1,e2不共线,则实数λ1,λ2是否存在? 是否唯一?

思考:若向量a与e1或e2共线,a还能用 λ1e1+λ2e2表示吗? e1

a
e2 a

a=λ1e1+0e2

a=0e1+λ2e2

探究:根据上述分析,平面内任一向量 a都可以由这个平面内两个不共线的向 量e1,e2表示出来,从而可形成一个定 理.你能完整地描述这个定理的内容吗?

自主学习:p94 理解、
掌握平面向量基本定理

平面向量基本定理:
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量a,有且只 有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.

不共线向量e1,e2叫做表示这一平面 内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多 少组?不同基底对应向量a的表示式是否 相同?

理论迁移

(P94例1)

例1 如图,已知向量e1、e2,求作向 量-2.5e1+3e2.
C e1 e2 3e2 A -2.5e 1 O B

???? ???? 例2, 如图,在平行四边形ABCD中, AB =a, =b,E、M分别是AD、DC的中 AD 点,点F在BC上,且BC=3BF,以a,b为 ??? ???? ? 基底分别表示向量 AM 和 EF .
??? 2 ??? ? ? AB ? AC 3

???? 1 ? AM ? a ? b 2

B
? a

F

C M
? b

??? ? 1 EF ? a ? b 6

A

E

D

练习:
1、判断以下说法对错:
(1)一个平面内只有一对不共线向量可作为表 示该平面所有向量的基底 。( 错 ) (2)一个平面内有无数多对不共线向量可作为 表示该平面所有向量的基底。( 对 )

(3)零向量不可作为基底中的向量。(





2、选择题: 设O 是? A B C D 两对角线的交点, ??? ??? ? ? ??? ? 下列向量组: ? 1? AB与 AD ? 2 ? DA ??? ? ??? ???? ? ??? ??? ? ? 与 BC ? 3 ? CA与 DC ? 4 ? OD与OB , 其中可作为这个平行四边形所在
B 平面表示它的所有向量的基底()

A 、1? ? 2 ? ? C、1? ? 4 ? ?

B、1? ? 3 ? ? D、3 ? ? 4 ? ?
A D
O C

B

课堂练习
()已知AM是?ABC的BC边上的中线, 1 若 AB ? a , AC ? b, 则 AM ?
? 1 ? ( ? b a ) 2

.

A

B

M

C

( )如图.在梯形ABCD中, AB ? 3 DC , 2 若 AB ? a , BC ? b, 则 AD ?
? 2 ? a?b 3

.

D

C
B

A

课堂小结
1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 (1)基底不唯一,关键是不共线 (2)实数对 ?1、?2 的存在性和唯一性 3、平面向量基本定理的应用

探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示

思考1:不共线的向量有不同的方向,对 ???? ???? 于两个非零向量a和b,作 OA ?a,OB ? b, 如图.为了反映这两个向量的位置关系, 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜?
B a b b

[0°,180°]
a

O

A

思考2:如果向量a与b的夹角是90°,则 称向量a与b垂直,记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底?
b a

向量正交分解:把一个向量分解为两个 互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 如图,向量i、j是两个互相垂直的单位向 量,向量a与i的夹角是30°,且|a|=4, 以向量i、j为基底,向量a如何表示?
B a P A

a ? 2 3i ? 2 j

j
O i

向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分 别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、 j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平 面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y, 使得 a=xi+yj.我们把有序数对(x,y) 叫做向量a的坐标,记作a=(x,y). 其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴 y 上的坐标,上式叫做向量 a y 的坐标表示. j
O

x

i

x

探究:相等向量的坐标必然相等,作向 ???? ????

量 OA ? a,则 OA ? (x,y),此时点A是坐 标是什么?
y A j
O

a

A(x,y)
i x

例3 如图,分别用基底i、j表示向量a, b,c,d,并求出它们的坐标.
5 y

b=(-2,3)

b 2
O

a
2

a=(2,3)
4

-4 -2

c=(-2,-3)

c -2
-5

x

d

d=(2,-3)

小结作业 1.平面向量基本定理是建立在向量加法 和数乘运算基础上的向量分解原理,同时又 是向量坐标表示的理论依据,是一个承前起 后的重要知识点. 2.向量的夹角是反映两个向量相对位置 关系的一个几何量,平行向量的夹角是0° 或180°,垂直向量的夹角是90°. 3.向量的坐标表示是一种向量与坐 标的对应关系,它使得向量具有代数意 义.将向量的起点平移到坐标原点,则平 移后向量的终点坐标就是向量的坐标.

作业: P102习题2.3B组:3,4.

( )如图,已知 3

ABCD, 且 AB ? a , AD ? b ,

1 1 DM ? DO , ON ? OC , 试用a , b表示MN . 3 3
???? 1 ? 1 ? ? MN ? a ? b 2 6

D
M
O

C
N

A

B

( )设OA ? e1 , OB ? e2 ( e1 , e2 不共线 ), 5 2 AP ? 3 AB , 则OP ?
A
3 ?? 1 ?? e2 ? e1 2 2 .

B O P


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