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2014高考数学第一轮复习


第3讲
【高考会这样考】

导数的应用(二)

1.利用导数求函数的极值.2.利用导数求函数闭区间上的最值.3.利用导数解决某些实际问题. 基础梳理 1.函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时, ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)

是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x);②求方程 f′(x)=0 的根; ③检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根左右值的符号. 如果左正右负, 那么 f(x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正, 那么 f(x)在这个根处取得极小值, 如果左右两侧符号一样, 那么这个根不是极值点. 2.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数 f(x)在[a, b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. (3)设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下: ①求 f(x)在(a,b)内的极值; ②将 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 3.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数 关系式 y=f(x); (2)求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和 f′(x)=0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; (4)回归实际问题作答. 两个注意 (1)注意实际问题中函数定义域的确定. (2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最大值还是最 小值即可,不必再与端点的函数值比较. 三个防范
1

(1)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论;另外注意 函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念. (2)f′(x0)=0 是 y=f(x)在 x=x0 取极值的既不充分也不必要条件. 如①y=|x|在 x=0 处取得极小值,但在 x=0 处不可导; ②f(x)=x3,f′(0)=0,但 x=0 不是 f(x)=x3 的极值点. (3)若 y=f(x)可导,则 f′(x0)=0 是 f(x)在 x=x0 处取极值的必要条件. 双基自测 1.(2011· 福建)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等 于( ). D.9

A.2 B.3 C.6 解析

f′(x)=12x2-2ax-2b, 由函数 f(x)在 x=1 处有极值, 可知函数 f(x)在 x=1 处的导数值为零,

?a+b?2 ?6?2 ? =? ? =9,当且仅 12-2a-2b=0,所以 a+b=6,由题意知 a,b 都是正实数,所以 ab≤? ? 2 ? ?2? 当 a=b=3 时取到等号.答案 D ).

1 4 2.已知函数 f(x)=4x4-3x3+2x2,则 f(x)( A.有极大值,无极小值 C.有极小值,无极大值 解析

B.有极大值,有极小值 D.无极小值,无极大值

f′(x)=x3-4x2+4x=x(x-2)2,f′(x),f(x)随 x 变化情况如下 x f′(x) f(x) (-∞,0) - 0 0 0 C (0,2) + 2 0 4 3 (2,+∞) +

因此有极小值无极大值.答案

3.(2010· 山东)已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y= 1 -3x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( A.13 万件 B.11 万件 解析 C.9 万件 D.7 万件 ).

y′=-x2+81,令 y′=0 解得 x=9(-9 舍去).当 0<x<9 时,y′>0;当 x>9 时,y′<

0,则当 x=9 时,y 取得最大值,故选 C 4.(2011· 广东)函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________处取得极小值. 解析 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)当 x<0 时, f′(x)>0, 当 0<x<2 时, f′(x)<0, 当 x>2 时, f′(x)
2

>0,故当 x=2 时取得极小值.答案 5.若函数 f(x)= 解析

2

x2+a 在 x=1 处取极值,则 a=________. x+1 2x?x+1?-?x2+a? , ?x+1?2 3

∵f(x)在 x=1 处取极值,∴f′(1)=0,又 f′(x)=

∴f′(1)=

2×1×?1+1?-?1+a? =0,即 2×1×(1+1)-(1+a)=0,故 a=3.答案 ?1+1?2 考向一 函数的极值与导数

【例 1】?(2011· 重庆)设 f(x)=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f′(x),若函数 y=f′(x)的图象关于直线 x 1 =- 对称,且 f′(1)=0. 2 (1)求实数 a,b 的值;(2)求函数 f(x)的极值. 1 [审题视点] 由条件 x=-2为 y=f′(x)图象的对称轴及 f′(1)=0 求得 a, b 的值,再由 f′(x)的符号 求其极值. 解 (1)因 f(x)=2x3+ax2+bx+1,故 f′(x)=6x2+2ax+b.

a2 a ? a? 从而 f′(x)=6?x+6?2+b- 6 ,即 y=f′(x)的图象关于直线 x=-6对称, ? ? a 1 从而由题设条件知- =- ,解得 a=3. 6 2 又由于 f′(1)=0,即 6+2a+b=0,解得 b=-12. (2)由(1)知 f(x)=2x3+3x2-12x+1, f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2). 令 f′(x)=0,即 6(x-1)(x+2)=0,解得 x1=-2,x2=1. 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,故 f(x)在(-∞,-2)上为增函数; 当 x∈(-2,1)时,f′(x)<0,故 f(x)在(-2,1)上为减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(1,+∞)上为增函数. 从而函数 f(x)在 x1=-2 处取得极大值 f(-2)=21, 在 x2=1 处取得极小值 f(1)=-6. 【训练 1】 (2011· 安徽)设 f(x)= ex ,其中 a 为正实数. 1+ax2

4 (1)当 a=3时,求 f(x)的极值点;(2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 解 对 f(x)求导得
2 x1+ax -2ax f′(x)=e 2 2 .①

?1+ax ?

3

4 3 1 (1)当 a=3时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0,解得 x1=2,x2=2. 综合①,可知 x f′(x) f(x) 1? ? ?-∞,2? ? ? + 1 2 0 极大值 ?1 3? ?2,2? ? ? - 3 2 0 极小值 ?3 ? ?2,+∞? ? ? +

3 1 所以,x1=2是极小值点,x2=2是极大值点. (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号,结合①与条件 a>0,知 ax2-2ax+1≥0 在 R 上恒成立.因此 Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0, 由此并结合 a>0,知 0<a≤1. 考向二 函数的最值与导数

【例 2】?已知 a 为实数,且函数 f(x)=(x2-4)(x-a). (1)求导函数 f′(x);(2)若 f′(-1)=0,求函数 f(x)在[-2,2]上的最大值、最小值. [审题视点] 先化简再求导,求极值、端点值,进行比较得最值. 解 (1)f(x)=x3-ax2-4x+4a,得 f′(x)=3x2-2ax-4.

1 1 (2)因为 f′(-1)=0,所以 a=2,有 f(x)=x3-2x2-4x+2,所以 f′(x)=3x2-x-4. 4 令 f′(x)=0,所以 x=3或 x=-1. 50 9 ?4? 又 f?3?=-27,f(-1)=2,f(-2)=0,f(2)=0, ? ? 9 50 所以 f(x)在[-2,2]上的最大值、最小值分别为2、-27. 一般地,在闭区间[a,b]上的连续函数 f(x)必有最大值与最小值,在开区间(a,b)内的连 续函数不一定有最大值与最小值,若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上单调递增,则 f(a)是最小值,f(b) 是最大值;反之,则 f(a)是最大值,f(b)是最小值. 【训练 2】 函数 f(x)=x3+ax2+b 的图象 在点 P(1,0)处的切线与直线 3x+y=0 平行 (1)求 a,b;(2)求函数 f(x)在[0,t](t>0)内的最大值和最小值. 解 (1)f′(x)=3x2+2ax

4

?f?1?=0, ?a+b+1=0, ?a=-3, 由已知条件? 即? 解得? ?f′?1?=-3, ?2a+3=-3, ?b=2. (2)由(1)知 f(x)=x3-3x2+2,f′(x)=3x2-6x=3x(x-2), f′(x)与 f(x)随 x 变化情况如下: x f′(x) (-∞,0) + 0 0 2 (0,2) - 2 0 -2 (2,+∞) +

f(x)

由 f(x)=f(0)解得 x=0,或 x=3 因此根据 f(x)的图象 当 0<t≤2 时,f(x)的最大值为 f(0)=2 最小值为 f(t)=t3-3t2+2; 当 2<t≤3 时,f(x)的最大值为 f(0)=2,最小值为 f(2)=-2; 当 t>3 时,f(x)的最大值为 f(t)=t3-3t2+2,最小值为 f(2)=-2. 考向三 用导数解决生活中的优化问题

【例 3】?(2011· 江苏)请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切 去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图 中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E、F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角三角形 斜边的两个端点.设 AE=FB=x(cm).

(1)若广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的 比值. [审题视点] 由实际问题抽象出函数模型,利用导数求函数最优解,注意变量的实际意义. 解 设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm).由已知得 a= 2x,h= 60-2x = 2(30-x),0<x 2

<30. (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800, 所以当 x=15 时,S 取得最大值. (2)V=a2h=2 2(-x3+30x2),V′=6 2x(20-x).
5

由 V′=0 得 x=0(舍去)或 x=20. 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0. h 1 1 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值.此时a=2.即包装盒的高与底面边长的比值为2. 【训练 3】 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中,每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米 1 3 /小时)的函数解析式可以表示为: y=128 000x3-80x+8(0<x≤120). 已知甲、 乙两地相距 100 千米. (1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 解 (1)设汽车以 x 千米/小时的速度行驶时,其耗油量为

3 100? 1 x2 800 15 ? f(x)= x ?128 000x3-80x+8? =1 280+ x - 4 (0<x≤120), ? ? f(40)=17.5(升),因此从甲地到乙地要耗油 17.5 升.
3 2 x 800 x -512 000 ?x-80??x +80x+6 400? (2)f′(x)=640- x2 = 640x2 = 640x2

又 0<x≤120,令 f′(x)=0 解得 x=80, 当 0<x<80 时,f′(x)<0;当 80<x≤120 时,f′(x)>0. 则当 x=80 时,f(x)取到最小值 f(80)=11.25(升) 因此当汽车以 80 千米/小时行驶时耗油最省,最小耗油量为 11.25 升.

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