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高中文科数学公式及知识点速记(最新整理)


高中数学公式及知识点速记 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设 x1、x2 ?[a, b], x1 ? x2 那么
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数;

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数.

(2)设函数 y

? f ( x) 在某个区间内可导,若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函 数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,则 f ( x) 是偶函数; 对于定义域内任意的 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 3、函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切线方程 是 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) . 4、几种常见函数的导数 ① C ' ? 0 ;② ( x n ) ' ? nxn?1 ; ③ (sin x) ' ? cos x ;④ (cos x)' ? ? sin x ; ⑦ (log a x) ' ?
1 1 ;⑧ (ln x) ' ? x ln a x

⑤ (a x ) ' ? a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ; 5、导数的运算法则 (1) (u ? v) ? u ? v .
' ' '

(2) (uv) ? u v ? uv .
' ' '

u ' u 'v ? uv ' (v ? 0) . (3) ( ) ? v v2

6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时: (1) 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.

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二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式
sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? =
sin? . cos?

9、正弦、余弦的诱导公式
k? ? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的同名函数,前面加上把 ? 看成锐角时该函数的符号;
k? ?

?
2

? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的余名函数,前面加上把 ? 看成锐角时该函数的符号。

10、和角与差角公式
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

11、二倍角公式
sin 2? ? 2 sin? cos?
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?
2 cos2 ? ? 1 ? cos 2? , cos2 ? ?

1 ? cos 2? ; 2 公式变形: 1 ? cos 2? 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? ; 2

12、三角函数的周期 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期
T? 2?

?

;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

? . ?

13、 函数 y ? sin(? x ? ? ) 的周期、最值、单调区间、图象变换 14、辅助角公式
y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) 其中 tan? ?

b a

15、正弦定理
a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C

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16、余弦定理
a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .

17、三角形面积公式
1 1 1 S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2

18、三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) 19、 a 与 b 的数量积(或内积)
a ? b ?| a | ? | b | cos?

20、平面向量的坐标运算
??? ? ??? ? ??? ? (1)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) .

(2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 ? y1 y 2 . (3)设 a = ( x, y ) ,则 a ? x 2 ? y 2 21、两向量的夹角公式 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则

cos? ?

a ?b ab

?

x1 x2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x2 ? y 2
2 2 2 2

22、向量的平行与垂直
a // b ? b ? ? a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

a ? b(a ? 0) ? a ? b ? 0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

三、数列 23、数列的通项公式与前 n 项的和的关系
n ?1 ? s1 , an ? ? ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). s ? s , n ? 2 n n ? 1 ?

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24、等差数列的通项公式
an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;

25、等差数列其前 n 项和公式为
sn ? n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2

26、等比数列的通项公式
an ? a1q n ?1 ? a1 n ? q (n ? N * ) ; q

27、等比数列前 n 项的和公式为

sn

? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? ? ? 1? q ? na , q ? 1 ? 1

或 .

sn

? a1 ? an q ,q ?1 ? ? ? 1? q ? na , q ? 1 ? 1
x? y ? xy ,当 x ? y 时等号成立。 2

四、不等式 28、已知 x, y 都是正数,则有

(1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ;
1 (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 s 2 . 4

五、解析几何 29、直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式 (4)截距式
y ? y1 x ? x1 ? ( y1 ? y2 )( P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ? 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) a b
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(5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).

30、两条直线的平行和垂直 若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . 31、平面两点间的距离公式
d A , B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

32、点到直线的距离
d? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

33、 圆的三种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F >0).
? x ? a ? r cos ? (3)圆的参数方程 ? . ? y ? b ? r sin ?

34、直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:
d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . 弦长= 2 r 2 ? d 2

其中 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

.

35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 椭圆:
? x ? a cos ? x2 y 2 c ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a 2 ? c 2 ? b 2 ,离心率 e ? ? 1 ,参数方程是 ? . 2 a b a ? y ? b sin ?

双曲线:

x2 y2 c b ? 2 ? 1 (a>0,b>0), c 2 ? a 2 ? b 2 ,离心率 e ? ? 1 ,渐近线方程是 y ? ? x . 2 a a b a

p p 抛物线: y 2 ? 2 px ,焦点 ( ,0) ,准线 x ? ? 。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离. 2 2
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36、双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为
x2 y2 x2 y 2 b 渐近线方程: ? ? 1 ? 2 ?0? y ?? x. ? 2 2 2 a b a b a
2 2

x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a b a

(3)若双曲线与 点在 y 轴上).

x2 y2 x2 y2 有公共渐近线,可设为 ? ? 1 ? ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦 a2 b2 a2 b2

37、抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式
p .(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。 ) 2 p p 38、过抛物线焦点的弦长 AB ? x1 ? ? x2 ? ? x1 ? x2 ? p . 2 2

抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 | PF |? x0 ?

39、六、立体几何 39、证明直线与直线平行的方法 (1)三角形中位线 (2)平行四边形(一组对边平行且相等)

40、证明直线与平面平行的方法 (1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行) (2)先证面面平行 41、证明平面与平面平行的方法 平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交 直线分别与另一平面平行) .... 42、证明直线与直线垂直的方法 转化为证明直线与平面垂直 43、证明直线与平面垂直的方法 (1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交 直线垂直) .... (2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直,一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面) 44、证明平面与平面垂直的方法 平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面垂直) 45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积= 2?rl ,表面积= 2?rl ? 2?r 2 圆椎侧面积= ?rl ,表面积= ?rl ? ?r 2
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1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3 4 球的半径是 R ,则其体积 V ? ? R 3 ,其表面积 S ? 4? R2 . 3

46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算 47、点到平面距离的计算(定义法、等体积法) 48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。 正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。 七、概率统计 49、平均数、方差、标准差的计算 标准差: s ? 50、回归直线方程
n ? ? xi ? x ? ? yi ? y ? ? i ?1 ? b ? n ? y ? a ? bx ,其中 ? 2 ? xi ? x ? ? ? i ?1 ? ? a ? y ? bx

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ? ( x n ? x ) 2 ] n

?

?

?x
i ?1 n i ?1

n

i

yi ? n x y
2 i

?x

? nx 2

.

51、独立性检验 K 2 ?

n(ac ? bd ) 2 (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )

52、古典概型的计算(必须要用列举法 、列表法 、树状图 的方法把所有基本事件表示出来,不重复、 ... ... ... 不遗漏) 八、复数 53、复数的除法运算
a ? bi (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ? ? . c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2

54、复数 z ? a ? bi 的模 | z | = | a ? bi | = a 2 ? b 2 . 九、参数方程、极坐标化成直角坐标

? ? cos? ? x ? 55、 ? sin ? ? y ?

?? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? y ?tan? ? ( x ? 0) x ?
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