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浙江省嘉兴市2014届高三3月教学测试数学文科试题(word含答案)


嘉兴市 2014 届高三 3 月教学测试文科试题
2014.04.08 排版:宁海正学中学——王峰 班级 一、选择题 姓名 学号

1.已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 0}, B ? {x | x ? a} ,若 A ? B ,则 a 的取值范围是( A. (??, 0] B. [0, ??) C. (??, 0) ) C. ?1 )

D. D. (0, ??)

)

2.已知 i 是实数单位,则实数 A. ?i

2?i ? ( 1 ? 2i 4 3 B. + i 5 5

4 ?i 5

3.已知直线 m, l 和平面 ? ,下列命题正确的是 ( A.若 l∥?, m ? ? ,则 l∥m C.若 l?m, m ? ? ,则 l??

B.若 l∥m, m ? ? ,则 l∥? D.若 l??, m ? ? ,则 l?m )

? ? ? ? ? ? ? 4.若 a, b 是非零向量,则是“ a ? b ? 0 ”是“ a ∥ b ”的 (
A.充分不必要条件 C.充要条件 5.一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是 ( ) B.
2 3

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要要条件

1 3 4 C. 3
A.

D. 2 )

6.已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 为偶函数, x ? R ,则一定成立的是 ( A.函数 f [ g ( x)] 是奇函数 C.函数 f [ f ( x)] 是奇函数
x

B.函数 g[ f ( x)] 是奇函数 D.函数 g[ g ( x)] 是奇函数 )

7.已知函数 f ( x) ? 4 ? cos x ,则 f ( x) 在 [0, 2? ] 上的零点个数是 ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8.已知函数 f ( x) 的导函数图像如图所示,若 ?ABC 为锐角三角形,则下列不等式一定 成立的是 ( )

A. f (sin A) ? f (sin B) B. f (sin A) ? f (cos B) C. f (cos A) ? f (cos B)

D. f (sin A) ? f (cos B) 9.已知双曲线
x2 y 2 ? ? 1(a,b ? 0) 的离心率为 2 , A, B 左右顶点, P 为双曲线在第一象限 a 2 b2

k3 ? m , 的任意一点,O 为坐标原点,PA, PB, PO 焦点分别为的斜率为 k1 , k2 , k3 , 若 kk 1 2
则 m 的取值范围是 ( A. (0,3 3) ) B. (0, 3) C. (0,

3 ) 9

D. (0,8) )

10.若 f ( x)=(x ? a)(|x ? a|+|x ? 4|) 的图像是中心对称图形,则 a ? ( A. 4 B. ?

4 3

C. 2

D. ?

2 3

二、填空题 11.已知函数 f ( x) ? log 2

1 , f (a) ? 3 ,则 a ? _________. x ?1

12.如图是一个样本频率分布直方图,由图形中的数据 可以估计众数是_________,中位数是_________. 13.已知 ? 为钝角,且 sin(

?
4

??) ?

3 ? ,则 sin( ? ? ) ? _________. 4 4

14.由数字 0,1, 2,3 组成一个没有重复数字,且不被 10 整除的四位数, 则两个偶数不相邻的概率是_________. 15.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出 的值等于_________. 16.已知 e1 , e2 是互相垂直的单位向量,若向量 ? e1 + e2 与 e1 +? e2 的夹角为 60? ,则实数 ? = _________. 17.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若 ?1 ? a3 ? 1, 0 ? a4 ? 3 ,则 S 4 的取值范围是_________. 三、解答题 18.已知函数 f ( x ) ? 2 sin(x ? (1) 求 f ( x ) 的值域; (2) 设△ ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 已知 A 为锐角, f ( A) ?
3 ,b ? 2 , 2

?? ?? ? ?? ?

?? ?? ?

??

?
3

) cos x .

c ? 3 ,求 cos(A ? B) 的值.

19. 设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,4 S n ? a n ? 2a n ? 3 , 且 a1 , a2 , a3 成等比数列, 当n ? 3
2

时, an ? 0 . (1) 求证:当 n ? 3 时, {a n } 成等差数列; (2) 求 {a n } 的前 n 项和 S n .

20.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, AD ? 2 AB , ?ABC ? 60? ,

PA ? 面 ABCD ,且 PA ? AD ,若 E 为 PC 中点,点 F 在线段 PD 上且 PF ? 2FD .
(1) 求证: BE // 平面 ACF ; (2) 求 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值.
P

E
A B
C (第 20 题)

F
D

21.设函数 f ( x ) ?

1 3 1 2 ax ? bx ? (1 ? 2a ) x , a, b ? R , a ? 0 . 3 2

(1) 若 b ? 4a ,求 f ( x) 的单调递增区间; (2) 若曲线 y ? f ( x ) 与 x 轴相切于异于原点的一点, 且函数 f ( x ) 的极小值为 ? 的值.
4 求 a, b a, 3

22.如图,两条相交线段 AB 、 PQ 的四个端点都在椭圆 y ? x 上,其中,直线 AB 的方程
2

为 x ? m ,直线 PQ 的方程为 y ?

1 x ? n. 2

(1) 若 n ? 0 , ?BAP ? ?BAQ ,求 m 的值; (2) 探究:是否存在常数 m ,当 n 变化时,恒有 ?BAP ? ?BAQ ?
y
Q

B P
O

x
A

(第 22 题)

嘉兴市 2014 届高三 3 月教学测试文科试题 文科数学 参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1.B; 6.C; 第 9 题提示:
e?
y2 x2 c ? 2 , b ? 3a ,设 P( x, y) ,则 2 ? 2 ? 1 , a a b y y y2 b2 ? ? 2 ? ? 3 ,又双曲线渐近线为 y ? ? 3 x , x ? a x ? a x ? a2 a2

2.A; 7.C;

3.D; 8.D;

4.A; 9.A;

5.B; 10.B.

k1 k 2 ?

所以 0 ? k 3 ? 3 ,故 0 ? m ? 3 3 ,选 A. 第 10 题提示:
f (x ? a?4 3a ? 4 4?a a?4 ) ? (x ? )( x ? ? x? ), 2 2 2 2 4?a a?4 3a ? 4 4 为偶函数,所以当且仅当 ? x? ? 0 ,即 a ? ? 时, 2 2 3 2

因为 g( x ) ? x ?
f (x ?

a?4 ) 为奇函数,图像关于原点对称.选 B. 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11. ?
7 ; 8

12.12.5;13; 16. 2 ? 3 ;

13. ?

7 ; 4

14.

1 ; 3

15.49; 第 17 题提示:

17. (?3, 21) .

? ? 1 ? a1 ? 2d ? 1 解 1: S9 ? 9a1 ? 36d ,又 ? ,依据线性规划知识,得 ? 3 ? S9 ? 21 . ?0 ? a1 ? 5d ? 3

解 2 : S9 ? 9a1 ? 36d ? x(a1 ? 2d ) ? y(a1 ? 5d ) ,由待定 系数法得 x ? 3, y ? 6 .因为
? 3 ? 3a 3 ? 3 , 0 ? 6a 6 ? 18 ,两式相加即得 ? 3 ? S9 ? 21 .

解 3: a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? 5a 3 , a 6 ? a 7 ? a 8 ? a 9 ? 2a 6 ? 2a 9 ,而 a 3 ? a 9 ? 2a 6 ,

所以 S 9 ? 3a 3 ? 6a 6 ,又 ?1 ? a3 ? 1 , 0 ? a6 ? 3 ,依据线性规划知识, ? 3 ? S 9 ? 21 .

三、解答题(本大题共 5 小题, 共 72 分) 18.解: (1) f ( x ) ? (sin x ? 3 cos x ) cos x ? sin x cos x ? 3 cos 2 x
? 1 3 3 ? 3 . sin2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 3 2 3?2 3?2 , ]. 2 2

….4 分 …7 分

所以函数 f ( x ) 的值域是 [ (2) 由 f ( A) ? sin(2 A ?

?
3

)?

3 3 ? ,得 sin(2 A ? ) ? 0 , ? 2 2 3

又 A 为锐角, 所以 A ?

?
3

,又 b ? 2 , c ? 3 ,

所以 a 2 ? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ? cos 由
a b ,得 sin B ? ? sin A sin B

?
3
3 7

? 7,a ? 7 .

….10 分
2 7

,又 b ? a ,从而 B ? A , cos B ?



所以, cos(A ? B ) ? cos A cos B ? sin A sin B ? 19.解:

1 2 3 3 5 7 ? ? ? ? 2 7 2 14 7

…1 4 分

(1) 由 4 S n ? a n ? 2a n ? 3 , 4 S n?1 ? a n?1 ? 2a n?1 ? 3 ,
2 2 得 4a n?1 ? a n ? 1 ? a n ? 2a n ? 1 ? 2a n , (a n?1 ? a n )(a n?1 ? a n ? 2) ? 0 .

2

2

………4 分

因为 n ? 3 , a n ? 0 ,所以 a n?1 ? a n ? 2 . 所以,当 n ? 3 时, {a n } 成等差 数列. (2) 由 4a1 ? a1 ? 2a1 ? 3 ,得 a1 ? 3 或 a1 ? ?1 . 又 a1 , a 2 , a 3 成等比数列,所以 a n?1 ? a n ? 0 ( n ? 1,2 ) ,q ? ?1, 而 a 3 ? 0 ,所以 a1 ? 0 ,从而 a1 ? 3 .
? 3( ?1) n ?1 所以 a n ? ? ? 2n ? 3 ( n ? 1,2) ( n ? 3)
2

……7 分



……11 分

?3 ? [1 ? ( ?1) n ] ( n ? 1,2) 所以 S n ? ? 2 . 2 ? ( n ? 3) ? n ? 2n 20.解:

………. 14 分

(1) 证明:连接 BD 交 AC 于点 O, 取 PF 中点 G ,连接 OF 、 BG 、 EG . 因为 O 、 F 分别是 DB 、 DG 的中点, 所以 OF // BG , 因为 E 、 G 分别是 PC 、 PF 的中点, 所以 EG // CF , 所以,平面 BEG // 平面 ACF . 又因为 BE ? 平面 BEG , 故, BE // 平面 ACF . ……9 分
B P
G

……3 分

……6 分

E
A
O
(第 20 题)

F H
D

C

(2) 因为 BC ? 2 AB , ?ABC ? 60? ,所以 ?BAC ? 90? . 过 C 作 AD 的垂线,垂足为 H,则 CH ? AD , CH ? PA ,所以 CH ? 平面 PAD. 故 ?CPH 为 PC 与平面 PAD 所成的角. ……………………12 分
[来

设 AB ? 1 ,则 BC ? 2 , AC ? 3 , PC ? 7 , CH ? 所以 sin?CPH ? 21.解:
CH 21 ,即为所求. ? PC 14

3 2

……………………15 分

1 (1) f ( x ) ? ax 3 ? 2ax 2 ? (1 ? 2a ) x , f ?( x ) ? ax 2 ? 4ax ? (1 ? 2a ) . 3

令 f ?( x ) ? ax 2 ? 4ax ? (1 ? 2a ) ? 0 , a ? 0 , ? ? 4a(6a ? 1)
6a 2 ? a 1 时,由 f ?( x ) ? ax 2 ? 4ax ? (1 ? 2a ) ? 0 得 x ? ?2 ? . a 6 6a 2 ? a 6a 2 ? a , ?2 ? ) ;………3 分 a a

当 a ? 0或a ?

①当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 ( ?2 ? ②当 0 ? a ?

1 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ??) ;……………………………5 分 6

③当 a ?

6a 2 ? a 6a 2 ? a 1 时, f ( x ) 的单调递增区间为 ( ??, ?2 ? ),( ?2 ? , ?? ) .…7 分 a a 6

(2) f ( x ) ?

a 3b 3( 1 ? 2a ) x[ x 2 ? x? ], 3 2a a
9b2 3(1 ? 2a ) a 3b ? ?0 x ( x ? ) 2 ,且 2 a 16a 3 4a

依据题意得: f ( x ) ?



……9 分

f ?( x ) ? a( x ?

3b b 3b b 或x?? )( x ? ) ? 0 ,得 x ? ? 4a 4a 4a 4a

.……11 分

因为 f ( ?

3b b 4 ) ? 0 ,所以极小值为 f ( ? ) ? ? a ? 0 , 4a 4a 3

b ? 3b ? ?? ? ? 4a 4a ∴ a ? 0且 ? ,得 b ? 4a ,…13 分 ? a ( ? b )( b )2 ? ? 4 a ? 3 ? 3 4a 2a

代入①式得 a ? 22.

1 4 ,b ? . 5 5

…………15 分

? y2 ? x ? 解: (1) 由 ? 1 , y? x ? 2 ?

y
Q

B
[来源:Zxxk.Com]

解得 P (0,0) , Q(4,2) .……2 分

P
O

因为 ?BAP ? ?BAQ ,所以 k AP ? k AQ ? 0 . 设 A( m, y 0 ) ,则
y0 y ?2 ? 0 ?0, m m?4

x
A

化简得 my 0 ? 2 y 0 ? m ,……5 分
2 ? m ,联立方程组,解得 m ? 1 ,或 m ? 4 . 又 y0

(第 22 题)

(也可以从 k AP ?

1 1 1 1 , k AQ ? 来解得) ? ? y1 ? y 0 y 0 y 2 ? y0 2 ? y0

因为 AB 平分 ?PAQ ,所以 m ? 4 不合,故 m ? 1 .……7 分
? y2 ? x ? (2) 设 P ( x1 , y1 ) , Q( x 2 , y 2 ) ,由 ? ,得 y 2 ? 2 y ? 2n ? 0 . 1 y ? x ? n ? 2 ?
? ? 4(1 ? 2n) , y1 ? y 2 ? 2 , y1 y 2 ? 2n .……9 分
[来源:学 .科.网 ]

若存在常数 m ,当 n 变化时,恒有 ?BAP ? ?BAQ ,则由(Ⅰ)知只可能 m ? 1 . 当 m ? 1 时, A(1,?1) , ?BAP ? ?BAQ 等价于
y1 ? 1 y 2 ? 1 ? ?0, x1 ? 1 x 2 ? 1

即 ( y1 ? 1)(2 y 2 ? 2n ? 1) ? ( y 2 ? 1)(2 y1 ? 2n ? 1) ? 0 , 即 4 y1 y 2 ? (2n ? 1)( y1 ? y 2 ) ? 2(2n ? 1) , 即 8n ? 2(2n ? 1) ? 2(2n ? 1) ,此式恒成立.
y1 ? y2 ? 2 1 1 ? ? ? 0 恒成立来说明) y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( y2 ? 1) 所以,存在常数 m ? 1 ,当 n 变化时,恒有 ?BAP ? ?BAQ .……14 分

(也可以从 k AP ? k AQ ?

[来源


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