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2.导学案(教师)必修二第二章 2.1.2空间中直线与直线的位置关系


编号 —————————————————————————————————————————————————————————————————

高一数学必修二导学案

编制人: 陈善明

审核人:

宋世才

组长签字:

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

/>§2.1.2 【使用说明及学法指导】 空间中直线与直线之间的位置关系
1.先精读一遍教材 P44-P47,用红笔进行勾画,再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答提出的 问题,时间不超过 15 分钟; 2.限时完成导学案合作探究部分,书写规范; 3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂上讨论质疑; 4.重点理解的内容: 、异面直线的概念; 、公理 4 及等角定理。 (1) (2)

【学习目标】
1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理 4 和等角定理为基础,正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力,以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.



一、问题导学
1.空间两条直线的位置关系 思考 1:观察长方体,你能发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中, 线段 A′B 所在的直线与线段 C′C 所在直线的位置关系如何? (1)空间的两条直线的位置关系有且只有三种: 相交直线: ; 共面直线 平行直线: ; 异面直线: 。 (2)异面直线的画法:为了表示异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如 下图:







思考 2:若 a ? ? , b ? ? ,那么直线 a 与 b 一定是异面直线吗?

C

A
D

G

线

B 思考 3:如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么 H E AB,CD,EF,GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 3 对? F 2.平行公理(公理 4) 思考:长方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中, BB ? ∥ AA? , DD ? ∥ AA? , BB ? 与 DD ? 平行吗? 公理 4: ; 符号表示为: ; 公理 4 作用: 3.等角定理 思考:长方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中, ?ADC 与 ?A?D ?C ? , ?ADC 与 ?A?B ?C ? 的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? 等角定理: 4.异面直线所成的角: (1)定义:如图,已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a′∥ a,b′∥ b,我们把 a′与 b′所 成的锐角(或直角)叫做 .

1

说明: a ? 与 b? 所成的角的大小只由 a, b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一 般取在两直线中的一条上; (2) 两条异面直线所成的角的取值范围θ ∈ ; (3) 当两条异面直线所成的角是直角时, 我们就说这两条异面直线

, 记作



【我的疑惑】
二、合作探究 例 1、空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. 求证:四边形 EFGH 是平行四边形.

证明:连接 EH,因为 EH 是△ABD 的中位线,所以 EH∥ BD,且 EH= 同理,FG∥ BD,且 FG=

1 BD . 2

1 BD . 2

所以 EH∥ FG,且 EH=FG.所以四边形 EFGH 为平行四边形. 例 2 如图,已知正方体 ABCD—A′B′C′D′. (1)哪些棱所在直线与直线 BA′是异面直线? (2)直线 BA′和 CC′的夹角是多少? (3)哪些棱所在直线与直线 AA′垂直?

解:(1)由异面直线的定义可知,棱 AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与 BA′是异面直 线. (2)由 BB′∥ CC′可知,∠ B′BA′是异面直线 BA′和 CC′的夹角,∠ B′BA′=45°,所以直线 BA′和 CC′的夹 角为 45° . (3)直线 AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线 AA′垂直.

例 3 如图, A 是 BCD 所在平面外一点, 点 AD=BC, F 分别是 AB、 的中点, EF= E、 CD 且

2 AD, 2

2

求异面直线 AD 和 BC 所成的角.

解:设 G 是 AC 中点,连接 EG、FG. 因 E、F 分别是 AB、CD 中点,故 EG∥ 且 EG= BC

1 1 BC ,FG∥ AD,且 FG= AD .由异面直线所 2 2

成角定义可知 EG 与 FG 所成锐角或直角为异面直线 AD、BC 所成角,即∠ EGF 为所求. 由 BC=AD 知 EG=GF=

1 2 AD ,又 EF= AD,由勾股定理可得∠ EGF=90° . 2 2

【课堂小结】
知识方面 __________________________________________________________________ _____

数学思想方法____________________________________________________________

三、巩固提升
1.下列说法中正确的个数是( B ) ①两直线无公共点,则两直线平行; ②两直线若不是异面直线,则必相交或平行; ③过平面外一点与平面内一点的直线,与平面内任一直线均构成异面直线; ④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2、如图是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题: ① 与 CD 所在直线垂直;② 与 EF 所在直线平行;③ 与 MN 所在直线 AB CD AB 成 60° 角;④ MN 与 EF 所在直线异面.其中正确命题的序号是( D ) A.① ③ B.① ④ C.② ③ D.③ ④ 3.如果两条异面直线称作“一对” ,那么在正方体的十二条棱中,共有几对异 面直线( B ) (A)12 (B)24 (C)36 (D)48 4、 在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AB ?

2, BC ? CC1 ? 1 ,则异面直线 AC1 与 BB1 所成的角的

大小为( C ) A.30° B.45° C.60° D.90° 5、如图,空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点且 AC=BD. 求证:四边形 EFGH 是菱形.

3

证明:连接 EH,因为 EH 是△ABD 的中位线,所以 EH∥ BD,且 EH= 同理,FG∥ BD,EF∥ AC,且 FG=

1 BD . 2

1 1 BD ,EF= AC . 2 2

所以 EH∥ FG,且 EH=FG.所以四边形 EFGH 为平行四边形. 因为 AC=BD,所以 EF=EH. 所以四边形 EFGH 为菱形. 6、如图,已知正方体 ABCD—A′B′C′D′.

(1)求异面直线 BC′与 A′B′所成的角的度数; (2)求异面直线 CD′和 BC′所成的角的度数. 解: (1)由 A′B′∥ C′D′可知,∠ BC′D′是异面直线 BC′与 A′B′所成的角, ∵ BC′⊥ C′D′,∴ 异面直线 BC′与 A′B′所成的角的度数为 90° . (2)连接 AD′,AC,由 AD′∥ BC′可知,∠ AD′C 是异面直线 CD′和 BC′所成的角, ∵ AD′C 是等边三角形. △ ∴ AD′C=60°,即异面直线 CD′和 BC′所成的角的度数为 60° ∠ .

4


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