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2012新课标人教A版数学同步导学课件:1.2《充分条件与必要条件》(选修2-1)


1.2 充分条件与必要条件

1.结合具体例子,理解充分条件、必要条件、充要条件的意 义. 2.会判断证明充要条件.

1.判断充分条件、必要条件、充要条件.(重点)
2.判断“若p,则q”是否成立时,相关知识点的应用.(难

点)
3.证明充要条件和求充要条件.(难点)

1.开关A闭合作为命题的条件p,灯泡B

亮作为命题的结论q,你能根据下列各图所
示. 判断p是q的什么条件吗?

2.今天下雨了,而小明没带伞,可以推知小明可能淋雨

了.若我们把它改写成命题的形式就是:今天下雨了,若小明
没带伞,则小明可能淋雨了.可见如果该命题为真,那么命题 的条件可以推出命题的结论是真的,这种命题的条件和结论之 间具备某种关系,这是什么关系呢?

1.充分条件与必要条件 命题真假 推出关系 条件关系 “若p则q”是真命题 p?q p是q的 充分 条件 q是p的 必要 条件 p不是q的 充分 条件 q不是p的 必要 条件 “若p则q”是假命题

2.充要条件

(1)如果既有 p?q
充分必要条件,简称充要

,又有 q?p
条件.

,就记作p?q,p是q的

(2)概括地说:如果

p?q ,那么p与q互为充要条件.

(3)充要条件的证明:证明充要条件应从两个方面证明,一 是 充分性 ,二是 必要性 .

1.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5 ”的( A.充分而不必要条件

)

B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析: ①x=4,a=(x,3)?|a|=5. ②a=(x,3),|a|=5?x=±4. ∴x=4是|a|=5的充分不必要条件. 答案: A

2.一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根
的充分不必要条件是( A.a<0 C.a<-1 ) B.a>0 D.a>1

解析: 令 f(x)=ax2+2x+1(a≠0),则方程 ax2+2x+1 =0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是 ?Δ=4-4a≥0 ? ?1 ?a<0. ?a<0 ? 又因为{a|a<-1}? {a|a<0},故选 C.
答案: C

3.从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要

条件”和“既不充分又不必要条件”中,选出恰当的一种填空: (1)“a = 0” 是 “ 函 数 f(x) = x2 + ax(x∈R) 为 偶 函 数 ” 的 ________; (2)“sin α>sin β”是“α>β”的________; (3)“M>N”是“log2M>log2N”的________; (4)“x∈M∩N”是“x∈M∪N”的________.

解析: (1)当a=0时,函数f(x)=x2+ax(x∈R)
即为f(x)=x2,为偶函数,若f(x)=x2+ax(x∈R)为偶函数,

则f(-x)=(-x)2+a(-x)=x2-ax=f(x)=x2+ax,
则2ax=0(x∈R),解得a=0, 综上知“a=0”是“函数f(x)=x2+ax(x∈R)为偶函数”的充 要条件.

(2)由正弦函数的图象可知
sin α>sin β?/ α>β,α>β?/ sin α>sin β.

∴sin α>sin β是α>β的既不充分又不必要条件.
(3)由函数y=log2x的单调性知log2M>log2N?M>N; 但是M>N?/ log2M>log2N. ∴M>N是log2M>log2N的必要不充分条件. (4)x∈M∩N?x∈M∪N,x∈M∪N?/ x∈M∩N. ∴x∈M∩N是x∈M∪N的充分不必要条件.

答案: (1)充要条件 (2)既不充分又不必要条件
(3)必要不充分条件 (4)充分不必要条件

4.已知a、b、c均为实数,证明ac<0是关于x的方程ax2 +
bx+c=0有一正根和一负根的充要条件.

证明: (1)充分性: 若 ac<0,则 Δ=b2-4ac>0. ∴方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实根,设为 x1, x2, ∵ac<0, c ∴x1·2= <0,即 x1、x2 的符号相反. x a ∴方程有一个正根和一个负根,

(2)必要性: 若方程 ax2+bx+c=0 有一个正根和一个负根, 设为 x1、x2,不妨设 x1<0,x2>0, c 则 x1x2= <0, a ∴ac<0,

由(1)、(2)知 ac<0 是方程 ax2+bx+c=0 有一个正根和 一个负根的充要条件.

指出下列各题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条 件”,“必要不充分条件”,“充要条件”,“既不充分又不

必要条件”中选出一种作答).
(1)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),p:=,q:a∥b; (2)在△ABC中,p:A>B,q:sin A>sin B; (3)实数a,b,p:|a·b|=a·b,q:a·b>0; (4)p:a>b,q:a2>b2.

[解题过程]

(1)p?q,但q?/ p,这是因为若y2=0时,p不成

立.所以p是q的充分不必要条件. (2)∵在△ABC中,A>B?sin A>sin B,反之亦然. 所以p是q的充要条件.

(3)∵若a·b>0,则|a·b|=a·b成立,

∴q?p;
又∵当a=0时,虽有|a·b|=a·b,但没有a·b>0,∴p?/ q, ∴p是q的必要非充分条件. (4)取a=1,b=-1,p?/ q;取a=-2,b=1,q?/ p, 所以p是q的既不充分也不必要条件.

[题后感悟]

处理充分条件、必要条件问题时,首先要分清

条件和结论,然后才能进行推理和判断; 用定义判断充分条件和必要条件的方法(定义法): (1)若p?q但q?/ p,则p是q的充分但不是必要条件; (2)若q?p但p?/ q,则p是q的必要但不是充分条件; (3)若p?q,则p是q的充要条件; (4)若p?/ q且q?/ p,则p 既不是q的充分条件也不是q的必要 条件.

1.下列各题中,p是q的什么条件?

(1)p:a=1,q:直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直;
(2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形;

(3)设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,p:l⊥α,q:
l⊥m且l⊥n; (4)在△ABC中,p:sin A>sin B,q:tan A>tan B.

解析: 相垂直.

(1)∵a=1?直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互

直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 垂直?a=1, ∴p 是 q 的充要条件. (2)∵四边形的对角线相等 四边形是矩形,

四边形是矩形?四边形的对角线相等, ∴p 是 q 的必要不充分条件.

(3)∵l⊥α,m?α,n?α?l⊥m 且 l⊥n, l⊥m 且 l⊥n?/ l⊥α,m?α,n?α. ∴p 是 q 的充分不必要条件. 2π π (4)∵在△ABC 中,若 A= ,B= , 3 6 sin A>sin B?/ tan A>tan B. π 2π 若 A= ,B= ;tan A>tan B?/ sin A>sin B. 6 3 ∴p 是 q 的既不充分也不必要条件.

在下列各项中选择一项填空:
A.充分不必要条件

B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (1)p:(x-1)(x+2)≤0,q:x<2,p是q的________; (2)p:-1≤x≤6,q:|x-2|<3,p是q的________; (3)p:x2-x-6=0,q:x=-2或x=3,p是q的________; (4)p:x≠2或y≠3;q:x+y≠5,则p是q的________.

[解题过程]

(1)令 A={x|(x-1)(x+2)≤0}

={x|-2≤x≤1},B={x|x<2},显然 A? B. 所以 p 是 q 的充分不必要条件. (2)令 A={x|-1≤x≤6}, B={x||x-2|<3}={x|-3<x-2<3}={x|-1<x<5}, 显然 B? A.所以 p 是 q 的必要不充分条件.

(3)令 A={x|x2 -x-6=0}={x|x=-2 或 x=3}={- 2,3},B={-2,3}, 显然 A=B.所以 p 是 q 的充要条件. (4)“若? q:x+y=5,则? p:x=2 且 y=3”是假命题, “若? p:x=2 且 y=3,则? q:x+y=5”是真命题, 故 p?/ q,q?p, 所以 p 是 q 的必要不充分条件.
答案: (1)A (2)B (3)C (4)B

[题后感悟]

处理充分条件、必要条件问题可以利用集合间

的包含关系进行判断(集合法): 集合关系与充分、必要条件:集合A,B分别是使命题p,q 为真命题的对象所组成的集合.

集合 关系 图示 A? B

A={x|p(x)},B={x|q(x)} B? A A=B A B且B A

p 是 q 的充分 p 是 q 的必要 p 是 q 的充 p 是 q 的既不充分也 结论 不必要条件 不充分条件 要条件 不必要条件

2.0<x<5是|x-2|<4成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

)

D.既不充分也不必要条件

解析:

设0<x<5所对应的集合为A,则A={x|0<x<5},不

等式|x-2|<4的解所对应的集合为B,
则B={x||x-2|<4}={x|-2<x<6}. ∵A?B,则0<x<5是|x-2|<4成立的充分条件但不是必要条 件,故选A. 答案: A

a·x+a-2 2 证明:函数 f(x)= (x∈R)是奇函数的充要条件 2x+1 是 a=1.

[解题过程] 证明:先证充分性: 2x-1 若 a=1,则函数化为:f(x)= x . 2 +1 1 2-x-1 2x-1 1-2x 2x-1 ∵f(-x)= -x = = =-f(x). x=- x 1 2 +1 1+2 2 +1 +1 2x ∴函数 f(x)是奇函数.

再证必要性:若函数 f(x)是奇函数,则 f(-x)=-f(x). a·-x+a-2 2 a·x+a-2 2 ∴ =- , -x x 2 +1 2 +1 a+?a-2?·x 2 a·x+a-2 2 ∴ =- , 2x+1 2x+1 ∴a+(a-2)·x=-a·x-a+2, 2 2 ∴2(a-1)(2x+1)=0,∴a=1. a·x+a-2 2 综上所述,函数 f(x)= (x∈R)是奇函数的充要 2x+1 条件是 a=1.

[题后感悟]

(1)一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,

在证充分性时应以q为“已知条件”,p是该步中要证明的“结 论”,即q?p;证明必要性时则是以p为“已知条件”,即p?q. (2) 证 明 充 要 条 件 , 即 证 明 命 题 的 原 命 题 和 逆 命 题 都 成

立.证明充要性时一定要注意分类讨论,要搞清它的叙述格式, 避免在论证时将充分性错当必要性证,而又将必要性错当充分 性证.

(3)证明“充要条件”的一般步骤: 分清条件p和结论q → 证充分性p?q → 证必要性q?p → 结论p?q

3.求证:关于x的方程x2 +mx+1=0有两个负实根的充要条

件是m≥2.
证明: (1)充分性:因为m≥2,所以Δ=m2-4≥0, 所以方程x2+mx+1=0有实根,设两根为x1,x2, 由根与系数的关系知,x1·x2=1>0, 所以x1,x2同号. 又x1+x2=-m≤-2<0,所以x1,x2同为负数. 即x2+mx+1=0有两个负实根的充分条件是m≥2.

(2)必要性:因为 x2+mx+1=0 有两个负实根,设其为 x1,x2,且 x1x2=1,
?Δ=m2-4≥0 ? 所以? ?x1+x2=-m<0 ?



?m≥2或m≤-2 ? 即? ?m>0 ?

,所以 m≥2,

即 x2+mx+1=0 有两个负实根的必要条件是 m≥2. 综上可知,m≥2 是 x2+mx+1=0 有两个负实根的充要 条件.

? ??x+2≥0 ? ? 已知 p:?x?? ? ??x-10≤0 ? ?

? ? ?,q:{x|x2-2x+1-m2≤0, ? ?

m>0},若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围.

[规范作答] ? ??x+2≥0 ? ? ?={x|-2≤x≤10} ,2 分 令 A=?x?? ?x-10≤0 ? ? ?? B={x|x2-2x+1-m2≤0,m>0} ={x|[x-(1-m)]· [x-(1+m)]≤0,m>0}, ∴B={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.4 分 ∵p 是 q 的充分不必要条件,

∴A? 分 B.6 ?1-m<1+m ? ∴?1-m≤-2 ?1+m>10 ? ?1-m<1+m ? 或?1-m<-2 ?1+m≥10 ?

8分

?m>0 ?m>0 ? ? ∴?m≥3 或?m>3 ?m≥9 ?m>9 ?m≥9 ? ? 所以,所求实数 m 的取值范围是{m|m≥9}.12 分

[题后感悟]

把p、q之间的充要关系转化为p、q确定的集合

之间的包含关系是解决这类问题的关键.同时,注意命题等价 性的应用,可简化解题过程.

4.若本例中的条件改为“p是q的必要不充分条件”其他不变, 求m的范围?

解析: 由q得(x-1)2≤m2(m>0),所以1-m≤x≤1+m.
因为p是q的必要不充分条件,所以q?p,p?/ q. 即{x|1-m≤x≤1+m}?{x|-2≤x≤10},

?1-m≥-2, ? 所以只需满足?1+m≤10, ?m>0, ?

所以 0<m≤3.

1.命题成立的四种条件 (1)充分不必要条件:p?q,但 q?/p; (2)必要不充分条件:p?/q,但 q?p; (3)充要条件:p?q,且 q?p; (4)既不充分也不必要条件:p q,且 q?/p.

2.充要条件的判断方法 (1)定义法:直接利用定义进行判断. (2)等价法“p?q”表示 p 等价于 q,要证 p?q,只需 证它的逆否命题非 q?非 p 即可,同理要证 p?q,只需证非 q?非 p 即可,所以 p?q,只需非 q?非 p. (3)集合法:利用集合间的包含关系进行判断. ①若 A?B, p 是 q 的充分条件, x∈A, 则 由 可得 x∈B; ②若 A?B,则 p 是 q 的必要条件,要使 x∈B,则 x∈A 是必不可少的;

③若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; ④若 A B,且 B A,则 p 既不是 q 的充分条件,也

不是 q 的必要条件.

3.充要条件的证明
p是q的充要条件是说p既是q的充分条件也是q的必要条件, 因此在证明充要条件的题目中,要分两步完成,即分别证明其 充分性和必要性,缺少任何一步的证明过程都是不完整的.

◎已知 p:x=2 或 x=4,q:x-4= 4-x,那么 p 是 q 的什么条件?
【错解】 p是q的充要条件.

【错因】 错误的原因是对必要条件的概念不理解,误 认为 p 中有一种情况使 q 成立即可,而实际上设 A={x|x=2 或 x=4},B={x|x-4= 4-x}={x|x=4}.因为 B? A,所以 p 是 q 的充分不必要条件.

【正解】 p是q的充分不必要条件.


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