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离散型随机变量的均值与方差练习题


离散型随机变量的均值与方差、正态分布
一、知识回顾: 1.离散型随机变量的分布列:

⑵ 正 态 分 布 的 期 望 与 方 差 : 若 ? ~ N (? ,? 2) , 则 ξ 的 期 望 与 方 差 分 别 为 :

E? ? ? , D? ?? 2 .
1 2?
? x2 2

?

r />p

.3. ⑴标准正态分布: 如果随机变量 ξ 的概率函数为 ? ( x) ?

e

则 (?? ? x ? ??) ,

x1
p1

x2
p2

…… ……

xn pn
(a< ξ ≤b)的计算则是 P(a ? ? ? b) ? ? (b) ? ? (a) .

称 ξ 服从标准正态分布. 即 ? ~ N (0,1) 有 ? ( x) ? P(? ? x) ,? ( x) ? 1 ? ? (? x) 求出, 而P 注意: 当标准正态分布的 ?( x) 的 X 取 0 时, 有 ? ( x) ? 0.5 当 ?( x) 的 X 取大于 0 的数时, 有 ?( x) ? 0.5 .比如 ?(

性质:①___________;②___________________ 2.离散型随机变量的数学期望: E? ? ______________,它反映随机变量取 值的平均水平。 3.离散型随机变量的方差: D? ? ______________________,反映随机变量 取值的稳定与波动,集中与离散的程度: D? 越小,? 取值越集中, D? 越大, ? 取值越分散。 4.随机变量 ? 的标准差,记作 ?? , ?? =________________。 5.性质: E (aX ? b) ? _________; D(aX ? b) ? __________。 6.若 X 服从两点分布,则 E(X)=___________,D(X)=_______________ 若 X~B(n,p),则 E(X)=___________,D(X)=_______________

0.5 ? ?

?

) ? 0.0793? 0.5 则

0.5 ? ?

?

必然小于 0, ⑵正态分布

与标准正态分布间的关系:若 ? ~ N (? ,? 2) 则 ξ 的分布函数通常用 F ( x) 表示,且有

P(ξ ? x) ? F(x) ? ? (

x ?μ ) . 4. σ

“3 ? ” 原 则 的 应 用 : 若 随机 变 量 ξ 服 从 正 态 分 布

N (?,? 2) ,则 ξ 落在 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 内的概率为 99.7% 亦即落在 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 之
外的概率为 0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生了,就说明此种产品不合格(即 ξ 不服从正态分布).
2 经典例题:1.设两个正态分布 N(μ1,σ1 )(σ1>0)和 N(μ2,σ2 2)(σ2>0)的密

注意: E (? ? ? ) ? E? ? E?

D? ? E? 2?( E? ) 2

度函数图象如图所示,则有(

)

7.提示: (1)在实际中经常用期望来比较平均水平,当平均水平相近时, 再用方差比较稳定程度; (2)注意离散型随机变量的期望、方差与样本 数据的平均数、方差的联系。 8. ⑴正态分布与正态曲线:若随机变量 ξ 的概率密度为: f ( x) ?
1 2? ? e
? ( x?? )2 2? 2

.

A.μ1<μ2,σ1<σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2

B.μ1<μ2,σ1>σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2

( x ? R, ? , ? 为常数, 且 ? ? 0) , 称 ξ 服从参数为 ?, ? 的正态分布, 用 ? ~ N (? ,? ) 表
2 2 示. f ( x) 可简记为 N (? ,? ) ,它的密度曲线简称为正态曲线.

【解析】 根据正态分布 N(μ,σ2)函数的性质:正态分布曲线是一条关 于直线 x=μ 对称,在 x=μ 处取得最大值的连续钟形曲线;σ 越大,曲线的 最高点越低且较平缓;反过来,σ 越小,曲线的最高点越高且较陡峭,故选

A. 【答案】 A 2. 在某项测量中, 测量结果 ξ 服从正态分布 N(1, σ )(σ>0), 若 ξ 在(0,1) 内取值的概率为 0.4,则 ξ 在(0,2)内取值的概率为________. 【解析】 在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0), 正态分布图象的对称轴为 x=1,ξ 在(0,1)内取值的概率为 0.4,可知,随机变 量 ξ 在(1,2)内取值的概率与 ξ 在(0,1)内取值的概率相同,也为 0.4,这样随机 变量 ξ 在(0,2)内取值的概率为 0.8. 【答案】 0.8 3.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,σ2),函数 f(x)=x2+4x+ξ 没有零点 1 的概率是 ,则 μ 等于( 2 A.1 C .2 ) B.4 D.不能确定 4、 P(1 ? X ? 4) 的值为( ) D 2;1.9 ) 0.9 D 2.1;1.9 D 9.2; 10.32、 1、 P( x ? 1) 的值为( A 0.8 2、 E ( x) 的值为( A 0.3 3、 D( x) 的值为( ) B 0.7 ) B -0.3 ) C 0.5 C 0.61 D 0.6 D 0.72 D 0.72
2

二、练习巩固: (1) 、随机变量 X 的分布列如下,回答 1—3 题

A 0.3 B -0.3 C 0.61 (2)随机变量 X 的分布列如下,回答 4—6 题

【解析】 根据题意, 函数 f(x)=x2+4x+ξ 没有零点时, Δ=16-4ξ<0, 即 ξ>4,根据正态密度曲线的对称性,当函数 f(x)=x2+4x+ξ 没有零点的概 1 率是 时,μ=4. 2 4. (2010· 广东高考)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1), 且 P(2≤X≤4) =0.682 6,则 P(X>4)=( A.0.158 8 C.0.158 6 ) B.0.158 7 D.0.158 5

A 0.6 B 0.7 C 0.8 5、 X 的期望值与方差值分别为( ) A 2;1.29 B 2.1;1.29 C 6、设 Y ? 2 X ? 5 ,则 E (Y ) 、 D (Y ) 的值分别为(

A 4.2; 1.29 B 9.2; 5.16 C 4.2; 15.32 (3)已知某运动员投篮命中率为 p =0.6,求解 7—9 题 7、该运动员进行一次投篮,命中次数为 ? ,则 E (? ) =(



A 0.6 B 0.4 C 0.24 D 0.36 8、该运动员重复投篮 5 次,命中次数为? ,则 D (? ) =( ) A 3 B
0.6 5

C 1.2

D

【解析】 由正态曲线性质知,其图象关于 x=3 对称, 1 ∴P(x>4)=0.5- P(2≤x≤4) 2 1 =0.5- ×0.682 6=0.158 7.故选 B. 2 【答案】 B

k C5 0.6k 0.45?k (k ? 0,1,2,3,4,5)

9、若一次投篮投中得 2 分,投不中不得分,该运动员重复投篮 5 次,所得 分数 X 的方差为( ) A 1.2 B 2.4 C 3.6 D 4.8 10、若随机变量 X 服从两点分布,且成功的概率 p=0.5,则 E(X)和 D(X)分 别为( )

A.0.5 和 0.25 B.0.5 和 0.75 C.1 和 0.25 D.1 和 0.75 11、已知 X~B(n,p),EX=8,DX=1.6,则 n 与 p 的值分别是( ) A.100,0.08 B.20,0.4 C.10,0.2 D.10,0.8 12、如果 X~B(100,0.2),那么 D(4X+3)=____________ 13、口袋中有大小均匀 10 个球,其中有 7 个红球 3 个白球,任取 3 个球, 其中含有红球个数为 X ,则 E ( X ) ? 。 14、 两封信随机投入 A、 B、 C 三个空邮箱, 则 A 邮箱信件数 ? 的期望值为 。

(3)

p(? ? k )

求选择甲线路旅游团数的期望.

15、 随机变量 ? 的分布列为,其中 k ? 1 、2 、3 、4 、5 、6 ,则 P(1.5 ? ? ? 3.5) 为 __________ , E? ? ______ 。 16 、从签盒中有编号为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 的六支签中,任意取 3 支, 设 ? 为这 3 支签的号码之中最大的一个。则 ? 的的数学期望为 ________ 。 17 、甲、乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为 0.6, 被甲或乙解出的概率为 0.92。 (1)求该题被乙独立解出的概率。 (2)求解 出该题的人数 ? 的数学期望和方差。

18、某同学参加知识竞赛。需回答 3 个问题,规则如下:每题答对得 100 分, 答错得-100 分,假设这名同学每题答对的概率均为 0.8,且各题答对与否相 互没有影响, 求这名同学每题回答这三个问题的总得分 X 的概率分布及均值。

19、旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路,每个旅游团任选其中一条. (1)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率; (2)求恰有 2 条线路没有 被选择的概率;


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