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2013年第54届国际数学奥林匹克竞赛真题中文版(官方)


Language: Chinese (Simpli?ed) Day: 1 2013 年 7 月 23 日, 星期二 第 1 题. 证 明对于任意一对正整数 k 和 n, 都存在 k 个 (不必不相同的) 正整数 m1 , m2 , . . . , mk , 使得 ( )( ) ( ) 2k ? 1 1 1 1 1+ = 1+ 1+ ··· 1 + . n m1 m2 mk 第

2 题. 平 面上的 4027 个点称为是一个哥伦比亚式点集, 如果其中任意三点不共线, 且有 2013 个点 是红色的, 2014 个点是蓝色的. 在平面上画出一组直线, 可以将平面分成若干区域. 如果一组直线对于 一个哥伦比亚式点集满足下述两个条件, 我们就称这是一个好直线组: ? 这些直线不经过该哥伦比亚式点集中的任何一个点; ? 每个区域中都不会同时出现两种颜色的点. 求 k 的最小值, 使得对于任意的哥伦比亚式点集, 都存在由 k 条直线构成的好直线组. 第 3 题. 设 三角形 ABC 的顶点 A 所对的旁切圆与边 BC 相切于点 A1 . 类似地, 分别用顶点 B 和顶 点 C 所对的旁切圆定义 CA 边上的点 B1 和 AB 边上的点 C1 . 假设三角形 A1 B1 C1 的外接圆圆心在 三角形 ABC 的外接圆上. 证明:三角形 ABC 是直角三角形. 三角形 ABC 的顶点 A 所对的 旁切圆 是指与边 BC 相切,并且与边 AB , AC 的延长线相切的圆. 顶点 B ,C 所对的旁切圆可类似定义. Language: Chinese(Simpli?ed) 时间: 4 小时 30 分 每题 7 分 Language: Chinese (Simpli?ed) Day: 2 2013 年 7 月 24 日, 星期三 第 4 题 . 设 三角形 ABC 是一个锐角三角形, 其垂心为 H , 设 W 是边 BC 上一点, 与顶点 B ,C 均不 重合. M 和 N 分别是过顶点 B 和 C 的高的垂足. 记三角形 BW N 的外接圆为 ω1 , 设 X 是 ω1 上一点, 且 W X 是 ω1 的直径. 类似地, 记三角形 CW M 的外接圆为 ω2 , 设 Y 是 ω2 上一点, 且 W Y 是 ω2 的直 径. 证明: 点 X , Y 和 H 共线. 第 5 题. 记 Q>0 是所有正有理数组成的集合. 设函数 f : Q>0 → R 满足如下三个条件: (i) 对所有的 x, y ∈ Q>0 , 都有 f (x)f (y ) ≥ f (xy ); (ii) 对所有的 x, y ∈ Q>0 , 都有 f (x + y ) ≥ f (x) + f (y ); (iii) 存在有理数 a > 1, 使得 f (a) = a. 证明: 对所有的 x ∈ Q>0 , 都有 f (x) = x. 第 6 题 . 设 整数 n ≥ 3 , 在圆周上有 n + 1 个等分点. 用数 0, 1, . . . , n 标记这些点, 每个数字恰好用一 次. 考虑所有可能的标记方式; 如果一种标记方式可以由另一种标记方式通过圆的旋转得到, 那么认为 这两种标记方式是同一个. 一种标记方式称为是 漂亮的, 如果对于任意满足 a + d = b + c 的四个标记 数 a < b < c < d, 连接标 a 和 d 的点的弦与连接标 b 和 c 的点的弦都不相交. 设 M 是漂亮的标记方式的总数, 又设 N 是满足 x + y ≤ n , 且 gcd(x, y )

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