09-1 刚体选讲例题

刚体的转动习题课选讲例题 例 一人握有两只哑铃, 站在一可无摩擦地转动 的水平平台上, 开始时两手平握哑铃, 人、哑铃、平台 组成的系统以一角速度旋转, 后来此人将哑铃下垂于 身体两侧, 在此过程中, 系统 (A) 角动量守恒, 机械能不守恒; (B) 角动量守恒, 机械能守恒;

(C) 角动量不守恒, 机械能守恒;
(D) 角动量不守恒, 机械能不守恒.

刚体的转动习题课选讲例题

例 关于力矩有以下几种说法: （1）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量; （2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零; （3）质量相等, 形状和大小不同的两个刚体, 在相同 力矩的作用下, 他们的角加速度一定相等; 在上述说法中
(A) 只有（2）是正确的; (B)（1）、（2）是正确的;

(C)（2）、（3）是正确的;
(D)（1）、（2）、（3）都是正确的.

刚体的转动习题课选讲例题

例 如图所示, A、B 为两个相同的定滑轮, A 滑 A 轮挂一质量为M的物体, B 滑轮受力F = Mg, 设 A、B 两滑轮的角加速度分别为 M αA和αB ,不计滑轮的摩擦,这 两个滑轮的角加速度的 大小关系为:
（A）αA＝αB ; （B）αA>αB; A

B F =Mg

? T
? Mg

（C） αA<αB ;
（D）无法确定.

aA Tr ? J? A ? J r Mg ? T ? MaA

B

aB Fr ? Mgr ? J? B ? J r

刚体的转动习题课选讲例题

例 人造地球卫星, 绕地球作椭圆轨道运动, 地球 在椭圆的一个焦点上, 则卫星的： (A) 动量不守恒, 动能守恒; (B) 动量守恒, 动能不守恒; (C) 角动量守恒, 动能不守恒; (D) 角动量不守恒, 动能守恒.

刚体的转动习题课选讲例题 例 一飞轮在时间
4 t 内转过角度 ? ? at ? bt 3 ? ct，

式中 a、b、c 都是常量，求它的角加速度.

d 解： ? ? (at ? bt 3 ? ct 4 ) ? a ? 3bt 2 ? 4ct 3 dt

d 2 3 2 ? ? (a ? 3bt ? 4ct ) ? 6bt ? 12ct dt

刚体的转动习题课选讲例题 例 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半 径 r ? 0.5m , 如果升降机从静止开始以 a ? 0.4m ? s ?2 加速度上升, 求 （1）滑轮角加速度；（2） t ? 5s 时 角速度及转过的圈数；（3） t ? 1s 时轮缘上一点的 加速度. a ? 0.4m ? s ?2 已知： r ? 0.5m

r

解（1）

at ? a ? 0.4m ? s

?2

? a

at a ?? ? r r
0.4 ?? ? 0.8rad ? s ?2 0.5

刚体的转动习题课选讲例题 求（2）t ? 5s 时角速度及转过的圈数；

? ? 0.8rad ? s ?2
1 2 ? ? ? t ? 10 rad 2

? ? ? t ? 4 rad s
n?

?

2π

? 1.6
?2

求（3） t ? 1s 时轮缘上一点的加速度.

? a?
r

?

? at

r ? 0.5m

? an ?

at ? a ? 0.4m ? s ?1 ? ? ?t ? 0.8rad ? s 2 ?2 an ? r? ? 0.32 m ? s

a

2 ? ? at2 ? an ? 0.51 m ? s ? 2 a

? ? arctan(an at ) ? 38.7?

刚体的转动习题课选讲例题 例 一长为 l，重为W 的均匀梯子，靠墙放置，墙 光滑，当梯子与地面成 ? 角时处于平衡状态，求梯子 与地面的摩擦力。

? ? Fi ? 0

解：刚体平衡的条件

? ? Mi ? 0

? N2

Ff ? N 2 ? 0

P ? N1 ? 0

以支点O为转动中心，梯子受 的合外力矩：

Ff

? P ? ?

l

? N1

o

l P cos? ? N 2 l sin ? ? 0 2

P Ff ? N 2 ? cot? 2

刚体的转动习题课选讲例题

例 一质量为m、长为L的均匀细棒，可在水平桌面 上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的 摩擦系数为 ? , 求棒转动时受到的摩擦力矩的大小．

?
o x dx x

解：取一小段如图

M ??

dM ? x(?dmg ) ?mg L 1 x?dmg ? ?0 xdx ? 2 ?mgL l

? dF f

m dm ? dx l dF f ? ?dmg

刚体的转动习题课选讲例题 例：证明关于行星运动的开普勒第二定律，行星 对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。 ? 证明: ?t 时间内径矢扫过的面积为

L

ms

? r (t )

? r (t ? d t )

? ?r

m ?

? v

1 ? ?S ? r ?r sin ? 2
单位时间扫过的面积

? ms m ? ? F ? ?G 3 r r ? ?

L ?C

?S 1 ? r sin ? ?t 2 ?t ?S 1 1 lim ? rv sin ? ? L ?t ?0 ?t 2 2m

? ?r

所以相等的时间内扫过相等的面积。

刚体的转动习题课选讲例题 例 把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆 与单摆的摆锤质量均为 m . 开始时直杆自然下垂，将单 摆摆锤拉到高度 h ，令它自静止状态下摆，于垂直位
0

置和直杆作弹性碰撞. 求 碰后直杆下端达到的高度 h . 解：此问题分为 三个阶段

l

m h0

l m

c

l

m
? v0
h?

1） 单摆自由下 摆（机械能守恒）， 与杆碰前速度

h

v0 ? 2gh0

刚体的转动习题课选讲例题

v0 ?
c
角动量守恒

2gh0
mlv0 ? J? ? mlv

2）摆与杆弹性碰撞（摆，杆）

l

m
h?

1 2 1 2 1 2 机械能守恒 mv0 ? mv ? J? 2 2 2 1 3v0 h v ? v0 ?? 2 2l

3）碰后杆上摆，机械能守恒（杆，地球）

1 2 J? ? mghc 2

3 h ? 2hc ? h0 2

刚体的转动习题课选讲例题 例： 质量 m ，半径 R 的均匀圆盘可绕过中心的光滑 竖直轴自由转动. 在盘缘站一质量为 m0 的人，开始人和 盘都静止，当人在盘缘走一圈时，盘对地面转过的角度.

m0
m

解：盘和人为系统，角动量守恒。

R

设：?0 , ? 分别为人和盘相对地 的角速度，顺时针为正向.

顺时针向

2m0 ?? ? 2π 2m0 ? m

1 2 2 mR ? ? m0 R ? 0 ? 0 2 1 2 d? 2 d? 0 mR ? m0 R 2 dt dt ? 1 2 2 2 π ?? ?0 2 mR d? ? m0 R ?0 d?0

刚体的转动习题课选讲例题 例 一质量为 m' 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂 直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳， 一端挂质量为m 的物体 . 问物体在静止下落高度 h 时， 其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计 . ? 解 拉力 FT 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动 ? 能定理可得，拉力 FT 的力矩所作的功为

??

?

0

FT Rd? ? R ? FT d?
?0

?

? FN

为圆盘终了和起始时的角 坐标和角速度 .

? ? , ? 0 和 ? 、 0 分别

1 2 1 2 ? J? ? J? 0 2 2

o ? P '?

? FT
m

R

o
m'

FT?

m
h

? P

m

刚体的转动习题课选讲例题

1 1 2 2 FT Rd? ? R ? FT d? ? J? ? J? 0 ?? 0 ?0 2 2
由质点动能定理
?

?

?

? FN

? ? FT ? ? FT?

1 1 2 2 mgh ? R ? FT d? ? mv ? mv0 ?0 2 2
物体由静止开始下落

o ? P '?

? FT
m

FT?

v0 ? 0, ? 0 ? 0

? P

1 并考虑到圆盘的转动惯量 J ? m?R 2 2
解得

v ? ?R

mgh v?2 ? m? ? 2m

m 2 gh (m' 2) ? m

刚体的转动习题课选讲例题

例 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上， 和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 mC 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB 的物 体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩 擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体 B 从 静止落下距离 y 时， C A mA 其速率是多少？（3） mC 若滑轮与轴承间的摩 擦力不能忽略，并设 它们间的摩擦力矩为 M f 再求线加速度及 mB B 绳的张力.

刚体的转动习题课选讲例题 A

mA ? FN ? FT1 mA ? O x PA
? ? FT1
? PC

? FT1

C

mC ? ? FT2

mB B
? ? FT2

解 （1）隔离物体分 别对物体A、B 及滑轮作 受力分析，取坐标如图， 运用牛顿第二定律 、转 动定律列方程 .

FT1 ? mA a
mB g ? FT2 ? mB a
RFT2 ? RFT1 ? J?

? FC

? FT2

mB ? PB y

O

a ? R?

刚体的转动习题课选讲例题

mB g a? mA ? mB ? mC 2 mA mB g FT1 ? mA ? mB ? mC 2
(mA ? mC 2)mB g FT2 ? mA ? mB ? mC 2
如令 mC

A mA

? FT1

C

mC ? ? FT2

mB B
mA mB g FT1 ? FT2 ? mA ? mB

? 0，可得

（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率

2mB gy v ? 2ay ? mA ? mB ? mC / 2

刚体的转动习题课选讲例题 （3） 考虑滑轮与轴承间的 摩擦力矩 M f ，转动定律

? ? FT1
Mf

RFT2 ? RFT1 ? M f ? J?
结合（1）中其它方程

? FT2
? FN

FT1 ? mA a
mB g ? FT2 ? mB a

? ? FT2
mB
? PB

RFT2 ? RFT1 ? M f ? J?

a ? R?

mA ? FT1 ? PA

刚体的转动习题课选讲例题

FT1 ? mA a
mB g ? FT2 ? mB a
RFT2 ? RFT1 ? M f ? J?

A mA

? FT1

C

mC ? ? FT2

a ? R? mB g ? M f R a? mA ? mB ? mC / 2

mB B

mA (mB g ? M f / R) FT1 ? mA ? mB ? mC / 2

mB ?(mA ? mC 2) g ? M f R ? FT2 ? mA ? mB ? mC 2