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2016高三数学一轮复习 第4章 第2课时 平面向量基本定理及坐标表示课时训练 文 新人教版


【高考领航】 2016 高三数学一轮复习 第 4 章 第 2 课时 平面向量基 本定理及坐标表示课时训练 文 新人教版

A 级 基础演练 1.(2014·高考广东卷)已知向量 a=(1,2),b=(3,1),则 b-a=( A.(-2,1) C.(2,0) B.(2,-1) D.(4,3) )

解析:选 B.b-a=(3,1)-(1,2

)=(2,-1). 2.(2014·高考北京卷)已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a-b=( A.(5,7) C.(3,7) B.(5,9) D.(3,9) )

解析:选 A.由 a=(2,4)知 2a=(4,8),所以 2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7). 3.(2013·高考陕西卷)已知向量 a=(1,m),b=(m,2),若 a∥b,则实数 m 等于( A.- 2 C.- 2或 2
2

)

B. 2 D.0

解析:选 C.因为 a∥b,所以 m =2,解得 m=- 2或 m= 2. → 4.(2013·高考辽宁卷)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为( 4? ?3 A.? ,- ? 5? ?5 3? ?4 B.? ,- ? 5? ?5 )

? 3 4? C.?- , ? ? 5 5?

? 4 3? D.?- , ? ? 5 5?

→ → 4? AB 1 ?3 解析:选 A.AB=(3,-4),则与其同方向的单位向量 e= = (3,-4)=? ,- ?. 5? → 5 ?5 |AB| 5.(2015·大连模拟)向量 a=(m,1),b=(n,1),则 =1 是 a∥b 的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析: 选 A.若 m=n,则由向量的定义显然有 a=b, 必有 a∥b; 若 a∥b, 则 m·1-n·1=0,
1

m n

)

得 m=n,不能推出 =1. → → → → → → 6. (2014·高考湖北卷)若向量OA=(1, -3), |OA|=|OB|, OA·OB=0, 则|AB|=__________. → → 2 2 解析:|OA|= 1 +?-3? = 10=|OB|, △AOB 为等腰直角三角形. → → |AB|= 2|OA|= 2· 10=2 5. 答案:2 5 7.(2013·高考北京卷)向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c λ =λ a+μ b(λ ,μ ∈R),则 =________. μ 解析:建立平面直角坐标系,转化为向量的坐标运算求解.以向量 a 的终点 为原点,过该点的水平和竖直的网格线所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,设一个 小正方形网格的边长为 1,则 a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3). 由 c=λ a+μ b,即(-1,-3)=λ (-1,1)+μ (6,2),得-λ +6μ =-1,λ +2μ =-3, 1 λ 故 λ =-2,μ =- ,则 =4. 2 μ 答案:4 → → → → → 8.在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3 NC,M 为 BC 的中点,则MN=__________(用 a,b 表 示). → → → → 解析:由AN=3 NC得 4 AN=3 AC=3(a+b), →

m n

AM=a+ b,
→ 3 1 1 ? 1 ? 所以MN= (a+b)-?a+ b?=- a+ b. 4 4 4 ? 2 ? 1 1 答案:- a+ b 4 4 9.已知 A(1,1),B(3,-1),C(a,b). (1)若 A,B,C 三点共线,求 a,b 的关系式; → → (2)若AC=2 AB,求点 C 的坐标. → → 解析:(1)由已知得AB=(2,-2),AC=(a-1,b-1), → → ∵A,B,C 三点共线,∴AB∥AC.

1 2

2

∴2(b-1)+2(a-1)=0,即 a+b=2. → → (2)∵AC=2 AB,∴(a-1,b-1)=2(2,-2). ∴?
? ?a-1=4, ?b-1=-4, ?

解得?

? ?a=5, ?b=-3. ?

∴点 C 的坐标为(5,-3). B 级 能力突破 → → → 1.(2015·朝阳模拟)在△ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N 为 AM 中点,AN=λ AB+μ AC, 则 λ +μ 的值为( 1 A. 2 1 C. 4 解析:选 A.∵M 为边 BC 上任意一点, → → → ∴可设AM=xAB+yAC(x+y=1). ∵N 为 AM 中点, → 1→ 1 → 1 → → → ∴AN= AM= xAB+ yAC=λ AB+μ AC. 2 2 2 1 1 ∴λ +μ = (x+y)= . 2 2 2.(2015·辽宁五校联考)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S200=100,A、B、C 为平 → → → 面内三点,点 O 为平面外任意一点,若OB=a100OA+a101OC,则 A、B、C 三点( A.共线 B.不共线 C.共线与否和点 O 的位置有关 D.位置关系不能确定 解析:选 A.由题意知,S200= 200?a1+a200? 200?a100+a101? = =100,所以 a100+a101=1,根 2 2 ) ) 1 B. 3 D.1

据共线定理知 A、B、C 三点共线. → → 3.(2015·豫西五校联考)如图,给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB, → 2π 它们的夹角为 ,点 C 是以 O 为圆心的圆弧 AB 上的一个动点,且OC= 3

x OA+y OB(其中 x,y∈R),则 x-y 的取值范围是(





)

3

A.[-1,1] C.[-1, 2]

B.[- 2, 2] D.[- 2,1]

解析:选 A.过点 C 分别作 OA、OB 的平行线 CD、CE,交 OB 及 OA(或延长线)于点 D、E,设∠

OD OC sin α 2 3 ? ? 2π ?? 在△OCD 中, COA=α ?α ∈?0, ??, 由正弦定理得 = , 即 y=OD= = 3 ?? sin α π π 3 ? ?
sin 3 sin 3 sin α ,同理可得

x=OE=

sin?

?2π -α ? ? ? 3 ?
π sin 3

2 3 ?2π ? = sin? -α ? 3 ? 3 ? =cos α + 3 sin α , 3 π? 3 2 3 ? sin α = cos?α + ?. 6? 3 3 ?

∴x-y=cos α -

π π 5π 又∵ ≤α + ≤ , 6 6 6 ∴- π? 3 3 ? ≤cos?α + ?≤ ,即-1≤x-y≤1. 6? 2 2 ?

4 . (2015· 九 江 模 拟 )P = {a|a = ( - 1,1) + m(1,2) , m ∈ R} , Q =

{b|b=?1,-2?+n?2,3?,n∈R}是两个向量集合,则 P∩Q 等于__________.
解析:P 中,a=(-1+m,1+2m),Q 中,b=(1+2n,-2+3n).
? ?-1+m=1+2n, 则? ?1+2m=-2+3n. ? ? ?m=-12, ?n=-7. ?

解得?

此时 a=b=(-13,-23). 答案:{?-13,-23?} 5.(2015·南昌二模)已知向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=( 2cos α , 2sin α )(α ∈ R),实数 m,n 满足 ma+nb=c,则(m-3) +n 的最大值为__________.
4
2 2

解析:由 ma+nb=c,可得?

?m+n= 2cos α , ?m-n= 2sin α ,

故(m+n) +(m-n) =2,即 m +n =1,

2

2

2

2

故点 M(m,n)在单位圆上,则点 P(3,0)到点 M 的距离的最大值为|OP|+1=3+1=4,故(m -3) +n 的最大值为 4 =16. 答案:16 6.(2014·高考陕西卷)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1),B(2,3),C(3,2),点 P(x,
2 2 2

y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上,且OP=m AB+n AC(m,n∈R).
→ 2 (1)若 m=n= ,求|OP|; 3 (2)用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值. → 2 → 解析:(1)∵m=n= ,AB=(1,2),AC=(2,1), 3 → 2 2 ∴OP= (1,2)+ (2,1)=(2,2), 3 3 → 2 2 ∴|OP|= 2 +2 =2 2.
? → ?x=m+2n, (2)∵OP=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),∴? ?y=2m+n, ?







两式相

减,得 m-n=y-x. 令 y-x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1, 故 m-n 的最大值为 1.

5


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