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2012年山西省对口升学考试数学模拟试题及参考答案


一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知函数 定义域为 , 定义域为 ,则 (****) A. B. C. D.

2. 若 ,则下列不等式成立的是(****) A. B. C. D.

3.若函数 是函数 的反函数,则 的值是(****) A. B.

C. D.

4. 设 a,β 分别为两个不同的平面,直线 l a,则“l 丄 β”是“a 丄 β 成立的(****) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.要得到函数 的图象,只要将函数 的图象(****) A.向左平移 1 个单位 C.向左平移 个单位 B.向右平移 1 个单位 D.向右平移 个单位

6.已知变量 x,y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为(****) A.3 B.4 C.5 D.6

7.已知函数 ,则 是(****) A.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.奇函数,且在 上单调递增 C.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递减 D.偶函数,且在 上单调递减 8. 在右侧程序框图中,输入 ,按程序运行后输出的结果是(****) A.3 B.4 C.5 D.6

9.若双曲线 与直线 无交点,则离心率 的取值范围(****) A. B. C. D.

10.若 为 内一点,且 ,在 内随机撒一颗豆子,则此豆子落在 内的概率为(****) A. B. C. D.

11.如图,矩形 的一边 在 轴上,另外两个顶点 在函数 的图象上.若点 的坐标为 ,记矩形 的周长 为 ,则 (****)

A.208 B. 216

C. 212

D.220

12.已知 表示大于 的最小整数,例如 .下列命题 ① 函数 的值域是 ;② 是等差数列,则 也是等差数列; 若 ③ 是等比数列,则 也是等比数列;④ ,则方程 有 3 个根. 若 若 正确的是(****)A.② ④ B.③ ④ C.① ③ D.① ④

第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题卡的相应位置. 13.已知复数 在复平面内的对应点分别为点 A、B,则线段 AB 的中点所对应的复数是**** 14.某班共有 52 人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,已知 3 号、29 号、42 号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学号是**** 15.已知平面上的线段及点 ,在上任取一点 ,线段 长度的最小值称为点 到线段的距离,记 作 .设是长为 2 的线段,点集 所表示图形的面积为**** 16.设 为正整数,若 和 除以 的余数相同,则称 和 对 同余.记 ,已知 , ,则 的值可以是**** (写出以下所有满足条件的序号)① 1007;② 2013;③ 3003;④ 6002 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.把解答 过程填写在答题卡的相应位置. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 (1)求函数 的最小正周期和值域; (2)已知 的内角 所对的边分别为 ,若 ,且 求 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 已知点(1,2)是函数 的图象上一点,数列 的前 n 项和 . (1)求数列 的通项公式; (2)将数列 前 30 项中的第 3 项,第 6 项,…,第 3k 项删去,求数列 前 30 项中剩余项的和. 19. (本小题满分 12 分) 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设 工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回 程是否堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学,再返回经甲地赶去乙地上班,

(1)写出李生可能走的所有路线; (比如 DDA 表示走 D 路从甲到丙,再走 D 路回到甲,然后走 A 路到达乙); (2)假设从丙地到甲地时若选择走道路 D 会遇到拥堵,并且从甲地到乙地时若选择走道路 B 也 会遇到拥堵,其它方向均通畅,但李生不知道相关信息,那么从出发到回到上班地没有遇到过拥 堵的概率是多少? 20. (本小题满分 14 分) 如图, 是半圆 的直径, 是半圆 上除 、 外的一个动点, 平面 , , , , . ⑴ 证明:平面 平面 ; ⑵ 试探究当 在什么位置时三棱锥 的 体积取得最大值,请说明理由并求出这个最大值. 21. (本小题满分 12 分) 如图,已知抛物线 的焦点在抛物线 上. (1)求抛物线 的方程及其准线方程; (2)过抛物线 上的动点 作抛物线 的两条切线 、 , 切点为 、 .若 、 的斜率乘积为 ,且 ,求 的取值范围. 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 , (1)当 且 时,证明:对 , ; (2)若 ,且 存在单调递减区间,求 的取值范围; (3)数列 ,若存在常数 , ,都有 ,则称数列 有上界。已知 ,试判断数列 是否有上界.

数学文科试题参考答案 1-5 BCCAC 6-10 DACBA 11-12 BD 13.3-i 17.解: (1) 所以函数 的最小正周期 ,值域为 (备注:当 时,求函数 的单调区间和值域? , ,令 ,则 函数 的单调递增区间为 ,单调减区间为 ,, 函数 的值域为 ) 14. 16 15. 16.① ④

,,, ,, ,由正弦定理得 ,

18.解: )把点(1,2)代入函数 ,得 . 当 时, 当 时, (Ⅰ 式, .

经验证可知 时,也适合上

(Ⅱ )由(Ⅰ )知数列 为等比数列,公比为 2,故其第 3 项,第 6 项,…,第 30 项也为等比数列, 首项 公比 为其第 10 项 ∴ 此数列的和为 又数列 的前 30 项和为 ∴ 所求剩余项的和为 19.⑴ 李生可能走的所有路线分别是:DDA,DDB,DDC,DEA,DEB,DEC,EEA,EEB, EEC,EDA,EDB,EDC 共 12 种情况。⑵ 从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有:DEA, DEC,EEA,EEC 共 4 种情况,所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率 . 20.证明与求解:⑴ 因为 是直径,所以 ,因为 平面 , ,因为 ,所以 平面 因为 ,又因为 ,所以四边形 是平行四边形,所以 ,所以 平面,因为 平面 ,所以平面 平面 ⑵ 依题意, , 由⑴ , 知 , ,等号当且仅当 时成立,所以当 为半圆弧中点时三棱锥 的 体积取得最大值,最大值为 (备注:此时, , ,设三棱锥 的高为 ,则 , ) . 21.解: (1) 的焦点为 , 所以 , . 故 的方程为 ,其准线方程为 . (2)任取点 ,设过点 P 的 的切线方程为 . 由 ,得 . 由 ,化简得 , 记 斜率分别为 ,则 , 因为 ,所以 所以 , 所以 . 22.解:⑴ 且 时,设 , , ……1 分,解 得 。 当

当 时, , 单调递增;当 时, , 单调递减,所以 在 处取最大值,即 , , 即 (2)若 , = 所以 因为函数 存在单调递减区间,所以 在 上有解 所以 在 上有解 所以 在 上有解,即 使得 令 ,则 ,研究 ,当 时, 所以 (3)数列 无上界 ,设 , ,由⑴ , ,所以 , ,取 为任意一个不小于 的自然数,则 ,数列 无上界。 得


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