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高中数学必修4三角函数知识点与题型总结


三角函数典型考题归类

高一数学知识总结
必修一 一、集合 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方 法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn 图: 4、集合的分类: (1)有限集 含有有限个元素的集合 (2)无限集 含有无限个元素的集合 (3)空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B 是同一集合。 ? ? 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 ? 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 B(或 B A)

5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数 y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b 属于 Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a、b 属于 Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b 属于 Q) 指数函数对称规律: 1、函数 y=a^x 与 y=a^-x 关于 y 轴对称 2、函数 y=a^x 与 y=-a^x 关于 x 轴对称 3、函数 y=a^x 与 y=-a^-x 关于坐标原点对称 &对数函数 y=loga^x 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 ○ loga (M 〃 N ) ? loga M + loga N ; M 2 ? loga M - loga N ; ○ log a N 3 ○ loga M n ? n loga M (n ? R ) . 注意:换底公式 logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ). loga b ? logc a 幂函数 y=x^a(a 属于 R) 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x ? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+≦)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地, 当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从 右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图 象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做 函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x) 有零点. 3、函数零点的求法: 1 ○ (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; 2 ○ (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f (x) 的图象联 系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . (1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个 交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实根,二次函数的图象与 x 轴有一个 交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.

(3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 三、平面向量 向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量 &向量的运算 加法运算 AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。 已知两个从同一点 O 出发的两个向量 OA、OB,以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB,则以 O 为起点的 对角线 OC 就是向量 OA、OB 的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。 对于零向量和任意向量 a,有:0+a=a+0=a。 |a+b|≤|a|+|b|。 向量的加法满足所有的加法运算定律。 减法运算 与 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。 (1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。 数乘运算 实数λ与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa|=|λ||a|,当λ > 0 时,λa 的方向和 a 的方向相同,当λ < 0 时,λa 的方向和 a 的方向相反,当λ = 0 时,λa = 0。 设λ、μ是实数,那么:(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λ μ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ± λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。 向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。 向量的数量积 已知两个非零向量 a、b,那么|a||b|cos θ叫做 a 与 b 的数量积或内积,记作 a?b,θ是 a 与 b 的夹 角,|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影。零向量与任意向量的 数量积为 0。 a?b 的几何意义:数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积。 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 四、三角函数 1、善于用“1“巧解题 2、三角问题的非三角化解题策略 3、三角函数有界性求最值解题方法 4、三角函数向量综合题例析 5、三角函数中的数学思想方法 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
性 函 质 数 y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ?? 2 ? ?

??1,1?
当 x ? 2k? ?

??1,1?
? k ? ??
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

R

?
2

最 值

时 , ymax ? 1 ; 当
x ? 2k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
2?

既无最大值也无最小 值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性
2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?
单 调 性



? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? ? 2 k? ? 2 , 2 k? ? 2 ? ? ?

? ?? ? 上 是 增 函 数 ; 在 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ? 2k? ,2k? ? ? ? ? ? k ? ? ? 上是增函数. ? k ? ? ? 上是减函数.

?2k? ? ? ,2k? ?? k ???

? k ? ? ? 上是减函数.
对 称 中 心 对 称 中 心 对 ? k? ,0?? k ??? 称 对 称 性 ? x ? k? ? ? k ? ? ? 2 对 称 中 心



? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

无对称轴

必修四 角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90
?

第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?
?

? ?

? k ? 360? ? 180? , k ? ?

? ? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第三象限角的集合为 ? k ? 360? ? 180? ? ? ? k ? 360? ? 270? , k ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?

4、已知 ? 是第几象限角,确定

?
n

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半
*

轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 口诀:奇变偶不变,符号看象限. 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα

? 终边所落在 n

tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上 k∈Z)

其他三角函数知识: 同角三角函数基本关系 ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ? cotα=1

sinα ? cscα=1 cosα ? secα=1 商的关系: sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α)

两角和差公式 ⒉两角和与差的三角函数公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ tan(α+β)=—————— 1-tanα ? tanβ tanα-tanβ tan(α-β)=—————— 1+tanα ? tanβ

倍角公式 ⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式) sin2α=2sinαcosα cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 2tanα tan2α=————— 1-tan^2(α)

半角公式 ⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

1-cosα sin^2(α/2)=————— 2 1+cosα cos^2(α/2)=————— 2 1-cosα tan^2(α/2)=————— 1+cosα

万能公式 ⒌万能公式 2tan(α/2) sinα=—————— 1+tan^2(α/2) 1-tan^2(α/2) cosα=—————— 1+tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα=—————— 1-tan^2(α/2) ⒏三角函数的积化和差公式 sinα ? cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα ? sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα ? cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα ? sinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]
判别式 b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前 n 项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L 是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h sin30:二分之一 sin45:二分之根二 sin60:二分之根三 cos30:二分之根三 cos45:二分之根二 cos60:二分之一 tan30:三分之根三 cos45:一 tan60:根三 等比数列: 若 q=1 则 S=n*a1 若 q≠1 推倒过程: S=a1+a1*q+a1*q^2+……+a1*q^(n-1) 等式两边同时乘 q S*q=a1*q+a1*q^2+a1*q^3+……+a1*q^ 1式-2式 有 S=a1*(1-q^n)/(1-q) 等差数列 推导过程: S=a1+(a1+d)+(a1+2d)+……(a1+(n-1)*d) 把这个公式倒着写一遍 S=(a1+(n-1)*d) +(a1+(n-2)*d)+(a1+(n-3)*d)+……+a1 上两式相加有 S=(2a1+(n-1)d)*n/2=n*a1+n*(n-1)*d/2

1.根据解析式研究函数性质 例 1(天津理)已知函数

f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 x ?R . ,

(Ⅰ)求函数

? π 3π ? f ( x) 的最小正周期;(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. ?8 4 ?

【相关高考 1】(湖南文)已知函数

π? π? π? ? ? ? f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ? x ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? . 8? 8? 8? ? ? ?

求:(I)函数

f ( x) 的最小正周期;(II)函数 f ( x) 的单调增区间.

【相关高考 2】(湖南理)已知函数

1 π? ? f ( x) ? cos 2 ? x ? ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 2 12 ? ?

(I)设 x ?

x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值.(II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

2.根据函数性质确定函数解析式

例 2(江西)如图,函数 期为 ? . (1)求 ? 和 ? 的值;

π y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤ ? ≤ ) 的图象与 y 轴相交于点 (0,3) ,且该函数的最小正周 0 2

y
3
O

?π ? (2)已知点 A ? ,? ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点,当 0 ?2 ?
y0 ? 3 ?π ? , x0 ? ? 2 ,π ? 时,求 x0 的值. 2 ? ?

P

A

x

【相关高考 1】 (辽宁) 已知函数

π? π? ?x ? ? , 求函数 f ( x ) f ( x) ? sin ? ? x ? ? ? sin ? ? x ? ? ? 2cos 2 ,x ? R(其中 ? ? 0 ) (I) 6? 6? 2 ? ?
π 2
,求函数

的值域; (II)(文)若函数

y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为

y ? f ( x) 的单调增区间.

(理)若对任意的 a ? R ,函数 必证明),并求函数

y ? f ( x) , x ? (a,a ? π] 的图象与直线 y ? ?1 有且仅有两个不同的交点,试确定 ? 的值(不

y ? f ( x),x ?R 的单调增区间.

【相关高考 2】(全国Ⅱ)在 △ ABC 中,已知内角 (1)求函数

A?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

y ? f ( x) 的解析式和定义域;(2)求函数 y ? f ( x) 的最大值.
1 π 13 ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,(Ⅰ)求 tan2α 的值;(Ⅱ)求 β. 7 2 14

3.三角函数求值 例 3(四川)已知 cosα=

【相关高考 1】 (重庆文)已知函数 f(x)=

?? ? 2 cos? 2 x ? ? 4? ?
sin(x ?

?

.(Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)若角 a 在第一象限,且 cos a ?

2

)

3 , 求f(a)。 5

【相关高考 2】 (重庆理)设 f ( x ) = 求 tan

求 (2) 6 cos2 x ? 3 sin 2 x(1) f( x )的最大值及最小正周期; 若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,

4 ? 的值. 5

4.三角形中的函数求值 例 4(全国Ⅰ)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a (Ⅰ)求 B 的大小;(文)(Ⅱ)若 a ? 3 【相关高考 1】(天津文)在 △ ABC 中,已知

? 2b sin A .

3 , c ? 5 ,求 b.(理)(Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.
AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ?
4 . 5

(Ⅰ)求 sin B 的值;(Ⅱ)求 sin ? 2 B ?

? ?

?? ? 的值. 6?
A? 1 3 , tan B ? .(Ⅰ)求角 C 的大小;文(Ⅱ)若 AB 边的长为 17 ,求 BC 4 5

【相关高考 2】(福建)在 △ ABC 中, tan

边的长.理(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 5.三角与平面向量

17 ,求最小边的边长.

例 5(湖北理)已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0≤ AB ?

??? ???? ? AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? .(I)求 ? 的取值范围;

(II)求函数

?π ? f (? ) ? 2sin 2 ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ?

【相关高考 1】(陕西)设函数 其中向量 a

f ?x ? ? a ? b ,
?
?4 ?

? (m, cos2x),b ? (1 ? sin 2x,1), x ? R ,且函数 y=f(x)的图象经过点 ? ,2 ? , ? ?

(Ⅰ)求实数 m 的值;(Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合. 【相关高考2】(广东)已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C( c ,0). (文)(1)若 AB ? 6 三角函数中的实际应用 例 6(山东理)如图,甲船以每小时 30
?

AC ? 0 ,求 c 的值;(理)若∠A 为钝角,求 c 的取值范围;(2)若 c ? 5 ,求 sin∠A 的值.

2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于
?

甲船的北偏西 105 方向的 B1 处, 此时两船相距 20 海里, 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相距 10

2 海里,问乙船每小时航行多少海里?
AB 时 , 可 以 选 与 塔 底 B 在 同 一 水 平 面 内 的 两 个 侧 点 C 与 D . 现 测 得
,求塔高

【相关高考】(宁夏)如图,测量河对岸的塔高

?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ?

AB .



120? A 2

B2 B1

7.三角函数与不等式 例 7(湖北文)已知函数

105? A 1


?π ? ?π π? f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? .(I)求 f ( x) 的最大值和最小值; ?4 ? ?4 2?

(II)若不等式

?π π? f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?
x x f ?x ? ? ? cos 2 x ? 4t sin cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4, x ? R 2 2

8.三角函数与极值 例 8(安徽文)设函数 其中 t ≤1,将

f ?x ? 的最小值记为 g(t).
三角函数易错题解析

(Ⅰ)求 g(t)的表达式;(Ⅱ)讨论 g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.

例题 1

已知角 ? 的终边上一点的坐标为( sin A、

5? 6

B、

2? 3

C、

5? 3

2? 2? , cos 3 3 11? D、 6

),则角 ? 的最小值为(

)。

例题 2

A,B,C 是 ? ABC 的三个内角,且 tan A, tan B 是方程 3x A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形

2

? 5 x ? 1 ? 0 的两个实数根,则 ? ABC 是(



D、等边三角形 ,

例题 3

已知方程 x

2

? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan ? , tan ?
的值是_________________.

且? 、 ?

? ?? ? ? ?? ? ? ? , ? ,则 tan 2 ? 2 2?

例题 4 例题 5 例题 6 例题 7 例题 8 例题 9 例题 10

函数

? f( ) a n ?的最大值为 3,最小值为 2,则 a ______, b ? _______。 x? s x b i
sin x cos x 的值域为______________。 1 ? sin x ? cos x

函数 f(x)= 若 2sin2α

? sin 2 ? ? 3sin ? , 则sin 2 ? ? sin 2 ?

的取值范围是

已知 ? ? ? ,求 ? ? ? 求函数 求函数

y cs ?s ? ?o 6n 的最小值及最大值。 ? i

f ( x) ?

2 tan x 的最小正周期。 1 ? tan 2 x

f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 cos(

?

3 ? f ( x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0,0 ≤ ? ≤ ? ) 是 R 上的偶函数,其图像关于点 M ( ? ,0) 对称,且在区间[0, 4 2 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。
已知函数

4

? x) ? 3 的值域
]

2011 三角函数集及三角形高考题

1.(2011 年北京高考 9)在 ? ABC 中,若

b ? 5, ?B ?

?
4

,sin A ?

1 3 ,则 a ?

.

2.(2011 年浙江高考 5).在 ?ABC 中,角

A, B, C 所对的边分 a , b, c .若 a cos A ? b sin B ,则 sin A cos A ? cos2 B ?

(A)-

1 2

(B)

1 2

(C)

-1

(D) 1

3.(2011 年全国卷 1 高考 7)设函数 重合,则 ? 的最小值等于

? f ( x) ? cos ? x(? ? 0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 3 个单位长度后,所得的图像与原图像

1 (A) 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

5.(2011 年江西高考 14)已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 则 y=_______.

p ? 4, y ?

是角 ? 终边上一点,且

sin ? ? ?

2 5 5 ,

6. (2011 年安徽高考 9)已知函数 则

f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若

f ( x) ? f ( ) 6

?

对 x ? R 恒成立,且

f ( ) ? f (? ) 2 ,

?

f ( x) 的单调递增区间是

? ?? ? ? k? ? 3 , k? ? 6 ? ( k ? Z ) ? (A) ?

?? ? ? k? , k ? ? 2 ? ( k ? Z ) ? (B) ?
? ? ? k? ? , k ? ? ( k ? Z ) ? 2 ? (D) ?
2 2 2

? 2? ? ? ? k? ? 6 , k ? ? 3 ? ( k ? Z ) ? (C) ?

7.(2011 四川高考 8)在△ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是

(0, ] 6 (A)

?

[ ,? ) (B) 6

?

(0, ] 3 (C)

?

[ ,? ) (D) 3

?

f ( x) ? 4 cos x sin( x ?
1.(2011 年北京高考 17)已知函数

?
6

) ? 1.

(Ⅰ)求

f ( x) 的最小正周期;(Ⅱ)求

? ? ?? ? , f ( x) 在区间 ? 6 4 ? 上的最大值和最小值。 ? ?

3. (2011 年山东高考 17)

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 cos B b , 在 ?ABC 中,内角

sin C 1 cos B ? , b ? 2 4 (Ⅰ)求 sin A 的值;(Ⅱ)若 ,求 ?ABC 的面积 S。
5.(2011 年全国卷高考 18)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 a sin A ? csin C ?

2a sin C ? b sin B .

(Ⅰ)求 B;(Ⅱ)若

A ? 750 , b ? 2, 求a,c .
A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C.

6.(2011 年湖南高考 17)在 ? ABC 中,角

(I)求角 C 的大小;(II)求

3 sin A ? cos( B ? ) 4 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小. 1 ? f ( x) ? 2sin( x ? ) 3 6 , x? R .

?

7.(2011 年广东高考 16)已知函数

f(
(1)求

? ?? 5? ? , ? ? ?0, ? f (3? ? ? ) ? 10 f (3? ? 2? ) ? 6 ) ? 2?, 4 的值;(2)设 2 13 , 5 ,求 cos(? ? ? ) 的值.
f ( x) ? sin( x ? 7? 3? ) ? cos( x ? ) 4 4 ,x ? R. 4 4 ? cos(? ? ? ) ? ? 0 ?? ? ? ? 2 5, 5, 2 .求证: [ f (? )] ? 2 ? 0 .

8.(2011 年广东高考 18)已知函数 (Ⅰ)求

f ( x)

cos(? ? ? ) ?
的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知

9.(2011 年江苏高考 17)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为

a, b, c

sin( A ?
(1)若

?
6

) ? 2 cos A,

1 cos A ? , b ? 3c 3 求 A 的值;(2)若 ,求 sin C 的值.

10.(2011 高考)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 求 B。

b 2 a。(I)求 a

;(II)若 c2=b2+

3 a2,

11.

1 a? ,b?2 o C? 1 ,c s 4 (2011 年湖北高考 17)设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知

(I) 求 ?ABC 的周长;(II)求

cos(A?C) 的值。
cos 2C ? ? 1 4

12. (2011 年浙江高考 18)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (I)求 sinC 的值;(Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 2011 三角函数集及三角形高考题答案

1.(2011 年北京高考 9)在 ? ABC 中,若

b ? 5, ?B ?

?
4

,sin A ?

1 3 ,则 a ?

.

a 5 5 2 ? ,a ? a b ? 1 5 2 1 ? 3 ? b ? 5, ?B ? ,sin A ? sin 4 4 3 所以 3 【答案】 3 【解析】:由正弦定理得 sin A sin B 又
2.(2011 年浙江高考 5).在 ?ABC 中,角

A, B, C 所对的边分 a , b, c .若 a cos A ? b sin B ,则 sin A cos A ? cos2 B ?

(A)-

1 2

(B)

1 2

(C)

-1

(D) 1

【答案】D【解析】∵ a cos ∴ sin

A ? b sin B ,∴ sin A cos A ? sin 2 B ,

A cos A ? cos2 B ? sin 2 B ? cos2 B ? 1 .

3.(2011 年全国卷 1 高考 7)设函数 重合,则 ? 的最小值等于

? f ( x) ? cos ? x(? ? 0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 3 个单位长度后,所得的图像与原图像

1 (A) 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

? y ? f ( x) 的图像向右平移 3 【解析】由题意将
2?

? 个单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了 3

是此函数周期的整数倍,得

?

?k ?

?
3

(k ? Z )

,解得 ?

? 6k ,又 ? ? 0 ,令 k ? 1 ,得 ?min ? 6 .

4.(2011 全国卷),设函数

(A)y=



单调递增,其图像关于直线

对称(B)y=



单调递增,其图像关于直线

对称

(C)y= f (x)

π 在(0, 2

)单调递减,其图像关于直线 x =

π 4

对称(D)y= f (x)

π 在(0, 2

)单调递减,其图像关于直线 x =

π 2

对称

解析:解法一:f(x)=

? 2 sin(2x+ 2 )= 2 cos2x.所以 f(x)

π 在(0, 2

)单调递减,其图像关于直线 x =

π 2

对称。故选 D。

5.(2011 年江西高考 14)已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 则 y=_______.

p ? 4, y ?

是角 ? 终边上一点,且

sin ? ? ?

2 5 5 ,

答 案 : — 8. 解 析 : 根 据 正 弦 值 为 负 数 , 判 断 角 在 第 三 、 四 象 限 , 再 加 上 横 坐 标 为 正 , 断 定 该

角为第四象限角。

y 2 5 对边 ?? sin ? ? 2 5 ? y ? ?8 斜边 = 16 ? y
f ( x) ? f ( ) 6

?

6. (2011 年湖南高考 9) 【解析】 若

对 x ? R 恒成立, 则

? ? ? ? f ( ) ? sin( ? ? ) ? 1 ? ? ? k? ? , k ? Z 6 3 2 , 所以 3 ,
s i n ( ? ?) ?? s i?n?( ?, 2

? ? k? ?

?
6

,k ?Z
. 由

f ( ) ? f (? ) 2

?

, (

k?Z

) , 可 知



s) i ? ? n

, 所 以

0

? ?( 2 ? 1) k ??
?
6

?
6

k? Z ,
,代入

f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,得

f ( x) ? ? sin(2 x ?

?
6

)
,由

2 k? ?

?
2

剟2 x ?

?
6

2 k? ?

3? 2



k? ?


剟x

k? ?

2? 3

,故选 C.

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2 2 2 2 2 2 2bc 2, 7.(2011 四川高考 8)解析:由 sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C 得 a ? b ? c ? bc ,即
cos A ?


1 ? 0? A? 2 ,∵ 0 ? A ? ? ,故 3 ,选 C.

f ( x) ? 4 cos x sin( x ?
1.【解析】:(Ⅰ)因为

?
6

) ? 1 ? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2 [高考资源网 KS5U.COM]

? ? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1 ? 3 sin 2x ? cos2x ? 2 sin( 2 x ? 6 ) f (x) 的最小正周期为 ? 所以
?
(Ⅱ)因为

?
6

?x?

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

2? . 3

2x ?
于是,当

?
6

?

?
2

, 即x ?

?
6
时,

f (x)

取得最大值 2;当

2x ?

?
6

??

?

, 即x ? ? 时, f ( x) 6 6 取得最小值—1.
f ( x) ? A sin (

?

?
3

x ? ?)

2.(2011 年浙江高考 18)已知函数

, x? R,

A ? 0,

0 ?? ?

?

2 . y ? f ( x) 的部分图像,如图所示,

P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点,点 P 的坐标为 (1, A) .

(Ⅰ)求

f ( x) 的最小正周期及 ? 的值;(Ⅱ)若点 R 的坐标为 (1, 0) ,

?PRQ ?

2? 3

,求

A 的值.

T?
2.(Ⅰ)解:由题意得,

2?

?

?6
P(1, A) 在 因为

3

y ? A sin( x ? ? ) 3 的图像上

?

? ? sin( ? ? ) ? 1. 0 ?? ? 3 2 所以 又因为
?
(

??
,所以

?
6
(Ⅱ)解:设点 Q 的坐标为

x0 , A ). , 由 题 意 可 知 3

x0 ?

?
6

?

2? 3

,得

x0 ? 4 , 所 以 Q( 4,? A ), 连 接

PQ, 在 △PRQ

2? 中 , ∠PRQ= 3

,由余弦定理得

2 2 2 2 RP2 ? RQ2 ? PQ A ? 9 ? A? (9? A) 1 cos?PRQ ? ? ? 2RP .RP 2 ,解得 A2=3。 2 3. 9? A2

又 A>0,所以 A=

3。
cos A ? 2 cos C 2c ? a ? A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 cos B b , 在 ?ABC 中,内角

3. (2011 年山东高考 17)

sin C 1 cos B ? , b ? 2 4 (Ⅰ)求 sin A 的值;(Ⅱ)若 ,求 ?ABC 的面积 S。

cos A ? 2 cos C 2c ? a cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? ? cos B b 及正弦定理可得, cos B sin B 解:(Ⅰ)在 ?ABC 中,由 ,
即 sin 则 sin

A sin B ? 2 cos C sin B ? 2sin C cos B ? sin A cos B A sin B ? sin A cos B ? 2sin C cos B ? 2 cos C sin B

sin( A ? B) ? 2sin(C ? B)
cos ? 2 cos A C ? cos B

,而

A? B ? C ? ?

,则

s i n ? 2 s An, 即 C i

sin C ?2 s i nA

。另解 1:在

?ABC

中,由

c2 a ? b 可得, b cos A ? 2b cos C ? 2c cos B ? a cos B

由余弦定理可得

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? b2 ? ? ? 2c a a 2c

,整理可得

c ? 2a

,由正弦定理可得

sin C c ? ?2 sin A a







2



























?ABC









a ? c o s? b C
bc o A s ?

c c o ?s B
b ? 2 C c

b,

c c o s a ? A ?

cC o ? 由 , c s a

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? B o bs c A bc o s可 cos B
s



o ? c cos A ? a cos B ?a c cos B ?B b s C ,则 c c 2a , B 2 2 o 2 cos ? o 即b s

sin C c 1 ? ?2 cos B ? , b ? 2 4 ? c2 ? a2 ? 2ac cos B ? 4a2 ? a2 ? a2 ? 4a2 , a 4 由正弦定理可得 sin A 。 (Ⅱ)由 c ? 2a 及 可得

1 1 15 ? ac sin B ? ?1? 2 ? 1 ? cos 2 B ? 2 4 则 a ? 1 , c ? 2 ,S 2

S?
,即

15 4 。
3 ,b= 2 , 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,求边

4.(2011 年安徽高考 16)在 ? ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= BC 上的高.

1 ?2c s B ? C 0? o( ) 解: ∵A+B+C=180° 所以 B+C=A, , 又

1 ?2c s1 0 o(8 , ∴

?

) A? ? 0

os , 1 ?2c 即

A0 ?

cos A ?


1 2,

b sin A 2 sin 60? 2 a b sin B ? ? ? ? a 2 3 又 0°<A<180°,所以 A=60°.,在△ABC 中,由正弦定理 sin A sin B 得
又∵ b
? ? ? ? a ,所以 B<A,B=45°,C=75°,∴BC 边上的高 AD=AC?sinC= 2 sin 75 ? 2 sin(45 ? 30 )



? 2(sin 45 cos30 ? cos 45 sin30 )
? ? ? ?

? 2(

2 3 2 1 3 ?1 ? ? ? )? 2 2 2 2 2 .

5.(2011 年全国卷高考 18)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 a sin A ? csin C ?

2a sin C ? b sin B .

(Ⅰ)求 B;(Ⅱ)若

A ? 750 , b ? 2, 求a,c .
? c ? 2ac ? b
2

【解析】(I)由正弦定理得 a

2

2

…由余弦定理得 b

2

? a ? c ? 2ac cos B .故
2 2

cos B ?

2 2

,因此 B ? 45

?



II



sin A ? sin(30 ? 45 )
? ?

? sin 30 cos 45 ? cos30 sin 45
? ? ?

?

?

2? 6 4



a ? b?

? sin A 2? 6 ? ? 1 ? 3 c ? b ? sin C ? 2 ? sin 60? ? 6 sin B 2 sin B sin 45 .……………………………

6.(2011 年安徽高考 17)在 ? ABC 中,角

A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C.

(I)求角 C 的大小;(II)求 解 析 : ( )

3 sin A ? cos( B ? ) 4 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.
由 正 弦 定 理 得

?

I

sin C sin A ? sin A cos C.





0 ? A ??,
n





s

A ? n 从而 0 i

.C ?
?

又C n s i

所以 o ?c C

s

3? ? B ? , ? A. t a 则 ? c o s . C ? C 0 4 4 (II)由(I)知 于是

1 ,

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 ? 3? ? ? 11? ? ? ? ?0 ? A ? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 2 sin( A ? ) 6 取最大值 2. 4 6 6 12 6 2 3 ,

?

综上所述,

? ? 5? 3 sin A ? cos( B ? ) A ? ,B ? . 4 的最大值为 2,此时 3 12
1 ? f ( x) ? 2sin( x ? ) 3 6 , x? R .

7.(2011 年广东高考 16)已知函数

f(
(1)求

? ?? 5? ? , ? ? ?0, ? f (3? ? ? ) ? 10 f (3? ? 2? ) ? 6 ) ? 2?, 4 的值;(2)设 2 13 , 5 ,求 cos(? ? ? ) 的值.
f( 5? 1 5? ? ? ? 1 ? ? 10 ) ? 2sin( ? ? ) ? 2sin ? 2 f (3? ? ) ? 2sin[ (3? ? ) ? ] ? 2sin ? ? 4 3 4 6 4 2 3 2 6 13 , (2)

16.解:(1)

sin ? ?


? ?? 5 3 1 ? ? 6 ? , ? ? ?0, ? cos ? ? f (3? ? 2? ) ? 2sin[ (3? ? 2? ) ? ] ? 2sin( ? ? ) ? ? 2?, 13 , 5 ,∵ 3 6 2 5 ,即
cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 12 13
sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?




4 5



cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

f ( x) ? sin( x ?
8.(2011 年广东高考 18)已知函数

12 3 5 4 16 ? ? ? ? 13 5 13 5 65 7? 3?
4 ) ? cos( x ? cos(? ? ? ) ?

) 4 ,x ? R.

4 4 ? cos(? ? ? ) ? ? 0 ?? ? ? ? 2 5, 5, 2 .求证: [ f (? )] ? 2 ? 0 . (Ⅰ)求 的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知 ? 7? 7? 3? 3? ? 2sin( x ? ) f ( x) ? sin x cos ? cos x sin ? cos x cos ? sin x sin 4 ,∴ f ( x) 的最 4 4 4 4 ? 2 sin x ? 2 cos x (Ⅰ)解析: 4 4 cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? T ? 2? ,最小值 f ( x)min ? ?2 .Ⅱ)证明:由已知得 5, 5 ,两 小正周期
f ( x)
式相加得 ∴

2cos ? cos ? ? 0

0 ?? ? ? ?
,∵ .

?
2 ,∴

cos ? ? 0

??
,则

?
2.

[ f (? )]2 ? 2 ? 4sin 2

?
4

?2?0

9.(2011 年江苏高考 17)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为

a, b, c

sin( A ?
(1)若

?
6

) ? 2 cos A,

1 cos A ? , b ? 3c 3 求 A 的值;(2)若 ,求 sin C 的值.

? sin( A ? ) ? 2 cos A,? sin A ? 3 cos A,? A ? 6 3 解析:(1) 1 ? cos A ? , b ? 3c,? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 8c 2 , a ? 2 2c 3 (2)

?

?

2 2c c ? sin C 由正弦定理得: sin A

sin A ? 1 ? cos2 A ?
,而

1 2 2 , ? sin C ? 3 。(也可以先推出直角三角形) 3

基本定义
定义:我们把平面内与两个定点 F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为2a)的轨迹称为双曲线。 (平 面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线) 即:│PF1-PF2│=2a 定义1:

平面内,到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离[1])的点的轨迹称为双曲线。定点 叫双曲线的焦点。 定义2:平面内,到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点, 定直线叫双曲线的准线。 定义3: 一平面截一圆锥面, 当截面与圆锥面的母线不平行, 且与圆锥面的两个圆锥都相交时, 交线称为双曲线。 定义4:在平面直角坐标系中,二元二次方程 F(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时,其图像为双 曲线。 1.a、b、c 不都是零. 2.b^2 - 4ac > 0. 注:第2条可以推出第1条。 在高中的解析几何中,学到的是双曲线的中心在原点,图像关于 x,y 轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为:

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1. 上述的四个定义是等价的,并且根据建好的前后位置判断图像关于 x,y 轴对称。
[2]

编辑本段标准方程

1、焦点在 X 轴上时为: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 2、焦点在 Y 轴上时为: y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1

编辑本段概念特征

以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。

分支
双曲线有两个分支。

焦点
在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点,定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦 点。

准线
在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线

离心率
在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比,称为该双曲线的离心率。 离心率 e=c/a 双曲线有两个焦点,两条准线。 (注意:尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。但是给定同侧的一个焦点, 一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支,而两侧的焦点,准线和相同离心率得到的双曲线是相同 的。)

顶点
双曲线与两焦点连线的交点,称为双曲线的顶点。

渐近线
双曲线有两条渐近线。

渐近线的方程求法是:将右边的常数设为0,即可用解二元二次的方法求出渐近线的解,例如:X^2/2-Y^2/4=1, 令1=0,则 X^2/2=Y^2/4,则双曲线的渐近线为 Y=± (√2)X

编辑本段几何性质

轨迹上一点的取值范围
[1]

│x│≥a(焦点在 x 轴上)或者│y│≥a(焦点在 y 轴上)。

对称性
关于坐标轴和原点对称。

顶点
A(-a,0),A'(a,0)。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a. B(0,-b),B'(0,b)。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b. F1(-c,0)F2(c,0).F1为双曲线的左焦点,F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c 对实轴、虚轴、焦点有:a^2+b^2=c^2

渐近线
焦点在 x 轴:y=± (b/a)x. 焦点在 y 轴:y=± (a/b)x. 圆锥曲线 ρ=ep/1-ecosθ 当 e>1时,表示双曲线。其中 p 为焦点到准线距离,θ 为弦 与 x 轴夹角。 令1-ecosθ=0可以求出 θ,这个就是渐近线的倾角。θ=arccos(1/e) 令 θ=0,得出 ρ=ep/(1-e),x=ρcosθ=ep/(1-e) 令 θ=PI,得出 ρ=ep/(1+e),x=ρcosθ=-ep/(1+e) 这两个 x 是双曲线定点的横坐标。 求出它们的中点的横坐标(双曲线中心横坐标) x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 (注意化简一下) 直线 ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴。 将这条直线顺时针旋转 PI/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是 θ’ 则 θ’=θ-[PI/2-arccos(1/e)]

则 θ=θ’+[PI/2-arccos(1/e)] 代入上式: ρcos{θ’+[PI/2-arccos(1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 即:ρsin[arccos(1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 现在可以用 θ 取代式中的 θ’了 得到方程:ρsin[arccos(1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 现证明双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2=1 上的点在渐近线中 设 M(x,y)是双曲线在第一象限的点,则 y=(b/a)√(x^2-a^2) (x>a) 因为 x^2-a^2<x^2,所以 y=(b/a)√(x^2-a^2)<b/a√x^2=bx/a 即 y<bx/a 所以,双曲线在第一象限内的点都在直线 y=bx/a 下方 根据对称性第二、三、四象限亦如此

离心率
第一定义:e=c/a 且 e∈ (1,+∞). 第二定义:双曲线上的一点 P 到定点 F 的距离│PF│ 与 点 P 到定直线(相应准线)的距离 d 的比等于双曲线 的离心率 e. d 点│PF│/d 线(点 P 到定直线(相应准线)的距离)=e

双曲线焦半径公式
(圆锥曲线上任意一点 P(x,y)到焦点距离) 左焦半径:r=│ex+a│ 右焦半径:r=│ex-a│

等轴双曲线
一双曲线的实轴与虚轴长相等 即:2a=2b 且 e=√2 这时渐近线方程为:y=± x(无论焦点在 x 轴还是 y 轴)

共轭双曲线
双曲线 S'的实轴是双曲线 S 的虚轴 且 双曲线 S'的虚轴是双曲线 S 的实轴时,称双曲线 S'与双曲线 S 为共轭 双曲线。

几何表达:S:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S':(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 特点:(1)共渐近线;与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点 (2)焦距相等 (3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1

准线
焦点在 x 轴上:x=± a^2/c 焦点在 y 轴上:y=± a^2/c

通径长
(圆锥曲线中,过焦点并垂直于轴的弦) d=2b^2/a 11、过焦点的弦长公式: d=2pe/(1-e^2cos^2θ)

弦长公式
d = √(1+k^2)|x1-x2| = √[(1+k^2)(x1-x2)^2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √[(1+1/k^2)(y1-y2)^2 ] 推导如下: 由 直线的斜率公式:k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 分别代入两点间的距离公式:|AB| = √[(x1 - x2)^2; + (y1 - y2)^2; ] 稍加整理即得: |AB| = |x1 - x2|√(1 + k^2;) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k^2;) · 双曲线的标准公式与反比例函数 X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的

因为 xy = c 的对称轴是 y=渎雁淫詫颠E渎雁淫詫颠^2 = 1的对称轴是 x 轴,y 轴 所以应该旋转45度 设旋转的角度为 a(a≠0,顺时针) (a 为双曲线渐进线的倾斜角) 则有 X = xcosa + ysina Y = - xsina + ycosa 取 a = π/4 则 X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 = (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 = 4 (√2/2 x) (√2/2 y) = 2xy. 而 xy=c 所以 X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0) 由此证得,反比例函数其实就是双曲线的一种形式,.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.

双曲线内、上、外
在双曲线的两侧的区域称为双曲线内,则有 x^2/a^2-y^2/b^2>1; 在双曲线的线上称为双曲线上,则有 x^2/a^2-y^2/b^2=1; 在双曲线所夹的区域称为双曲线外,则有 x^2/a^2-y^2/b^2<1。

编辑本段面积公式

若 ∠ F1PF2=θ, 则 S△F1PF2=b^2× cot(θ/2)或 S△F1PF2=b^2/tan(θ/2) · 例:已知 F1、F2为双曲线 C:x2-y2=1的左右焦点,点 P 在 C 上,∠ F1PF2=60° ,则 P 到 x 轴的距离为多

少? 解:由双曲线焦点三角形面积公式 得 S△F1PF2=b^2× cot(θ/2)=√3 设 P 到 x 轴的距离为 h,则 S△F1PF2 =1/2× 2√2; h =√6/2 h×

2、双曲线的标准方程(中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的方程)

如果双曲线的焦点在 x 轴上,标准方程为

(a>0,b>0)

如果双曲线的焦点在 y 轴上,标准方程为

(a>0,b>0).

双曲线标准方程中 a>0,b>0,但 a 不一定大于 b.如果 x2的系数是正的,那么焦点在 x 轴上,如果 y2的系 数是正的,那么焦点在 y 轴上,有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置.要学会利用题设条件求 a、 b 并判断焦点所在的坐标轴求双曲线方程,或用待定系数法确定双曲线方程;另外,在方程 Ax2+By2=C 中,只 要 AB<0,且 C≠0,方程表示双曲线方程. 3、双曲线的几何性质 (1)双曲线的几何性质包括:范围、对称轴、对称中心及其实轴与虚轴的概念、焦距与焦点坐标、离心率、 准线、渐近线方程等.

关于双曲线渐近线方程的记忆,只须将双曲线标准方程中的1改为0即可.如双曲线

的渐近线方

程为

,即

,这两条直线恰是边长2a、2b 的矩形的两条对角线所在的直线.当双曲线的两支

向外延伸时,与这两条直线无限接近,但永不相交.

渐近线是双曲线特有的性质,理解渐近线的渐近性,可以理解为:

,当 x 无限增大时,

无限接近于0,所以 y 无限趋近于

. .

(2)等轴双曲线 x2-y2=±a2的渐近线方程是 y=±x,离心率

(3)离心率的求解注意运用几何性质,将相关线段关系转化为 a、b、c 的齐次等式.

(4)与双曲线 4、要掌握双曲线的第二定义:

有相同渐近线的方程是



在平面上到一定点 F 的距离与到一定直线距离之比为一个大于1的常数 e 的点的轨迹.即

.教材例

5即是应用双曲线的第二定义 几何性质见下表: 标准方 程 (a>0,b>0) (a>0,b>0)

图形

范围 对称性 离心率 顶点 焦点 准线 渐近线 4、直线与双曲线的位置关系

|x|≥a,y∈R

|y|≥a,x∈R

对称轴:x 轴、y 轴,对称中心:原点

(-a,0)(a,0) (-c,0)(c,0)

(0,-a),(0,a) (0,-c)(0,c)

(1)一次方程与二次方程所表示的是直线与曲线的位置关系,一般处理方法均是将一次方程代入二次方程 考查解的个数,但这里直线方程代入双曲线方程后当二次项为零时,即是直线与渐近线平行时,有一个交点, 然后讨论△与零的大小判断解的个数. 直线与圆锥曲线相交的弦长问题

(2)直线 l︰y=kx+b,与二次曲线 C︰(x, y)=0交于 A、B 两点,由

得:ax2+bx+c=0 (a≠0),



. (3)利用“点差法”来解决中点弦问题,其基本思路是设点(即设出弦的端点坐标)——代入(即将端点

代入曲线方程)——作差(即两式相减)——得出中点坐标与斜率的关系。 (4)圆锥曲线中的对称问题 对于曲线上点关于直线的对称问题处理时要抓住三点: (1)对称点的连线垂直于对称轴(垂直); (2)对称点的连线段的中点在对称轴上(平分); (3)对称点所在直线与曲线相交(△>0)。


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