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2.4.2.抛物线的简单几何性质1


2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)

一、复习回顾: 1、抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F和一条定直线l (l不经

过点F )的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
定 点 F是 抛 物 线 的 焦 点 , 定 直 线 l叫 做 抛 物 线 的 准 线 .
K

y

/>l

d

.M
.
F
x

O

2、抛物线的标准方程:
标准方程 y ? 2 px ( p ? 0 )
2

y ? ? 2 px ( p ? 0 )
2

x ? 2 py ( p ? 0 )
2

x ? ? 2 py ( p ? 0 )
2

y

y

y

y o x
F

图 形

F

.
F(

o

x

F

.

o

x

F

x

o

p 2





线

,0 )

F (?

p 2

,0 )
p 2

F (0,

p 2

) p 2

F (0 ,? y ?

p 2 p 2

)

x ? ?

p 2

x ?

y ? ?

二、讲授新课: 抛物线y2=2px(p>0)

y

l

d

.M

K

的几何性质:
(1)范围 x≥0,y∈R

O

.

F

x

(2)对称性 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴. (3)顶点 (4)离心率 抛物线和它的轴的交点.

抛物线上的点到焦点的距离和它到准 线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示, 由抛物线的定义可知,e=1

方程 图 形 范围

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y l
x

x2 = 2py (p>0) y
F

x2 = -2py (p>0) y
x
l

(p>0) y
l O F

l x

F

O

x

O

O

F

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

x∈R y≤0
关于y轴对称

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称

顶点
离心率

(0,0) e=1

三、例题选讲:
例1. 已知抛物线关于x轴对称, 顶点在坐标原
点, 并且过点M(2, ? 2 2 ), 求它的 标准方程.
y
2

2=4x y
y
2

1

1

-1 -1

O

1

2

3

4

x

-1 -1

O

1

2

3

4

x

-2

-2

-3

-3

练 习 、 求 焦 点 为 F ( ? 2 , 3), 准 线 方 程 为 y ? 5 的抛物线方程.
解:设 P ( x , y ) 是抛物线上任意一点
则由抛物线的定义知:
P 到 F 的 距 离 等 于 到 直 线 y ? 5的 距 离
y



( x ? 2 ) ? ( y ? 3)
2
2

2

?| y ? 5 |
?

.
P

F
O

化简得: ( x ? 2 ) ? ? 4 ( y ? 4 )

x

点F

例 4 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦 ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 A B 的长.

解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);

法三:活用定义,运用韦达定理,计算弦长.
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.

解法1

F1(1 , 0), l的 方 程 为 : y ? x ? 1

?y ? x ?1 2 ? x ? 6x ?1 ? 0 ? 2 ? y ? 4x

?x ? 3 ? 2 2 ? 1 ? ? ? y1 ? 2 ? 2 2 ?
2



?x ? 3 ? 2 2 ? 2 ? ? y2 ? 2 ? 2 2 ?
2

AB = (x1 - x 2 ) +(y1 - y 2 ) = 8

解法2

F1(1 , 0), l的 方 程 为 : y ? x ? 1

?y ? x ?1 2 ? x ? 6x ?1 ? 0 ? 2 ? y ? 4x

? x1 + x 2 = 6, x1x 2 = 1
? AB ? =

? 1 ? k ? [? x
2 2 2

1

? x 2 ? ? 4 x1 x 2 ]
2

?1 ? 1 ? ? 6 ? 4 ? 1 ? ? 8 ? ?? ?

解法3

F1(1 , 0), l的 方 程 为 : y ? x ? 1

?y ? x ?1 2 ? x ? 6x ?1 ? 0 ? 2 ? y ? 4x

? x1 + x 2 = 6, x1x 2 = 1

y
6

A1

5

|AB |= |AF|+ |BF |
= |AA1 |+ |BB1 |

4

A

3

2

1

=(x1+1)+(x2+1)
=x1+x2+2=8
B1
-1 -2

F
O
1 2 3 4 5 6 7 8

x

B

∴ , ,

解法4
FA

=

A A1 ? K H ? p ? F A co s ?

FA ?

p 1 ? cos ?
FB ?
p
6

y

A1
p

5

同理
AB ? ?

4

A

1 ? cos ?
? p 1 ? cos ?
2 ?

3

2

1 ? cos ? 2p s in ?
2

K
B1

1

F
O
1 2 3 4 5 6

H
7 8

?

2? 2 s in 4 5

x

? 8

-1

B

-2

y
5

4

练习 P72 4

3

2

1

-1 -1

O

1

2

3

4

5

x

-2

x=3

-3

-4

-5



抛物线y2=4x的焦点为F,

y
5

点M在抛物线上运动, A(2,2), 试求
|MA|+|MF|的最小值. 解 |MA|+|MF|
A1
-1

4

3

2

A
O
1 2 3 4 5

1

x

-1

=|MA|+|MM1|
≥|AA1|=3 即 |MA|+|MF|的最小值为3.
M1

F

-2

-3

-4

M

-5

练习 抛物线y2=4x上的
5

y

点M到准线距离为d, A(2,4),
试求|MA|+d的最小值.
-1

A

4

3

2

1

O
-1

1

2

3

4

5

F

x

-2

-3

-4

d

M

-5

作业 P73 2, 5


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