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2013年高考数学总复习 5-1 平面向量的概念与线性运算 新人教B版


2013 年高考数学总复习 5-1 平面向量的概念与线性运算 新人 教B版
→ → → 1.(文)(2011· 宁波十校联考)设 P 是△ABC 所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则( → → A.PA+PB=0 → → C.PB+PC=0 [答案] B → → → → → [解析] 如图,根据向量加法的几何意义,BC+BA=2BP?P 是 AC 的中点,故PA+P

C =0. → → B.PC+PA=0 → → → D.PA+PB+PC=0

)

(理)(2011· 广西六校联考、北京石景山检测)已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC → → → 边中点,且 2OA+OB+OC=0,那么( → → A.AO=OD → → C.AO=3OD [答案] A → → → [解析] ∵OB+OC=2OD, → → → → ∴2OA+2OD=0,∴AO=OD. 2.(文)(2011· 皖南八校联考)对于非零向量 a,b,“a+b=0”是“a∥b 的”( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A [解析] 若 a+b=0,则 a=-b,所以 a∥b;若 a∥b,则存在实数 λ,使 a=λb,a+b =0 不一定成立,故选 A. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) ) → → B.AO=2OD → → D.2AO=OD

→ → → → → (理)(2011· 广东江门市模拟)若四边形 ABCD 满足AB+CD=0, -AD)· =0, (AB AC 则该四 边形一定是( ) B.菱形 D.正方形

A.直角梯形 C.矩形 [答案] B → → → → [解析] 由AB+CD=0 知,AB=DC,

即 AB=CD,AB∥CD.∴四边形 ABCD 是平行四边形. → → → → → 又(AB-AD)· =0,∴DB· =0,即 AC⊥BD, AC AC 因此四边形 ABCD 是菱形,故选 B. → → → → → → → 1 3. (文)如图所示, 在△ABC 中, = DC, =3ED, BD AE 若AB=a, =b, AC 则BE等于( 2 )

1 1 A. a+ b 3 3 1 1 C. a+ b 2 4 [答案] B → → → → 1 [解析] ∵AE=3ED,∴ED= AD, 4 → → → → 1 1 ∵BD= DC,∴BD= BC, 2 3

1 1 B.- a+ b 2 4 1 1 D.- a+ b 3 3

→ → → → → → → → 1 1 ∴BE=BD-ED=BD- AD=BD- (AB+BD) 4 4 → → → → 3 1 1 1 = BD- AB= BC- AB 4 4 4 4 → → 1 1 1 1 = AC- AB= b- a. 4 2 4 2

(理)在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线 → → → 与 CD 交于 点 F.若AC=a,BD=b,则AF=( 1 1 A. a+ b 4 2 1 1 C. a+ b 2 4 [答案] D → → 1 [解析] 由条件易知,DF= DC, 3 ) 1 2 B. a+ b 3 3 2 1 D. a+ b 3 3

→ → → → 2 1 2 1 ∴AF=AC+CF=a+ CD=a+ (b-a)= a+ b.故选 D. 3 3 3 3 4. (2011· 福建福州质量检查)如图,e1,e2 为互相垂直的单位向量,向量 a、b 如图,则 向量 a-b 可表示为( )

A.3e2-e1 C.e1-3e2 [答案] C

B.-2e1-4e2 D.3e1-e2

[解析] 连接图中向量 a 与 b 的终点,并指向 a 的终点的向量即为 a-b,∴a-b=e1- 3e2.

→ → 1 5.(文)(2011· 厦门模拟)已知点 M 在平面 ABC 内,并且对空间任一点 O,OM=xOA+ 2 → → 1 OB+ OC,则 x 的值为( 3 A.0 1 C. 2 [答案] D 1 1 1 [解析] ∵x+ + =1,∴x= . 2 3 6 → → → → → (理)(2011· 惠州模拟)在△ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若AD=2DB, =λCA+μCB, CD μ 则 的值为( λ A.1 C.2 [答案] C → → → → → 2 [解析] CD=CA+AD=CA+ AB 3 → → → → → 2 1 2 =CA+ (CB-CA)= CA+ CB 3 3 3 1 2 μ ∴λ= ,μ= ,∴ =2. 3 3 λ → → 6.设OA=e1,OB=e2,若 e1 与 e2 不共线,且点 P 在线段 AB 上,|AP|? PB|=2,如图 | → 所示,则OP=( ) ) 1 B. 2 1 D. 3 ) 1 B. 3 1 D. 6

1 2 A. e1- e2 3 3

2 1 B. e1+ e2 3 3

1 2 C. e1+ e2 3 3 [答案] C → → → → → → [解析] AP=2PB,∴AB=AP+PB=3PB, → → → → → 1 OP= OB+BP=OB- AB 3 → → → 1 1 2 =OB- (OB-OA)= e1+ e2. 3 3 3

2 1 D. e1- e2 3 3

→ 7.(2011· 山东济南市调研)如图, 在△ABC 中, = AN → → → → 1 2 NC,P 是 BN 上的一点,若AP=mAB+ AC,则实 3 11 数 m 的值为________. [答案] 3 11

→ → → [解析] (如图)因为AP=AB+BP

→ → → → → =AB+kBN=AB+k(AN-AB) → → → 1 =AB+k( AC-AB) 4 → → k =(1-k)AB+ AC, 4 k 2 所以 1-k=m,且 = , 4 11 8 3 解得 k= ,m= . 11 11

→ 2 8.(文)(2011· 合肥模拟)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A、B、C 三点满足OC= 3 → → → 1 |AC| OA+ OB,则 =________. 3 → |AB| [答案] 1 3

→ → → 2 1 2 1 [解析] ∵OC= OA+ OB, + =1, 3 3 3 3 ∴A、B、C 三点共线, → → → → → → 1 1 1 ∵AC=OC-OA= OB- OA= AB, 3 3 3 → |AC| 1 ∴ = . → 3 |AB| → (理)(2011· 聊城模拟)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若AC → → =λAE+μAF,其中, λ,μ∈R,则 λ+μ=________. [答案] [解析] 4 3

如图,∵ABCD 是?,且 E、F 分别为 CD、BC 中点. → → → ∴AC=AD+AB → → → → =(AE-DE)+(AF-BF) → → → → → → → 1 1 =(AE+AF)- (DC+BC)=(AE+AF)- AC, 2 2

→ → → 2 ∴AC= (AE+AF), 3 2 4 ∴λ=μ= ,∴λ+μ= . 3 3 → → → 9.(2011· 泰安模拟)设 a、b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b, 若 A、B、D 三点共线,则实数 p 的值是________. [答案] -1 → → → → → [解析] ∵BD=BC+CD=2a-b,又 A、B、D 三点共线,∴存在实数 λ,使AB=λBD.
? ?2=2λ 即? ,∴p=-1. ?p=-λ ?

→ 10.(文)如图,在平行四边形 ABCD 中,M、N 分别为 DC、BC 的中点,已知AM=c, → → → AN=d,试用 c、 d 表示AB、AD.

→ → → → 1 [解析] 解法一:AD=AM-DM=c- AB 2 → → → → 1 AB=AN-BN=d- AD 2 → 2 由①②得AB= (2d-c), 3 → 2 AD= (2c-d). 3





→ → → → 1 解法二:设AB=a,AD=b,因为 M、N 分别为 CD、BC 的中点,所以BN= b,DM= 2 1 a,于是有: 2

?c=b+2a ? 1 ?d=a+2b
1

?a=3?2d-c? ,解得? 2 ?b=3?2c-d?
2



→ → 2 2 即AB= (2d-c),AD= (2c-d). 3 3 → (理)如图,在△ABC 中,AM?AB=1? 3 ,AN?AC=1? 4 ,BN 与 CM 交于 P 点,且AB → → =a,AC=b,用 a,b 表示AP.

→ → [分析] 由已知条件可求AM、AN,∵BN 与 CM 相交于点 P,∴B、P、N 共线,C、P、 → → → → M 共线,因此,可以设PN=λBN,PM=μCM,利用同一向量的两种 a,b 的线性表示及 a、 → → → → → → b 不共线求解;也可以设BP=λBN,用 a、b,λ 来表示CP与CM,利用CP与CM共线及 a、b 不共线求解.解题方法很多,但无论什么方法,都要抓住“共线”来作文章. → → → → 1 1 1 1 [解析] 由题意知:AM= AB= a,AN= AC= b. 2 3 4 4 → → → → → → 1 1 BN=AN-AB= b-a,CM=AM-AC= a-b 4 3 → → → → → → λ μ 设PN=λBN,PM=μCM,则PN= b-λa, PM= a-μb. 4 3 → → → 1-λ 1 λ ∴AP=AN-PN= b-( b-λa)=λa+ b, 4 4 4 → → → 1-μ 1 μ AP=AM-PM= a-( a-μb)= a+μb, 3 3 3

→ 1-λ 1-μ 1-μ 1-λ 3 3 ∴λ a+ b= a+μb,而 a,b 不共线.∴λ= 且 =μ.∴λ= .因此AP= a 4 3 3 4 11 11 2 + b. 11 → → → → [点评] ∵P 是 CD 与 BE 的交点,故可设DP=λDC,利用 B、P、E 共线,∴BP与BE共 → → → 线,求出 λ,从而AP=AD+DP获解.

11.(2011· 山东青岛质检)在数列{an}中,an+1=an+a(n∈N*,a 为常数),若平面上的三个 → → → → → → 不共线的非零向量OA,OB,OC满足OC=a1OA+a2010OB,三点 A、B、C 共线且该直线不 过 O 点,则 S2010 等于( A.1005 C.2010 [答案] A [解析] 由题意知,a1+a2010=1, 又数列{an}为等差数列, a1+a2010 所以 S2010= × 2010=1005,故选 A. 2 → → 12.(文)(2011· 安徽安庆模拟)已知点 P 是△ABC 所在平面内一点,且满足 3PA+5PB+ → 2PC=0,设△ABC 的面积为 S,则△PAC 的面积为( 3 A. S 4 1 C. S 2 [答案] C [分析] 2 B. S 3 2 D. S 5 ) ) B.1006 D.2012

→ → → → → → 由系数 3+2=5, 可将条件式变形为 3(PA+PB)+2(PB+PC)=0, 故可先构造出PA+PB → → → → → → → → 1 1 与PB+PC,假设 P 为 P′点,取 AB、BC 中点 M、N,则PM= (PA+PB),PN= (PB+PC), 2 2 → → 条件式即转化为PM与PN的关系. [解析] 设 AB,BC 的中点分别为 M,N, → → → 1 则PM= (PA+PB), 2 → → → 1 PN= (PB+PC), 2 → → → ∵3PA+5PB+2PC=0, → → → → ∴3(PA+PB)=-2(PB+PC), → → ∴3PM=-2PN,即点 P 在中位线 MN 上, ∴△PAC 的面积为△ABC 面积的一半,故选 C. → → → 2 1 (理)(2011· 东北三校联考)在△ABC 中,点 P 是 AB 上的一点,且CP= CA+ CB,Q 是 3 3 → → BC 的中点,AQ 与 CP 的交点为 M,又CM=tCP,则 t 的值为( 1 A. 2 3 C. 4 [答案] C → → → 2 1 [解析] ∵CP= CA+ CB, 3 3 → → → → → → → ∴3CP=2CA+CB,即 2CP-2CA=CB-CP, → → ∴2AP=PB, 因此 P 为 AB 的一个三等分点,如图所示. 2 B. 3 4 D. 5 )

∵A,M,Q 三点共线, → → → ∴CM=xCQ+(1-x)CA → → x = CB+(x-1)AC(0<x<1), 2 → → → → → → x x ∵CB=AB-AC,∴CM= AB+( -1)AC. 2 2 → → → → → 1 ∵CP=CA-PA=-AC+ AB, 3 → → 且CM=tCP(0<t<1), → → → → x x 1 ∴ AB+( -1)AC=t(-AC+ AB), 2 2 3 x t x 3 ∴ = 且 -1=-t,解得 t= ,故选 C. 2 3 2 4 → → 13.已知点 A(2,3),C(0,1),且AB=-2BC,则点 B 的坐标为________. [答案] (-2,-1) → → → [解析] 设点 B 的坐标为(x,y),则有AB=(x-2,y-3),BC=(-x,1-y),因为AB=- → 2BC,
?x-2=2x, ? 所以? 解得 x=-2,y=-1. ? ?y-3=-2?1-y?,

→ → → → → 1 14.(文)(2010· 浙江宁波十校)在平行四边形 ABCD 中,AB=e1, =e2, = AC,BM AC NC 4 → → 1 = MC,则MN=________(用 e1,e2 表示) 2 2 5 [答案] - e1+ e2 3 12

→ → → 1 1 1 [解析] ∵NC= AC= e2,∴CN=- e2, 4 4 4 → → → → → → → 1 ∵BM= MC,BM+MC=BC=AC-AB=e2-e1, 2 → → → → 2 2 1 2 5 ∴MC= (e2-e1),∴MN=MC+CN= (e2-e1)- e2=- e1+ e2. 3 3 4 3 12 → → → (理)(2010· 聊城市模拟)已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点,点 P 满足PA+BP+CP= → → 0,AP=λPD,则实数 λ 的值为________. [答案] -2 [解析] 如图,∵D 是 BC 中点,将△ABC 补成平行四边形 ABQC,则 Q 在 AD 的延长 → → → → → → → 线上,且|AQ|=2|AD|=2|DP|,∵PA+BP+CP=BA+CP=0,∴BA=PC, → → 又BA=QC,∴P 与 Q 重合, → → → 又∵AP=λPD=-2PD,∴λ=-2.

15.(文)已知四点 A(x,0)、B(2x,1)、C(2,x)、D(6,2x). → → (1)求实数 x,使两向量AB、CD共线. → → (2)当两向量AB与CD共线时,A、B、C、D 四点是否在同一条直线上? → → [解析] (1)AB=(x,1),CD=(4,x).

→ → ∵AB∥CD, ∴x2-4=0,即 x=± 2. → → (2)当 x=± 时,AB∥CD. 2 → → 当 x=-2 时,BC=(6,-3),AB=(-2,1), → → ∴AB∥BC.此时 A、B、C 三点共线, 从而,当 x=-2 时,A、B、C、D 四点在同一条直线上. 但 x=2 时,A、B、C、D 四点不共线. → → (理)(2011· 济南模拟)已知△ABC 中,AB=a,AC=b,对于平面 ABC 上任意一点 O,动 → → 点 P 满足OP=OA+λa+λb ,则动点 P 的轨迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由. → → [解析] 依题意,由OP=OA+λa+λb, → → 得OP-OA=λ(a+b), → → → 即AP=λ(AB+AC).

如图,以 AB,AC 为邻边作平行四边形 ABDC,对角线交于 O, → → 则AP=λAD, ∴A、P、D 三点共线, 即 P 点的轨迹是 AD 所在的直线, 由图可知 P 点轨迹必过△ABC 边 BC 的中点(或△ABC 的重心).

→ → → → 1.(2010· 新乡市模考)设平面内有四边形 ABCD 和点 O,若OA=a,OB=b,OC=c,OD

=d,且 a+c=b+d,则四边形 ABCD 为( A.菱形 C.矩形 [答案] D

) B.梯形 D.平行四边形

→ → → → → [解析] 解法一:设 AC 的中点为 G,则OB+OD=b+d=a+c=OA+OC=2OG,∴G 为 BD 的中点,∴四边形 ABCD 的两对角线互相平分,∴四边形 ABCD 为平行四边形. → → → 解法二:AB=OB-OA=b-a, → → → → CD=OD-OC=d-c=-(b-a)=-AB, ∴AB 綊 CD,∴四边形 ABCD 为平行四 边形. → → 2.(2011· 银川模拟)已知 a、b 是两个不共线的向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R), 那么 A、B、C 三点共线的充要条件是( A.λ+μ=2 C.λμ=-1 [答案] D → → [解析] ∵A、B、C 三点共线,∴AB与AC共线, → → ∴存在 t∈R,使AB=tAC, ∴λa+b=t(a+μb)=ta+tμb,
? ?λ=t ∵a,b 不共线,∴? ,即 λμ=1. ? ?1=tμ

) B.λ-μ=1 D.λμ=1

3.设两个非零向量 a 与 b 不共线, → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. → → → [解析] (1)证明:∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) → =5(a+b)=5AB. → → ∴AB、BD共线,

又它们有公共点 B,∴A、B、D 三点共线. (2)解:∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), ∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=± 1. → → → 4.已知点 O(0,0)、A(1,2)、B(4,5),向量OP=OA+tAB. (1)t 为何值时,点 P 在 x 轴上? (2)t 为何值时,点 P 在第二象限? (3)四边形 ABPO 能否为平行四边形?若能,求出 t 的值;若不能,说明理由. (4)求点 P 的轨迹方程. → → → [解析] ∵OP =OA+tAB=(1,2)+t(3,3) =(1+3t,2+3t), ∴P(1+3t,2+3t). 2 (1)∵P 在 x 轴上,∴2+3t=0 即 t=- . 3
? ?1+3t<0 2 1 (2)由题意得? .∴- <t<- . 3 3 ?2+3t>0 ?

→ → (3)∵AB=(3,3),OP=(1+3t,2+3t). → → 若四边形 ABPO 为平行四边形,则AB=OP,
? ?1+3t=3 ∴? ,而上述方程组无解, ? ?2+3t=3

∴四边形 ABPO 不可能为平行四边形 . → (4)∵OP=(1+3t,2+3t), → ?x=1+3t ? 设OP=(x,y),则? , ? ?y=2+3t ∴x-y+1=0 为所求点 P 的轨迹方程.


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