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高二数学(人教A版)《2.2.1双曲线简单的几何性质》导学案1


§2.2.1 双曲线简单的几何性质 ( 第 1 课时)
[自学目标]: 掌握双曲线的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念。 [重点]: 双曲线几何性质 [难点]: 双曲线几何性质的应用,双曲线第二定义。 教学过程 一、课前准备: 复习 1:写出满足下列条件的双曲线的标准方程: ① a = 3,b = 4 ,焦点在x轴上; ②焦点在 y 轴上,焦距为

8, a = 2 . 复习 2:前面我们学习了椭圆的哪些几何性质?

二、新课导学: 学习探究 问题 1:由椭圆的哪些几何性质出发,类比探究双曲线的标准方程及简单的几何性质? 标准方程 观察图形, 把握对称 性,开放性 和特殊点

范围 顶点 焦点 对称轴 对称中心 实轴与实 轴的长 虚轴与虚 轴的长 渐进线 离心率 问题 2:实轴与虚轴等长的双曲线叫___________ 双曲线. 等轴双曲线a=b,渐近线方程为________,离心率=_________.

1

[预习自测] x2 y2 1.双曲线 - =1 的渐近线方程是( 4 9 3 A.y=± x 2 2 B.y=± x 3

) 9 C.y=± x 4 4 D.y=± x 9 )

2.中心在原点,实轴长为 10,虚轴长为 6 的双曲线的标准方程是(

A、

x2 y2 ? ?1 25 9 x2 y2 ? ?1 100 36

B、

x2 y2 y2 x2 ? ?1或 ? ?1 25 9 25 9 x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 100 36 100 36


C、

D、

3.下列曲线的离心率为

6 的是( 2

A、

x2 y2 ? ?1 2 4 x2 y2 ? ?1 4 6
2 2

B、

x2 y2 ? ?1 4 2 x2 y2 ? ?1 4 10
,虚轴长为 。 ,渐近线方

C 、

D、

4.双曲线 5 y ? 4 x ? ?20 的实轴长为 程为 ,离心率为

请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来,待课堂上与老师和同学探究解决。

[合作探究 展示点评] 探究一:双曲线简单几何性质 例 1:求双曲线 16x ? 9 y ? 144的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程。
2 2

探究二:由性质求方程
2

例 2:求双曲线的标准方程: (1)实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上;

(2)焦距是 10,虚轴长是 8,焦点在 y 轴上;

例3: 点 M(x, y ) 到定点 F (5,0) 的距离和它到定直线l : x ? 求点M 的轨迹。

16 5 的距离的比是常数 , 5 4

[当堂检测] x2 1、双曲线 -y2=1 的离心率是( 4 A. ) 3 D. 2 ) D .1

3 5 5 B. C. 2 2 4 x2 y2 2、双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12 A.2 3 B.2 C. 3

3、双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 的值为( ) 1 1 A.- B.-4 C.4 D. 4 4 x2 y2 1 4、若 双曲线 - 2=1(b>0)的渐近线方程为 y=± x,则 b 等于________ 4 b 2

[拓展提升] 1. 双曲线与椭圆 4x2 + y2 = 64 有公共的焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为 ( ) A.y2-3x2=36 B.x2-3y2=36
3

C.3y2-x2=36

D.3x2-y2=36

2.经过点 A( 3,-1 ) ,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是_______ 3.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线 的标准方程为( ) A. - =1 4 4 C. - =1 4 9

y2 x2 y2 x2

B. - =1 4 4 D. - =1 8 4

x2 y2 x2 y2

x2 y2 4.求以椭圆 + =1 的两个顶点为焦点,以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程,并求此双曲 16 9 线的实轴长、虚轴 长、离心率及渐近线方程。

5.已知双曲线的渐近线方程为 2 x ? 3 y ? 0 。 (1)若双曲线过点 P( 6 ,2 ) ,求双曲线的标准方程; (2)若双曲线的焦距是 2 13 ,求双曲线的标准方程。

6.求到定点F(c,0) (c>0)和它到定直线 l : x ?

a2 c c 距离之比是 ( >1)的点M的轨迹方程。 c a a

4


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