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南充高中2015年面向省内外自主招生考试数学评分标准


南充高中 2015 年 6.22 面向省内外自主招生考试 数 学 试 题参考答案 一、选择题答案:(每小题 5 分,共计 50 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 C 6 B 7 B 8 A 9 D A 10

二、填空题答案:(每小题 5 分,共计 30 分) 11._______0________ 13.________12_______

12.__ 150 或1650 ___

14._______1____________

9 12 2 f ? x ? ? ? x2 ? x?2 f x ? x ? 4 x ? 2 15._ ? ? _或_ 7 7
16.___ L ? a ? ? L ? c ? ______________ 三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)

1
17、 (本小题 10 分)解方程 x 2 ? 11x ? 8
2

?

1 1 ? 2 ?0 x ? 2 x ? 8 x ? 13 x ? 8
2

1 1 1 ? ? ?0 解:令 y ? x ? 2 x ? 8 ,那么原方程为 y ? 9 x y y ? 15 x
去分母得 y ? y ?15x ? ? ? y ? 9x ?? y ?15x ? ? y ? y ? 9x ? ? 0

y 2 ? 4xy ? 45x2 ? 0, 即 ? y ? 5x ?? y ? 9x ? ? 0
所以 y ? ?5 x 或 y ? 9 x 由 y ? 9 x 得 x 2 ? 2 x ? 8 ? 9 x ,即 x 2 ? 7 x ? 8 ? 0 ,所以 x1 ? ?1, x2 ? 8 由 y ? ?5 x 得 x 2 ? 2 x ? 8 ? ?5 x , 即 x2 ? 7 x ? 所以 x3 ? ?8, x4 ? 1 8 ? 0 , 经检验,它们都是原方程的根 18、 (本小题 12 分) )如图 9,已知正方形 ABCD 的边长为 1,G 为 CD 边上的一个动点(点 G 与 C、D 不重合) ,以 CG 为一边向正方形 ABCD 外作正方形 GCEF,连接 DE 交 BG 的延长线于点 H. (1)求证:①△BCG≌△DCE;②BH⊥DE. (2)当点 G 运动到什么位置时,BH 垂直平分 DE?请说明理由.
1

A

D D G H F

B

C

E

解法一:( 1 ) 证 明 : 在 正 方 形 ABCD 中 , ∠ BCG=90 °, BC=CD 在 正 方 形 GCEF 中 , ∠ DCE=90 °, CG=CE 在 △ BCG 和 △ DCE 中 ,

{

BC ? DC ?BCG ? ?DCE CG ? CE

∴ △ BCG ≌ △ DCE ( SAS ) ∴ ∠ 1= ∠ 2 ∵ ∠ 2+ ∠ DEC=90 ° ∴ ∠ 1+ ∠ DEC=90 ° ∴ ∠ BHD=90 ° ∴ BH ⊥ DE ; ( 2 ) 解 : 当 GC ?

2 ? 1 时 , BH 垂 直 平 分 DE . 理 由 如 下 :

连 接 EG ∵ BH 垂 直 平 分 DE ∴ EG=DG 设 CG=x ∵ CE=CG , ∠ DCE=90 ° ∴ EG=

2 x , DG= 2 x

∵ DG+CG=CD

x ? 2 x ? 1,解 得 x ? 2 ? 1
∴ GC ?

2 ? 1 时 , BH 垂 直 平 分 DE .
和四边形 是

解法二: (1) 证明: ①∵ 四边形 正方形, ∴ ∴ △ , ≌△ ≌△ ∠ ∠ ∠ ,∠ (SAS). ,∴ ∠ 90°, 90°, ∠

90°,

②∵ △ 又∠ ∴



2





90°,∴





(2)解:当 理由:如图,连接 ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ 当 ⊥ 四边形 ∠ ,

时, H 垂直平分

和四边形

是正方形, 1,∴ ,∴ ,∴ 垂直平分 E, . . .

90°, ,∴ ,∴ 时,

垂直平分

2 2 19、 (本小题 12 分)关于 x 的一元二次方程 a 1 ? x ? 2 2bx ? c 1 ? x ? 0 中, a, b, c

?

?

?

?

是三角形 ?ABC 的三边长, ?C ? 900 (1)判断此方程实根个数,并说明理由 (2)如果这个方程两根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ? 12 ,求 a : b : c
2 2

解 : ( 1 ) 将 原 方 程 整 理 得

? c ? a ? x2 ? 2

2bx ? ? c ? a ? ? 0 ,

??C ? 900 ,?c2 ? a2 ? b2 ,?c ? a ? 0 从而
? ? ?2 2b ? 4 ? c ? a ?? c ? a ? ? 4a 2 ? 8b 2 ? 4c 2 ? 4a 2 ? 4b2 ? 4c 2 ? 4b2 ? 4b2 ? 0
(2) ,所以此方程必有两个不等实根

?

?

2

? x1 ? x2 ?

2 2b c?a , x1 x2 ? c?a c?a
2

? x12 ? x2 2 ? ? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? 2 2b ? 2 ? c ? a ? 6b 2 ?? ? ? ? 12 ? 2 ? c?a ? c?a ?c ? a? ? ?
2

3

? b2 ? 2 ? c ? a ?

2

① ②

c 2 2 2 ?m 设a ,则 c ? ma ,代入 a 2 ? b2 ? c 2 ,得 b ? ? m ? 1? a

将②代入①得 m ? 1 a ? 2 ? m ? 1? a ,解得 m ? 3 ,从而 b2 ? 8a2 , b ? 2 2a, c ? 3a
2 2 2 2

?

?

故 a : b : c ? 1: 2 2 : 3 20、 (本小题 12 分)从甲站到乙站共有 800 千米,开始 400 千米时平路,接着 300 千米是 上坡路,余下的是下坡路,已知火车在上坡路、平路、下坡路上的速度的比是 3:4:5 (1)若火车在平路上的速度是 80 千米 / 小时,那么它从甲站到乙站所用的时间比从乙站 到甲站所用的时间多多少小时 (2)若要求火车来回所用的时间相同,那么火车从甲站到乙站在平路上的速度与乙站到 甲站在平路上的速度的比是多少 解:甲乙两地之间的距离为 800 千米,开始 400 千米是平路,接着 300 千米是上坡路,所 以下坡路是 100 千米,火车在平路上的速度为 80 千米 / 小时,火车在上坡路上的速度为 60 千米 / 小时,在下坡路上的速度为 100 千米 / 小时.

400 300 100 ? ? ? 11(小时) 所以从甲地到乙地用的时间为 80 60 100
从乙地到甲地用的时间为

400 300 100 2 + + =9 (小时) 80 100 60 3
所以从甲地到乙地用的时间比从乙地到甲地用的时间多 3

4 (小时)

(2)设火车从甲地到乙地在平路上的速度为 4v1千米/小时 ,则它在上坡路上的速度为

3v1千米/小时 ,在下坡路上的速度为 5v1千米/小时 ,
400 300 100 220 ? ? ? (小时) 3v1 5v1 v1 所以火车从甲地到乙地用的时间是 4v1
同样,设火车从乙地到甲地在平路上的速度为 4v2千米/小时,则它在上坡路上的速度为

3v2千米/小时 ,在下坡路上的速度为 5v2千米/小时 ,
4

400 300 100 580 ? ? ? (小时) 3v2 所以火车从乙地到甲地用的时间是 4v2 5v2 3v2 220 580 v1 33 ? ,? ? 3v2 v2 29 依题意有 v1
, 21 、 (本小题 12 分) Rt△ABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示,反比例函数

y?

k (k ? 0) 在第一象限内的图象与 BC 边交于点 D(4,m) ,与 AB 边交于点 E(2,n) , x

△BDE 的面积为 2. (1)求 m 与 n 的数量关系; (2)当 tan∠A=

1 时,求反比例函数的解析式和直线 AB 的表达式; 2

(3)设直线 AB 与 y 轴交于点 F,点 P 在射线 FD 上,在(2)的条件下,如果△AEO 与△EFP 相似,求点 P 的坐标. 解: (1)如图 1,因为点 D(4,m) 、E(2,n)在反比例函 数y?

? 4m ? k , k 的图象上,所以 ? x ? 2n ? k .

整理,得 n=2m.

(2)如图 2,过点 E 作 EH⊥BC,垂足为 H.在 Rt△BEH 中, tan∠BEH=tan∠A=

1 ,EH=2,所以 BH=1.因此 D(4,m),E(2,2m),B(4,2m+1). 2 1 1 已知△BDE 的面积为 2,所以 BD ? EH ? (m ? 1) ? 2 ? 2 .解得 m=1.因此 D(4, 2 2
因为点 D(4,1)在反比例函数 y ?

1),E(2,2),B(4,3).

k 的图象上,所以 k=4.因此反比例函数的解析 x

式为 y ?

4 . x

设直线 AB 的解析式为 y=kx+b, 代入 B(4, 3)、 E(2, 2), 得?

?3 ?4 k ?,b ?2 ?2 k ?.b

解得 k ?

1 , 2

b ? 1.
因此直线 AB 的函数解析式为 y ?

1 x ?1. 2

5

图2 (3)如图 3,因为直线 y ?

图3

图4

1 x ? 1 与 y 轴交于点 F(0,1) ,点 D 的坐标为(4,1) , 2

所以 FD// x 轴,∠EFP=∠EAO.因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况: ①如图 3,当

EA EF 2 5 5 ? 时, .解得 FP=1.此时点 P 的坐标为(1,1) . ? AO FP 2 FP EA FP 2 5 FP ? 时, .解得 FP=5.此时点 P 的坐标为(5,1) . ? AO EF 2 5

②如图 4,当

22、 (本小题 12 分)已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的 正半轴上,OC 在 x 轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D, 连接 DC,过点 D 作 DE⊥DC,交 OA 于点 E. (1)求过点 E、D、C 的抛物线的解析式; (2)将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后,角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F,另一边与 线段 OC 交于点 G. 如果 DF 与 (1) 中的抛物线交于另一点 M, 点 M 的横坐标为 是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理 由; (3)对于(2)中的点 G,在位于第一象限内的该抛物 线上是否存在点 Q,使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、 G 构成的△PCG 是等腰三角形?若存在, 请求出点 Q 的坐 标;若不存在,请说明理由.

6 , 那么 EF=2GO 5

0) , D(2, 2) , 解: (1)由已知,得 C (3,
? ?ADE ? 90° ? ?CDB ? ?BCD ,

? AE ? AD?tan ?ADE ? 2 ? tan ?BCD ? 2 ?
2

1 ?1 1) . 2 .? E (0,

设过点 E、D、C 的抛物线的解析式为 y ? ax ? bx ? c( a ? 0) .将点 E 的坐标代入,得
6

?4a ? 2b ? 1 ? 2, ? c ? 1 . 将 c ? 1 和点 D、C 的坐标分别代入,得 ?9a ? 3b ? 1 ? 0.
5 ? a?? ? ? 6 ? ?b ? 13 ? 6 解这个方程组, 得 ?
5 13 y ? ? x2 ? x ? 1 6 6 .
(2) EF ? 2GO 成立.

(3 分) (4 分)

6 12 ? 点 M 在该抛物线上,且它的横坐标为 5 ,? 点 M 的纵坐标为 5 .
设 DM 的解析式为

y ? kx ? b1 (k ? 0) ,
F A E

y M D B

将点 D、M 的坐标分别代入,得

?2k ? b1 ? 2, ? ?6 12 k ? b1 ? . ? 5 ?5

1 ? ?k ? ? , 2 ? ? b ? 3. 解得 ? 1

O

G

K

C

x

1 y ? ? x?3 3) , EF ? 2 . (7 分) 2 ? DM 的解析式为 .? F (0,
过点 D 作 DK ⊥ OC 于点 K ,则 DA ? DK .? ?ADK ? ?FDG ? 90° ,

??FDA ? ?GDK .又? ?FAD ? ?GKD ? 90°,?△DAF ≌△DKG . ? KG ? AF ? 1 . ? GO ? 1.? EF ? 2GO .

, 0) , C (3, 0) ,则设 P(1, 2) . (3)? 点 P 在 AB 上, G (1
2 2 2 2 2 2 ? PG ? (t ?1) ? 2 , PC ? (3 ? t ) ? 2 , GC ? 2 .

①若 PG ? PC ,则 (t ?1) ? 2 ? (3 ? t ) ? 2 ,
2 2 2 2

7

2) ,此时点 Q 与点 P 重合.? Q(2, 2) . 解得 t ? 2 .? P(2,

, 2) ,此时 GP ⊥ x 轴. ②若 PG ? GC ,则 (t ? 1) ? 2 ? 2 ,解得 t ? 1 ,? P(1
2 2

?

? 7? 7 Q ?1, ? GP 与该抛物线在第一象限内的交点 Q 的横坐标为 1, ? 点 Q 的纵坐标为 3 . ? ? 3?.
③若 PC ? GC ,则 (3 ? t ) ? 2 ? 2 ,
2 2 2

2) ,此时 PC ? GC ? 2 , △PCG 是等腰直角三角形. 解得 t ? 3 ,? P(3,
过点 Q 作 QH ⊥ x 轴于点 H ,则 QH ? GH ,设 QH ? h ,

?Q(h ? 1,h) .
5 13 ?? (h ? 1) 2 ? (h ? 1) ? 1 ? h 6 6 .
A E

y Q P (Q) D(P) Q B(P)

? 12 7 ? 7 ?Q ? , ? h1 ? ,h2 ? ?2 ? 5 5 ?. 5 解得 (舍去) . (12 分)

O

G

H C

x

? 7? ? 12 7 ? Q ?1, ? Q ? , ? 2) 或 ? 3 ? 或 ? 5 5 ? . 综上所述,存在三个满足条件的点 Q ,即 Q(2,

8


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