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2010年全国数学联赛最新模拟试题(二)---2010年3月


全国联赛模拟(第一试)
一. 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 若无穷递缩等比数列 ? an ? 满足 lim
n ??

a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a3n ? 2 3 ? ,那么该数列的公比是 a1 ? a2 ? ? ? an 4 a1 ? a4 ? a 7 ? ? ? a 3n ? 2 a 1? q 1 3

? 13? ? 2 ? ,解得 n ?? a1 ? a2 ? ? ? an 1? q a1 q ? q ?1 4

解:设数列 ? an ? 的公比为 q ,则 lim

q?

21 ? 3 。 6

?? ? 2 sin ? x ? ? ? 2 x 2 ? x 4? ? 2. 已知函数 f ? x ? ? 有最大值 M ,最小值 m ,则 M ? m 的值是 2 2 x ? cos x
解: f ? x ? ?

sin x ? cos x ? 2 x 2 ? x sin x ? x sin x ? x 是奇函数. ? 2 ?1, g ? x? ? 2 2 2 x ? cos x 2 x ? cos x 2 x ? cos x

g ? x ?max ? ? g ? x ?min ,又 M ? g ? x ?max ? 1 , m ? g ? x ?min ? 1 ,所以 M ? m ? 2 .
3. 若 m 、 n ? x x ? a2 ? 10 ? a1 ? 10 ? a0 ,其中 ai ? ?1, 2,3, 4,5, 6, 7? , i ? 0,1, 2 ,并且 m ? n ? 636 ,
2

?

?

则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为 解:个位的情况只有一类: 6 ? 1 ? 5 ? 2 ? 4 ? 3 ? 3 ? 4 ? 2 ? 5 ? 1 ,十位和百位有进位和不进位两类: ① 十位: 3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ; 百位: 6 ? 1 ? 5 ? 2 ? 4 ? 3 ? 3 ? 4 ? 2 ? 5 ? 1 . ② 十位: 13 ? 6 ? 7 ? 7 ? 6 ;百位: 5 ? 1 ? 4 ? 2 ? 3 ? 3 ? 2 ? 4 ? 1 . 所以点的个数为 5 ? ? 2 ? 5 ? 2 ? 4 ? ? 90 个。 4. 已知正三角形 ABC 在平面 ? 内的射影是边长为 2 、 3 、 2 3 的三角形,则正三角形的边长是 解:设正三角形的边长为 m ,三角形的三个顶点到平面 ? 的距离为 x 、 y 、 z , 则 m2 ? ? x ? y ? ? 22 ? ? y ? z ? ? 32 ? ? x ? z ? ? 2 3
2 2 2
2

?

? .令 a ? x ? y , b ? y ? z ,
2
2

m 2 ? a 2 ? 4 ? b 2 ? 9 ? ? a ? b ? ? 12 ,即 a 2 ? b2 ? 5 , b2 ? 2ab ? 8 ? 0 ,得 ? b 2 ? 8 ? ? 4b 2 ?b 2 ? 5 ? ,解
2 得 b ? 4 , m ? 13 ,

5. 定义区间 ? c, d ? , ? c, d ? , ? c, d ? , ? c, d ? 的长度均为 d ? c ,其中 d ? c .已知实数 a ? b ,则满足

1 1 ? ? 1 的 x 构成的区间的长度之和为 x ?a x ?b
1

解: 由

x ? ?x ?a ? x ?? x b?? b ? ? 1 1 ?a 得 ? ? 1, x x ?a x ?b ? x ?a ?? b? ?
2

?? ?

?0, ?

x 2 ? ? a ? b ? 2 ? x ? ab ? a ? b

? x ? a ?? x ? b ?

?0

令 g ? x ? ? x ? ? a ? b ? 2 ? x ? ab ? a ? b ,则 g ? a ? ? b ? a ? 0 , g ? b ? ? a ? b ? 0 , 设方程 g ? x ? ? 0 的两根为 x1 、 x2 ? x1 ? x2 ? ,又因为 a ? b ,所以 b ? x1 ? a ? x2 . 不等式

1 1 ? ? 1 的解集为 ? b, x1 ? ? ? a, x2 ? ,构成的区间长度之和 x ?a x ?b

为 x2 ? a ? x1 ? b ? ? x2 ? x1 ? ? ? a ? b ? ? 2 . 6.

0?i ? j ?50

?

i j C50C50 除以 31 的余数是

解: ?1 ? x ?

50

i ? ? C50 xi ,则 ?1 ? x ? i ?0

50

50

?1 ? x ?

50

? 50 i ? ? 50 j ? ? ? ? C50 x i ? ? ? ? C50 x j ? , ? i ?0 ? ? j ?0 ?

所以 2 ? 2
50
0 2 50

50

? 50 i ? ? 50 j ? ? 50 i ? ? 50 j ? i j ? ? ? C50 ? ? ? ? C50 ? ,所求 ? C50C50 为 ? ? C50 ? ? ? ? C50 ? 中减掉 ? i ?0 ? ? j ?0 ? i ?0 ? ? j ?0 0?i ? j ?50 ? ?
50 ? ? ? ? C50 ? 后,除以 2 . 2 50 0 50 1 49 50 0 ? ? ? ? C50 ? ? C50C50 ? C50C50 ? ? ? C50 C50 , 可以看作是 ?1 ? x ? 2
50

?C ? ? ?C ?
0 而 C50 2

1 2 50

? ? ? ?C ?
50

1 2 50

?1 ? x ?

50

的 x 的系

50

数 C100 ,所以
19

0?i ? j ? 50

?

i j C50C50 ?

50 250 ? 250 ? C100 1 50 1 50 ? 299 ? C100 ,而 C100 可被 31 整除, 2 2 2

299 ? ? 25 ? ? 2 4 ? 16 ? ? 31 ? 1? 除以 31 的余数为 16 .
19

二. 填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1. 若函数 y ? log a x ? ax ? 1 没有最小值,则 a 的取值范围是______________.
2

?

?

解:若函数有最小值,则 a ? 1 ,且函数 t ? x ? ax ? 1 的判别式 ? ? 0 ,则 1 ? a ? 2 .所以函数没有
2

最小值, a 的取值范围是 ? 0,1? ? ? 2, ?? ? . 2. 在 ?ABC 中,若 sin C ? cos C ? sin B ? 3 ,且 A ? 解: B ? C ? ? ? A ?

?
4

,则 B ? ______________.

?? 3? ? ? ? ?? ? , C ? ? ? B ,所以 sin ? C ? ? ? sin ? ? B ? ? cos B , 4? 4 4 2 ? ?2 ?

?? ? ? 3 ? 2 sin ? C ? ? ? sin B ? 2 cos B ? sin B ? 3 sin ? B ? ? ? ? 3 ,所以 A ? 且 sin ? B ? ? ? ? 1, 4? 4 ?
B ? arcsin 6 . 3
2

2 2 3. 已知点 P 在 y ? ? x ? 1 上,点 Q 在 x ? 1 ? y 上,则 PQ 的最小值是______________. 2 2 2 解: 两抛物线 y ? ? x ? 1 ,x ? 1 ? y 关于直线 y ? ?x 对称. 所求 PQ 的最小值为抛物线 y ? ? x ? 1

到直线 y ? ?x 距离的最小值的两倍.∴

3 2 4

5 ? ?x ?y ?4 ? 27 ? 6 ? 1 ? 4. 满足 ?log 27 y ? log 4 x ? 的所有实数对 ? x, y ? 组成的集合是________________. 6 ? ?27 y ? 4 x ? 1 ? ?
解:?? 则

?? 1 1 ? ? 1 1 5 6 6 1 1 5 6a , ? ? .令 a ? 4x ,b ? 27 y ,则 ? ? ,a ? ,b ? .由 ? ? ,可得 b ? , a b 6 5 5 a b 6 5a ? 6 ?? 2 3 ? ?

6a 3 6 1 ? a ?1 ,解得 a ? 2 或 a ? ? ,又 a ? ,所以 a ? 2 .同样可得 b ? 3 .所以 x ? , 5a ? 6 5 5 2 1 1 1 1 1 1 y ? . log 27 y ? log 4 x ? log 27 ? log 4 ? .所以 x ? , y ? . 3 3 2 6 2 3
2x

5. 若关于 x 的不等式 2

? a ? 2x ? a ? 1 ? 0 在区间 ?1, 2 ? 上有解,则实数 a 的取值范围是___________.

22 x ? 1 ? 2? x ,5 ,5 解: 原不等式转化为:a ? , t ? 2 ? 1 , t ? ?3 ? . 令 则 所以 a ? ? ? t ? ? ? 2 , t ? ? 3 当 x ? ? 2 ? 1? ? t?
时, ? ? t ?

?

? ?

2? ? 17 5 ? ? 17 ? ? ? 2 的取值范围是 ? ? , ? ? ,所以不等式有解,实数 a 的取值范围是 ? ? , ?? ? . t? 3? ? 5 ? 5 ?

6. 在平面直角坐标系中,圆 C1 与圆 C2 相交于点 P 、 Q ,其中点 P 的坐标为 ? 3, 2 ? ,两圆半径的乘积为

13 .若直线 y ? kx ? k ? 0 ? 与 x 轴均与圆 C1 和圆 C2 相切,则 k ? ______________. 2
解: 2 2 . 由题意设圆心 C1 ? mr1 , r1 ? ,圆心 C2 ? mr2 , r2 ? ? m ? 0 ? . 圆 C1 和圆 C2 的方程分别为

? x ? mr1 ?

2

? ? y ? r1 ? ? r12 和 ? x ? mr2 ? ? ? y ? r2 ? ? r2 2 ,将 ? 3, 2 ? 代入两方程,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 得 ? 3 ? mr1 ? ? ? 2 ? r1 ? ? r1 , ? 3 ? mr2 ? ? ? 2 ? r2 ? ? r2 ,∴ r1 、 r2 是方程 m r ? ? 6m ? 4 ? r ? 13 ? 0 的

两根, 所以 m ?

2, 所以直线 C1C2 的倾斜角为 arctan

2 2 , 直线 y ? kx ? k ? 0 ? 的倾斜角为 2 arctan . 2 2

三. 解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 1. 已知 x ? 0 , y ? 0 , a ? x ? y , b ?

x 2 ? xy ? y 2 , c ? m xy ,问是否存在正数 m 使得对于任意

3

正数 x , y 可使 a , b , c 为三角形的三边构成三角形,如存在,求出 m 的值,如果不存在,请说明理由.

解:因为 x ? 0 , y ? 0 ,所以 a ? x ? y ?

x 2 ? 2 xy ? y 2 ? b , a ? x ? y ? 2 xy .

当 m ? 2 时,有 a ? c .若要使 a , b , c 为三角形的三边,则应有 b ? c ? a ,即

m xy ? x 2 ? xy ? y 2 ? x ? y ? x 2 ? 2 xy ? y 2 ,整理得 m ?

x y ?2? ? y x

x y ?1? . y x

设t ?

x y 1 恒 ? ,则 t ? 2 .即要使 m ? t ? 2 ? t ? 1 ,对所有 t ? 2 恒成立.即 m ? y x t ? 2 ? t ?1
? 1 1 ? ? 2 ? 3 ( t ? 2 时取得).所以 2 ? 3 ? m ? 2 . ? ? 4? 3 ? t ? 2 ? t ? 1 ? max

成立. m ? ?

当 m ? 2 时,若要使 a , b , c 为三角形的三边,则应有 b ? c ? a , a ? b ? c 同时成立.由 b ? c ? a 可得 m ? 2 ? 3 .由 a ?b ?c ,即 x ? y ?

x 2 ? xy ? y 2 ? m xy ,得 m ?

x y ?2? ? y x

x y ? 1 ? .设 y x

t?

x y ? ,则 t ? 2 ,即要使 m ? t ? 2 ? t ? 1 ,对所有 t ? 2 恒成立.所以有 m ? 2 ? 3 .所以 y x

2 ? m ? 2? 3.
综上所述,存在正数 m ? 2 ? 3, 2 ? 3 使得对于任意正数 x , y 可使 a ,b , c 为三角形的三边构成三 角形.

?

?

2. 对于正整数 n ,称 Rn ?

? n ? 1?? n ? 2 ?

n ? n ? 3?

为“元件分数”.有些有理数可以由若干个(包括一个)“元件分数”

的乘积表示,如

2 1? 4 3 1? 4 3 ? 6 1 1? 4 2 ? 5 3 ? 6 ? ? R1 , ? ? ? R1R3 , ? ? ? ? R1R2 R3 ,等等. 3 2?3 5 2?3 4?5 2 2 ? 3 3? 4 4 ? 5

求证:任意一个小于 1 的正有理数一定可以表示为若干个元件分数的乘积. 解: Rn Rn?1 Rn? 2 ?? ? R2 n R2 n ?1 ?

? n n ? 3 ? ? n ?1 n ? 4 ? ? n ? 2 n ? 5 ? ? 2n 2n ? 3 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ?? ? ? ??? ? ? n ?1 n ? 2 ? ? n ? 2 n ? 3 ? ? n ? 3 n ? 4 ? ? 2n ? 1 2n ? 2 ? ? 2n ? 2 2 n ? 3 ?

?

n n ? 1 2n ? 3 2n ? 4 n 2n ? 4 n n .所以 可以表示为若干个元件分数的乘积.因 ? ? ? ? ? ? n ? 1 n ? 2 2n ? 2 2n ? 3 n ? 2 2n ? 2 n ? 1 n ?1
4

而任意一个小于 1 的正有理数一定可以表示为若干个元件分数的乘积. 3. 已知函数 f ? x ? ? log 2 ? x ? 1? , 若实数 a ,b ?1 ? a ? b ? 满足 f ? a ? ? f ? 求证: 4 ? b ? 3 ? 2 . 解: f ? a ? ? log 2 ? a ? 1? , f ?

? b ? ? a?b? ? ,f ?b ? ? 2 f ? ?, ? b ?1 ? ? 2 ?

1 ? b ? ? b ? ,由 f ? a? ? f ? ? ? log 2 ? ,得 ? a ? 1?? b ? 1? ? 1 或 b ?1 ? b ?1 ? ? b ?1 ?

a ?1 ? b ? 1(舍).
又因为 b ? a ? 1 ,所以 0 ? a ? 1 ? 1 , b ? 1 ? 1 .所以 f ? b ? ? log 2 ? b ? 1? ? log 2 ? b ? 1? ,

1 1? 1 ? ? a?b? ? a?b ? f? ? 1? ? log 2 ?? a ? 1? ? ? b ? 1? ? ? log 2 ?? b ? 1? ? ? ? log 2 ? ? ? ? 2 2? b ? 1? ? 2 ? ? 2 ?

1? 1 ? ? log 2 ? b ? 1 ? ?. 2? b ?1 ?
1 ? 1? 3 2 4 3 2 令 t ? b ? 1 ? t ? 1? ,则 t ? ? t ? ? ,所以 t ? 4t ? 2t ? 1 ? 0 , ? t ? 1? ? t ? 3t ? t ? 1? ? 0 ,所以 4? t ?
2

t 3 ? 3t 2 ? t ? 1 ? 0 . t 3 ? 3t 2 ? t ? 1 ? t ? 3 ,所以 ? t ? 3? ? t 2 ? 1? ? 0 ,因为 t 2 ? 1 ? 0 ,所以 t ? 3 .
3 2 2 2 又 t ? 3t ? t ? 1 ? 3t ? t ? 2 ,所以 t ? 2 ? 2 ?t ?

?

?? ?

2 ?1 t ? 2 ?1? ? 0 , ?

?

所以 t ? 2 ? 2 . 4 ? b ? 3 ? 2 .

全国联赛模拟(第二试)
一.(本题满分 50 分) 已知 P 为线段 AB 内一点,锐角三角形 PAC 锐角三角形 PBD 在 AB 同侧,且都是以 P 为顶角的等 腰三角形,它们的外接圆交于 P 和另一点 Q .若 ?CPD 的外接圆与 AB 相切, 求证: Q 为 ?CPD 的内心.
O D R

证:由已知得: ?CAP ? ?ACP , ?DBP ? ?BDP .显然 Q 在 C 、 D 关 于线段 AB 的同侧.若不然,因 A 、 C 、 P 、 Q 共圆, B 、 D 、 P 、 Q 共圆,

C A

Q P B

1 180? ? ?APQ ? ?BPQ ? ?ACQ ? ?BDQ ? ?ACP ? ?BDP ? 180? ? ?BPD ? 180? 矛盾! 2
设 ?CPD 外心为 O ,连结 PQ ,并延长交圆 O 于点 R ,连结 CR 、 DR 、CQ 、 DQ .因为 AB 与圆 O
5

相切,所以 ?RCP ? ?RPB , ?RDP ? ?RPA .

?RQC ? ?CAP ? ?ACP ? ?ACQ ? ?QCP ? ?RPB ? ?QCP ? ?RCP ? ?QCP ? ?RCQ .
同理 ?RQD ? ?RDQ .所以 RC ? RQ ? QD ,即 C 、 Q 、 D 在以点 R 为圆心的圆上. 于是, 结合 C 、P 、D 、R 四点共圆, 可得:?PCD ? ?PRD ? 2?QCD ,?PDC ? ?PRC ? 2?QDC . 所以 CQ 、 DQ 分别是 ?PCD 与 ?PDC 的角平分线,所以 Q 为 ?CPD 二.(本题满分 50 分)求证: 存在唯一的正整数数列 ? an ? ,使得 a1 ? 1 ,a2 ? 1 ,an ?1 ? an ?1 ? 1? ?

an an ? 2
3

an an ? 2 ? 1 ? 1

? 1 ? n ? 1, 2,?? .

证:
3

an an ? 2 an an ? 2 ? 1 ? 1

? ?1 ?
n ?1

3 3

an an ? 2 ? 1 ? 1 an an ? 2 ? 1 ? 1

?

3

?1 ?

?

3

an an ? 2 ? 1 ? 3 an an ? 2 ? 1 ,

?

2

所以 an ?1 ? 3 an an ? 2 ? 1

?

?? a

* ? 3 an an ? 2 ? 1 ? 1 ? 0 , a a 因为 an , n ?1 , n ? 2 ? N , an ?1 ? 3 an an ? 2 ? 1 ? 1 , 若

?

则 an?1 ? 1 , an an ? 2 ? 1 ,从而 an ? an ?1 ? an ? 2 ? 1 ,所以 ? an ? 是常数数列,与 a2 ? 1 矛盾.
3 3 3 所以 an ?1 ? 3 an an ? 2 ? 1 ? 0 ,即 an an ? 2 ? an ?1 ? 1 . a1a3 ? a2 ? 1 ,即 a3 ? a2 ? 1 ,
3 3 9 6 3 又 a2 a4 ? a3 ? 1 ? a2 ? 1 ? 1 ? a2 ? 3a2 ? 3a2 ? 2 ,因为 a2 2 ,又 a2 ? 1 ,所以 a2 ? 2 , ? an ? 唯一 3

?

?

确定.下面证明 ? an ? 是正整数数列: 假设 an , an ?1 , an ? 2 , an ?3 ? N ,
*

an? 4
?

3 3 6 3 1 ? an?33 an?13 ? an?33an?313 an?1 ? ? an? 2 ? 1? a3 ? a9 ? 3an?2 ? 3an?2 ? 1 ? ? ? ? n?1 n?2 3 3 an? 2 an? 2 an?13 an? 2 an?1 an? 2 an?1 3

9 6 3 an an ? 2 ? an ? 2 ? 3an ? 2 ? 3an ? 2 3 3 3 3 .所以 an ? 2 ? an ?1 ? an ?1an ? 3 ? ,又因为 an an ? 2 ? an ?1 ? 1 , 3 an ? 2 an ?1

所以 an ? 2 , an ?1 ? 1 , an ? 2 ? an ?1
3
3

?

?

?a

3 n ?1

3 3 ? an ?1an ?3 ? ,所以 an ? 4 ? N* ,由此可知 ?an ? 是正整数数列.

三.(本题满分 50 分) 设集合 S ? ?1, 2,3,?,100? .已知对 S 中任意两个不同元素 a 、 b ,都存在正整数 k 和 S 中的两个不 同元素 c 、 d (允许等于 a 或 b ) ,使 c ? d ,且 a ? b ? c d ,求集合 S 元素个数的最大值
k

解:取 S0 ? ?1, 2,3, 4,5, 7,9,11,13,?,89,91? 为 48 元集合,下面验证集合 S 0 满足题意: 若取相同奇偶的两数 a , b ? S0 ,则 a ? b 为偶数,且 4 ? a ? b ? 89 ? 91 .
6

当 a ? b ? 2 ? t ? 2,3,? , 7 ? 时,取 c ? 2 ,k 为恰能使 2 k 整除 a ? b 的正整数,此时
t

a?b 必为一个小 2k

于 91 且不等于 1的奇数,另它为 d 即可. 当 a ? b ? 2 ? t ? 3, 4,? , 7 ? , 可取 k ? t ? 2 ,c ? 2 ,d ? 4 . a ? b ? 4 时, 当 可取 k ? c ? 1,d ? 4 .
t

若取不同奇偶的两数 a , ? S0 , a ? b 为奇数, 3 ? a ? b ? 4 ? 91 ? 95 .当 a ? b ? ?3, 4,? ,91? 时, 则 且 b 可取 k ? c ? 1, d ? a ? b .当 a ? b ? 93 时,可取 k ? 1 , c ? 3 , d ? 31 .当 a ? b ? 95 时,可取 k ? 1 ,

c ? 5 , d ? 19 .
于是 S 0 满足题意.下面证明满足题意的集合 S 的元素个数不超过 48 . 设 S ? ?a1 , a2 ,? , an ? ,且 a1 ? a2 ? ? ? an .

a a 引理 1: a1 ? 1 .证明:假设 a1 ? 2 ,则 am al ?a 1 ?a 2 ? 2 2 ?a 1a 2 ?a m
k k

k l

,1 ? m ? l ? n ,矛盾!

引理 2:若 a2 ? t , t ? 2 ,则 ai ? t ? 2 ? i , i ? 2,3,?, t ? 1 .证明:用归纳法
2

t ? 2 时,显然成立.设 i ? i0 时, ai0 ? t ? 2 ? i0 , i0 ? t 2 ? 1 ,则由已知条件可得,存在 m 、 l , 1 ? m ? l ? n ,使 1 ? ai0 ? am k al .若 m ? 2 ,则 am k al ? am al ? t ? t ? 1? ? 1 ? ? t ? 2 ? i0 ? ? 1 ? ai0 ,矛盾!
所以 m ? 1.于是 1 ? ai0 ? al ,此时 ai0 ?1 ? al ? t ? 2 ? ? i0 ? 1? ,所以当 i ? i0 ? 1 时成立. 由归纳法知,引理 2 成立. 引理 3:若质数 p ? S ,则不存在 m 、 l , 1 ? m ? l ? n ,使 am ? al ? p . 证明:当质数 p ? S 时,显然 p 不能表示成 c d 的形式,其中 c 、 d ? S .结合已知条件可知,不存
k

在这样的 am 、 al . 下面证明 n ? 48 . 由引理 1 知, a1 ? 1 .当 a2 ? 2 时,由引理 2 知, a3 ? 3 , a4 ? 4 .对质数 101 用引理 3 知,

97,98,99,100 ? S .对质数 97 用引理 3 知: 48 对数对 ?1,96 ? , ? 2,95 ? ,……, ? 48, 49 ? 中,每对至多
仅一数属于 S ,故 n ? 48 . 当 3 ? a2 ? 6 时,用引理 2 可知,总有 6,7,8,9 ? S .由于 97 ? 6 ? 103 ,

98 ? 9 ? 99 ? 8 ? 100 ? 7 ? 107 ,故对质数 103 ,107 用引理 3 知, 97,98,99,100 ? S .与 a2 ? 2 的情
形相仿,故 n ? 48 . 当 a2 ? 7 时,对质数 107 用引理 3 知, 47 对数对 ? 7,100 ? , ? 8,99 ? ,……, ? 53,54 ? 中,每对至多
7

仅一数属于 S ,故 n ? 47 ? 1 ? 48 . 综上所述, S 元素个数的最大值为 48 .

8


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