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【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测52 变量间的相关关系、统计案例]


课时限时检测(五十二)

变量间的相关关系、统计案例
题号及难度 中档 9 6,8 10

(时间:60 分钟 满分:80 分)命题报告 基础 稍难 相关关系的判断 1,4 11 线性回归分析 2,3,7 12 独立性检验 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.(2012· 湖南高考)设某大学的女生体重 y(单位:kg)

与身高 x(单位:cm)具有线性相关


考查知识点及角度

关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x -85.71,则下列结论中不正确 的是( ) ... A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg 【解析】 由于线性回归方程中 x 的系数为 0.85,因此 y 与 x 具有正的线性相关关系, 故 A 正确.又线性回归方程必过样本中心点( x , y ),因此 B 正确.由线性回归方程中系 数的意义知,x 每增加 1 cm,其体重约增加 0.85 kg,故 C 正确.当某女生的身高为 170 cm 时,其体重估计值是 58.79 kg,而不是具体值,因此 D 不正确. 【答案】 D 2.在 2012 年 7 月伦敦第 30 届奥运会上,中国健儿取得了 38 金、27 银、22 铜的好成 绩,移居世界金牌榜榜首,由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列,也有许多人持反 对意见. 有网友为此进行了调查, 在参加调查的 2 548 名男性公民中有 1 560 名持反对意见, 2 452 名女性公民中有 1 200 人持反对意见,在运用这些数据说明中国的奖牌数是否与中国 进入体育强国有无关系时,用什么方法最有说服力( ) A.平均数与方差 B.回归直线方程 C.独立性检验 D.概率 【解析】 由于参加讨论的公民按性别被分成了两组, 而且每一组又被分成了两种情况: 认为有关与无关,故该资料取自完全随机统计,符合 2×2 列联表的要求.故用独立性检验 最有说服力. 【答案】 C 3.通过随机询问 100 名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动,得到如下的列联表: 男 女 总计 10 40 50 爱好 20 30 50 不爱好 30 70 100 总计 附表: 0.10 0.05 0.025 P(K2≥k) k 2.706 3.841 5.024 2 n?ad-bc? 随机变量 K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 经计算,统计量 K2 的观测值 k≈4.762,参照附表,得到的正确结论是( ) A.在犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D.有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 【解析】 根据题意得 k≈4.762>3.841,故应该有 95%的把握认为“爱好该项运动与 性别有关”,因此选 A. 【答案】 A 4.(2014· 汕头市潮师高级中学期中)已知 x 与 y 之间的一组数据: x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7


已求得关于 y 与 x 的线性回归方程y =2.1x+0.85,则 m 的值为( A.0.85 B.0.75 C.0.6 D.0.5 0+1+2+3 3 【解析】 x = = , 4 2 m+3+5.5+7 15.5+m y= = , 4 4 把( x , y )代入线性回归方程,

)

15.5+m 3 =2.1× +0.85, 4 2 m=0.5. 【答案】 D 5.(2014· 中山四校联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性做 试验,并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表: 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【解析】 由表知相关系数 r 的绝对值越接近于 1,线性相关性越强,残差平方和 m 越 小,拟合效果越好,故选丁,即 D 答案. 【答案】 D 6.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 4 2 3 5 广告费用 x(万元) 49 26 39 54 销售额 y(万元) ^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4, 据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 为( ) A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 4+2+3+5 7 【解析】 ∵ x = = , 4 2 49+26+39+54 y= =42, 4 ^ ^ ^ 又y=bx+a必过( x , y ), 7 ^ ^ ∴42= ×9.4+a,∴a=9.1. 2 ^ ∴线性回归方程为y=9.4x+9.1, ^ ∴当 x=6 时,y=9.4×6+9.1=65.5(万元). 【答案】 B 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取 50 名学生,得到 如下 2×2 列联表:

理科 文科 13 10 男 7 20 女 2 2 已知 P(K ≥3.841)≈0.05,P(K ≥5.024)≈0.025. 50×?13×20-10×7?2 根据表中数据,得到 k= ≈4.844. 23×27×20×30 则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________. 【解析】 ∵k≈4.844,这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理,应该断定 “是否选修文科与性别之间有关系”成立,并且这种判断出错的可能性约为 5%. 【答案】 5% 8.某单位为了了解用电量 y 度与气温 x ℃之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与 当天气温,并制作了对照表: 18 13 10 气温(℃) -1 24 34 38 64 用电量(度) ^ ^ ^ ^ 由表中数据得线性回归方程y=bx+a中b=-2,预测当气温为-4 ℃时,用电量的度数 约为________. 【解析】 x =10, y =40,回归方程过点( x , y ), ^ 40=-2×10+a. ^ ∴a=60. ^ ∴y=-2x+60. ^ 令 x=-4,∴y=(-2)×(-4)+60=68. 【答案】 68 9.以下五个命题:①标准差越小,则反映样本数据的离散程度越大;②两个随机变量


相关性越强,则相关系数越接近 1;③在回归直线方程y =-0.4x+12 中,当解释变量 x 每


增加 1 个单位时,则预变量 y 减少 0.4 个单位;④对分类变量 X 与 Y 来说,它们的随机变量 K2 的观测值 k 越小,“X 与 Y 有关系”的把握程度越大;⑤在回归分析模型中,残差平方和 越小,说明模型的拟合效果越好. 其中正确 的命题是:________(填上你认为正确的命题序号). .. 【解析】 标准差、方差越大,数据的离散程度越大,标准差、方差越小,数据的离散 程度越小,故①错;两个变量之间的相关系数 r 的绝对值越接近于 1,表示两个变量的线性 相关性越强,r 的绝对值越接近于 0,表示两个变量之间几乎不存在线性相关,故②不正确; 对分类变量 X 与 Y,它们的随机变量 K 的观测值 k 来说,k 越大,X 与 Y 有关系的把握程度 越大,故④错,③⑤正确. 【答案】 ③⑤ 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10. (10 分)某班主任对全班 50 名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查, 统计数据如下表所示: 积极参加班 不太主动参 合计 级工作 加班级工作 18 7 25 学习积极性高 6 19 25 学习积极性一般 24 26 50 合计 (1) 如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多 少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否 有关系?并说明理由. (参考下表)

P(K2 ≥k) k

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.82 8

【解】 (1)积极参加班级工作的学生有 24 人,总人数为 50 人, 24 12 ∴抽到积极参加班级工作的学生的概率 P1= = , 50 25 不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有 19 人, 19 ∴抽到不太主动参加工作且学习积极性一般的学生的概率 P2= . 50 (2)由列联表知, 50×?18×19-6×7?2 150 k= = ≈11.5, 13 25×25×24×26 由 k>10.828,∴有 99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系. 11. (12 分)为了分析某个高三学生的学习状态, 对其下一阶段的学习提供指导性建议. 现 对他前 7 次考试的数学成绩 x、物理成绩 y 进行分析.下面是该生 7 次考试的成绩. 88 83 117 92 108 100 112 数学 94 91 108 96 104 101 106 物理 (1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明; (2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115 分, 请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性, 给出该生在 学习数学、物理上的合理建议. -12-17+17-8+8+12 【解】 (1) x =100+ =100; 7 -6-9+8-4+4+1+6 y =100+ =100; 7 994 250 ∴s2 =142,∴s2 , 数学= 物理= 7 7 2 2 从而 s数学>s物理,∴物理成绩更稳定. ^ 497 ^ (2)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系,根据回归系数公式得到b= =0.5,a=100- 994 0.5×100=50, ^ ∴线性回归方程为y=0.5x+50. 当 y=115 时,x=130. 建议:进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性,将有助于物理成绩的进一步 提高. 12.(13 分)某地区甲校高二年级有 1 100 人,乙校高二年级有 900 人,为了统计两个学 校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩,采用分层抽样的方法在两校共抽取了 200 名学生的数学成绩,如下表:(已知本次测试合格线是 50 分,两校合格率均为 100%) 甲校高二年级数学成绩: [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 分组 10 25 35 30 x 频数 乙校高二年级数学成绩: [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 分组 15 30 25 y 5 频数 (1)计算 x,y 的值,并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(精确到 1 分). (2)若数学成绩不低于 80 分为优秀,低于 80 分的为非优秀,根据以上统计数据写下面 2×2 列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“两个学校的数学成绩 有差异?”

甲校

乙校

总计

优秀 非优秀 总计 【解】 (1)依题意甲校应抽取 110 人,乙校应抽取 90 人, 故 x=10,y=15,估计甲校平均分为 55×10+65×25+75×35+85×30+95×10 ≈75, 110 乙校平均分为 55×15+65×30+75×25+85×15+95×5 ≈71. 90 (2)列 2×2 列联表如下: 甲校 乙校 总计 40 20 60 优秀 70 70 140 非优秀 110 90 200 总计 2 200?40×70-20×70? k= ≈4.714, 110×90×60×140 又因为 4.714>3.841 故能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“两个学校的数学 成绩有差异”.


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