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第六章中心极限定理


重要不等式----- 切贝雪夫( chebyshev )不等式

设随机变量 X 的方差 D ( X )存在, 则对于任意实数 ? > 0,
P(| X ? E ( X ) |? ? ) ? D( X )

?

2



P(| X ? E ( X ) |? ?

) ? 1 ?

D( X )

?

2

j(x)
Ex?? Ex

?Dx/?2

Ex+?

x

如:

P

Xn ?a

意思是:当 n ? ? 时,Xn落在

( a ? ? , a + ? ) 内的概率越来越大. ? n 0 , n ? n 0
Xn

a??

a

a+?



Xn ? a

意思是: ? ? ? 0 , ? n 0 ,当 n ? n 0

| X n ? a |? ?

定义 设 Y1 , Y2 ,?, Yn ,? 是一系列随机变量,
a 是一常数, 若 ?? ? 0 有
n? ?

lim P ? Yn ? a ? ? ? ? 0

(或

n? ?

lim P ?Yn ? a ? ? ? ? 1

)

则称随机变量序列 于常数 a , 记作
P

Y1 ,Y2 ,?,Yn ,?

依概率收敛

Yn ?? ? ?? a ?
n? ?

大数定律
贝努里(Bernoulli) 大数定律
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的 次数, p 是每次试验中 A 发生的概率,则
?? ? 0 有
? nA ? lim P ? ? p ????0 n? ? ? n ?



? nA ? lim P ? ? p ????1 n? ? ? n ?

或:

nA n

p

???p

Chebyshev大数定律 设随机变量序列 X 1 , X 2 ,?, X n ,? 相互独立, (指任意给定 n > 1, X 1 , X 2 ,?, X n 相互独立),且 具有相同的数学期望和方差
E ( X k ) ? ? , D( X k ) ? ? , k ? 1,2,?
2

则 ?? ? 0 有
?1 n ? lim P ? Xk ? ? ? ? ? ? 0 ?n ? n? ? ? k ?1 ?

?



?1 n ? 1 P ? ? ? 1 或 Yn ? Xk ? ?? ? lim P Xk ? ? ? ? ?n ? n? ? n k ?1 ? k ?1 ?

?

?

n

5.2

中心极限定理

高斯指出“测量误差服从正态分布” 正态分布在自然界中极为常见.

特别一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所 造成,则这种量一般都近似服从正态分布.
如:炮弹射击的落点与目标的偏差

一.依分布收敛
设{Xn}为随机变量序列,X为随机变量,其对应 的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的连续点, 有
lim Fn ( x ) ? F ( x ),
n? ?

则称{Xn}依分布收敛于X. 可记为
Xn ? ?? X .
现令 Y n ?
w

?
w

n

X k , 将 Y n 标准化 r . v .

* Yn

?

Y n ? EY DY
.

k ?1



* Yn

? ?? x ~ N ( 0, 1), 则称 { X n }满足中心极限定理

二.几个常用的中心极限定理
1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg) 设{Xn}为独立同分布随机变量序列,若 EXk=?<?,DXk= ?2 <?,k=1, 2, …, 则{Xn}满足中 心极限定理。

?
Yn ?
*

n

Xk ? E( D(
n

k ?1

?

n

Xk)

k ?1

?

? ? x ~ N ( 0 , 1 ), ?
w

Xk)

k ?1

? X i ? n?
或 lim P {
n? ? i ?1

? n

? x }?

?

x

1 2?

-?

e

-t

2

2

dt

即 n 足够大时,Y n *的分布函数近似于标准正态

? X i ? n?
Yn ?
* i ?1

n

近似

? n

~

N (1,0)

?X
k ?1

n

k

?

n?Yn * + n?

近似服从 N (n? , n? )
2

例1.将一颗骰子连掷100次,则点数之和不少于 300的概率是多少? 解:设 Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则

X1,…,X100独立同分布.
E(X1) ? 7 2 , D(X 1) ? 1

由中心极限定理
P{

?k 6
i ?1

6

2

?

49 4

?

35 12

?
i ?1

100

? 7? ? 300 ? 100 ? ? 2 ? ? 1 ? ? ( ? 2 . 93 ) ? 1 ? ?? X i ? 300} 35 ? ? 10 ? 0 . 9983 ? ? ? ? 12

考虑如果Xn是0-1分布,Y n ? ?

n

X k ~ B (n, p)

k ?1

二项分布的正态近似 定理2 德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理 (DeMoivre-Laplace )

设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,…
则对任一实数 x,有
Yn * ?
或:

Y n ? np npq

? ? x ~ N ( 0 , 1 ). ?
w

? lim P ? n? ? ?

? ? x? ? np(1 ? p ) ? Yn ? np

1

2? ? ? ?

x

?

t

2

e

2

dt

设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,…

则对任意x,有
Yn * ? Y n ? np npq ? ? x ~ N ( 0 , 1 ). ?
w

证明: 设

?1 Xi ? ? ?0

第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生
n



E ( X i ) ? p , D ( X i ) ? p ( 1 ? p ), Y n ?

?

Xi

由中心极限定理,结论得证。

i ?1

定理表明,当n很大,二项变量Yn的分布 近似正态分布 N(np,np(1-p)).

二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0-1 分布的随机变量之和, 下面是当x-B(20,0.5)时, x的概率分布图
P

0.2 0.15 0.1 0.05 0

0

5 10 15 20

三. 中心极限定理的应用
例2 设有一大批种子,其中良种占1/6. 试估计 在任选的6000粒种子中,良种所占比例与 1/6比较上下不超过1%的概率. 解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 , 则

X ~ B(6000,1/6)
E ( X ) ? 1000, D( X ) ? 5000 6

5000 ? ? X ~ N ?1000, ? 6 ? ?
1 ? X ? P? ? ? 0.01? ? P? X ? 1000 ? 60 ? ? 6000 6 ?
? 1060 ? 1000 ? ? 940 ? 1000 ? ??? ? ?? ? ? 5000 6 ? ? ? 5000 6 ? ? ? ? ? 60 ? 60 ??? ? ?? ? ? ? 5000 6 ? ? 5000 6 ? ? ? 60 ? 2? ? ? ? 1 ? 0.9624 ? 5000 6 ?

近似

例3 某车间有200台车床,每台独立工作,开工 率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足 而影响生产?
解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力

设 X 为200 台车床的开工数.

X ~ B(200,0.6) , X ~ N (120, 48) (近似)
问题转化为求 a , 使
P (0 ? rX ? a ) ? 99.9%

由于将 X 近似地看成正态分布,故
?a ? ? 120 ? ? a ? 0 ? 120 ? r P ( 0 ? X ? ) ? ?? ? ? ?? ? r 48 ? 48 ? ? ? ? ?

?a ? ? ? 120 ? ??? r ? 48 ? ? ? ?

? 0 ? 120 ? ?? ? 48 ? ? ? ? ( ?17.32) ?0

P (0 ? rX ? a ) ? 99.9%

反查标准正态函数分布表,得

? ?3.09? ? 99.9%

a r 48 ? 120 ? 3.09

解得
a ? (3.09 48 + 120)r ? 141r (千瓦)

例4 检查员逐个地检查某种产品, 每检查一只 产品需要用10秒钟 . 但有的产品需重复检 查一次,再用去10秒钟. 假设产品需要重 复检查的概率为 0.5, 求检验员在 8 小时内 检查的产品多于1900个的概率. 解 检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时. 设 X 为检查1900 个产品所用的时间(单位: 秒) 设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间(单位: 秒), k = 1,2,…,1900

Xk
P

10 0.5

20 0.5

E ( X k ) ? 15, D( X k ) ? 25
1900

X 1 , X 2 ,?, X 1900 相互独立,且同分布,
E (Y ) ? 1900 ? 15 ? 28500 D(Y ) ? 1900 ? 25 ? 47500
近似

Y ?

?X
k ?1

k

Y ~ N ( 28500,47500)

P (Y ? 3600 ? 8) ? p(Y ? 28800)

? 28800 ? 28500 ? ? ?? ? 47500 ? ?

? ??1.376?

? 0.9162

解法二
Y ? 19000 10 Y ? 19000 10
P (Y ? 3600 ? 8) ? P ?Y ? 28800?

— 1900个产品中需重复检查的个数
近似

~ B(1900,0.5) ~ N

? 950, 475 ?

? Y ? 19000 28800 ? 19000 ? ? Y ? 19000 ? ? P? ? ? 980 ? ? ? P? 10 10 ? ? 10 ? ?

? 980 ? 950 ? ? ?? ? 475 ? ?

? ??1.376? ? 0.9162


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