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第三讲:2013年高考数列命题热点研讨(3)


第三讲:2013 年高考数列命题热点研讨(3)
主讲人:孟老师

第四部分:数列 2013 年考题大预测

列作为高考的必考点之一, 也是高考的重点和热点.数列题目占的分值约为 17 分, 一般是一个小题和一个大题.是 2013 年新课标高考的一个必考的内 容.根据往年的试题,我预测,高考仍然会是稳中求变的考察.小题仍然以 基础为

主, 主要考察通项公式、 n 项和等内容.大题主要是考察函数与方 前 程思想、转化与化归思想、化简、求解能力、数学归纳法、求和的几种方 法为重点.但是近几年北京和安徽等省市都把数列设置成了压轴的大题, 这 是一种新的命题趋势,是我们大家值得注意的.数列题若是作为压轴题来 出,难度是相当的大的,希望同学们有心理准备.不过要是平时复习好了, 也没有什么怕的.

孟老师大胆预测 1:等差数列

等差数列是高考的必考点,这个不用我做预测,大家都知道要出,但是出 什么题型,怎么出,我们就不得而知了.这里本人试着小小的预测一下,看 2013 年高考是否能出到本人预测的题目所考察的店.我们要注意等差数列 的对称性等问题,要会求通项和前 n 项和.

预测例题 1(2012 年重庆高考)
1

在等差数列 {a n } 中, a2 ? 5 则 {a n } 的前 5 项和 S 5 = A.7 【答案】B B.15 C.20 D.25

孟老师大胆预测 2:等比数列

等比数列也是高考的一个命题点,考察的内容和方式和等差数列基本上一 样.我们要注意基本公式的运用和基本公式经过变形后的运用.当然基本公 式变形的运用是为了我们简化计算过程的,要是不会用变形,我们在计算 的时候可能就要花费一些力气了.小题难度比较下,大题难度一般为中等.

预测例题 2 设等比数列{an}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数 项和的 4 倍,且第二项与第四项的积是第 3 项与第 4 项和的 9 倍,问数列 {lgan}的前多少项和最大?(lg2=0 解:命题意图
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3,lg3=0

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4)

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本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则,等差
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数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力 知识依托
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本题须利用等比数列通项公式、前 n 项和公式合理转化条件,

求出 an;进而利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列,分析该数列 项的分布规律从而得解
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2

错解分析

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题设条件中既有和的关系,又有项的关系,条件的正确转化是
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关键,计算易出错;而对数的运算性质也是易混淆的地方 技巧与方法
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突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数

列,而等差数列中前 n 项和有最大值,一定是该数列中前面是正数,后面 是负数,当然各正数之和最大;另外,等差数列 Sn 是 n 的二次函数,也可 由函数解析式求最值 解法一
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设公比为 q,项数为 2m,m∈N*,依题意有

? a1 ? ( q 2 m ? 1) a1q ? ( q 2 m ? 1) ? ? q ?1 q2 ?1 ? ? 3 2 3 ?( a1q ) ? ( a1q ) ? 9( a1q ? a1q )

? 4q 1 ? ?1 ? ?q ? 解得? 化简得 ? q ? 1 3 ?a q 2 ? 9(1 ? q ), ?a1 ? 108 ? ? 1
设数列{lgan}前 n 项和为 Sn,则

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Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn-1=lga1n·q1+2+…+(n-1)

1 1 n(n-1)·lgq=n(2lg2+lg3)- n(n-1)lg3 2 2 lg 3 2 7 =(- )·n +(2lg2+ lg3)·n 2 2 7 2 lg 2 ? lg 3 2 可见,当 n= 时,Sn 最大 lg 3
=nlga1+
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7 2 lg 2 ? lg 3 4 ? 0.3 ? 7 ? 0.4 2 而 =5,故{lgan}的前 5 项和最大 ? lg 3 2 ? 0.4

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3

解法二

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?a1 ? 108 1 1 ? 接前, ? 1 ,于是 lgan=lg[108( )n-1]=lg108+(n-1)lg , 3 3 ?q ? 3 ?

∴数列{lgan}是以 lg108 为首项,以 lg 令 lgan≥0,得 2lg2-(n-4)lg3≥0, ∴n≤

1 为公差的等差数列, 3

2 lg 2 ? 4 lg 3 2 ? 0.3 ? 4 ? 0.4 =5 ? lg 3 0.4

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由于 n∈N*,可见数列{lgan}的前 5 项和最大

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孟老师大胆预测 3:数列的综合

高考试卷中若是数列作为压轴题出现, 那么对数列的要求就会比较高.数列 会和对数、三角函数、导数甚至会和二项式结合出来命题,这是值得我们 大家注意的.我们要非常熟悉数列的求和方法:分组求和法、倒序相加法、 错位相减法、裂项求和法、累加法、相乘相消法等方法.

预测例题 3(2011 年全国卷) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 设数列 ? an ? 满足 a1 ? 0 且

1 1 ? ? 1. 1 ? a n ?1 1 ? a n

(Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ? an ?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:Sn ? 1.
k ?1

n

4

解: (I)由题设

1 1 ? ? 1, 1 ? an ?1 1 ? an

即{

1 } 是公差为 1 的等差数 1 ? an

列. 又

1 1 ? 1, 故 ? n. 1 ? a1 1 ? an

所以 an ? 1 ? .

1 n

(II)由(I)得

bn ? ?

1 ? an ?1 n

,

n ?1 ? n n ?1 ? n 1 1 ? ? n n ?1
Sn ? ? bk ? ? (
k ?1 k ?1 n n

1 1 1 ? ) ? 1? ? 1. k k ?1 n ?1

热点预测

1(2011 年四川) 数列 ? an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an ( n ? N*) .若则

b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则 a8 ?
(A)0 (B)3 (C)8 (D)11

答案:B 解析:由已知知 bn ? 2n ? 8, an?1 ? an ? 2n ? 8, 由叠加法
(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (a8 ? a7 ) ? ?6 ? ?4 ? ?2 ? 0 ? 2 ? 4 ? 6 ? 0 ? a8 ? a1 ? 3

5

2(2011 年湖南高考) 设 S n 是 等 差 数 列 {an } (n? N ) 前 n 项 和 , 且 a1 ? 1, a4 ? 7 , 则 的
*

S5 ? ______
答 案 : 25 解 析 : 由 a1 ? 1, a4 ? 7 可 得 a1 ? 1, d ? 2,a ? 2n ? 1 所 以 , n

S5 ?

(1? 9) 5 ? ? 25 . 2

3(2012 北京高考) 已知 {an } 等差数列 S n 为其前 n 项和.若 a1 ? 【解析】因为

1 , S2 ? a3 ,则 a2 =_______. 2

S2 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? d ? a1 ?
所以 a2 ? a1 ? d ? 1, Sn ? na1 ? n(n ? 1)d ? 【答案】 a2 ? 1 , Sn ?

1 , 2

1 2 1 n ? n. 4 4

1 2 1 n ? n 4 4

4(2012 辽宁高考) 在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11= (A)58 【答案】B 【解析】在等差数列中, (B)88 (C)143 (D)176

? a1 ? a11 ? a4 ? a8 ? 16,? s11 ?

11? (a1 ? a11 ) ? 88 ,答案为 B 2
6

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前 n 项和公式,同 时考查运算求解能力,属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准 确.

5(2012 安徽卷) 公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 = (A) 1 (C) 4
2

(B)2 (D)8
2

【解析】选 A a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a5 ? 2 ? a5 ? 1

6(2010 年天津高考) (本小题满分 14 分) 在数列 ? an ? 中,a1 ? 0 ,且对任意 k ? N . a2 k ?1 ,a2k ,a2 k ?1 成等差数列,
*

其公差为 d k . (Ⅰ)若 d k = 2k ,证明 a2k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列( k ? N )
*

(Ⅱ)若对任意 k ? N , a2k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列,其公比为 qk .
*

本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前 n 项和公式、等比数列的 定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和 解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分 14 分. (Ⅰ)证明:由题设,可得 a

2k ? 1

?a ? 4k , k ? N * . 2k ? 1
7

所以

a ? a ? (a ?a ) ? (a ?a ) ? ... ? (a3 ? a1 ) 2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 3
= 4k ? 4(k ? 1) ? ... ? 4 ?1 =2k(k+1) 由 a1 =0,得

a ? 2k (k ? 1), 从而a ? a ? 2k ? 2k 2 , a ? 2(k ? 1) 2 . 2k ? 1 2k 2k ? 1 2k ? 2

a a a k ? 1 a2k ? 2 k ? 1 于是 2k ? 1 ? , ? , 所以 2k ? 2 ? 2k ? 1 . a 2k k a 2k ? 1 k a 2k ? 1 a 2k
所以 d k ? 2k时,对任意k ? N , a
*

2k

,a ,a 成等比数列. 2k ? 1 2k ? 2

(Ⅱ)证法一: (i)证明:由 a

,a ,a 成等差数列,及 2k ? 1 2 k 2 k ? 1

a ,a ,a 成等比数列,得 2k 2k ? 1 2k ? 2

a a 2a ? a ?a , 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 1 ? qk 2k 2k ? 1 2k ? 1 a a q 2k 2k k ?1
当 q1 ≠1 时,可知 qk ≠1,k ? N 从而
*

1 ?1 q k ?1 ? ? ? ? 所以 ? 1 ? 是等差数列,公差为 1. ? qk ? 1 ? ? ?

1 ? q k ?1 2 ?

1

?

1 1 ? 1,即 1 ? ? 1(k ? 2) q ?1 q q ?1 k ?1 k ?1 k ?1

(Ⅱ)证明: a1 ? 0 , a2 ? 2 ,可得 a3 ? 4 ,从而 q1 ?

4 ? 2, 1 =1. 2 q ?1 1

8

由(Ⅰ)有

1 ? 1 ? k ? 1 ? k , 得q ? k ? 1 , k ? N * k q k k ?1

2 a a a ( ) 2k ? 2 ? 2k ? 1 ? k ? 1 , 从而 2k ? 2 ? k ? 1 ,k ? N * 所以 a a k a k2 2k ? 1 2k 2k

因此,
a2 k ?
2 a a a (k ? 1)2 22 2k . 2k ? 2 .... 4 .a ? k . ... .2 ? 2k 2 .a ? a . k ? 1 ? 2k (k ? 1), k ? N * 2 (k ? 1)2 (k ? 2)2 12 2k ? 1 2k k a a a 2k ? 2 2k ? 4 2

以下分两种情况进行讨论: (1) 偶数时,设 n=2m( m ? N )
*

k2 ? 2. 若 m=1,则 2n ? ? k ? 2 ak
n

若 m≥2,则
m m k2 (2k ) 2 m ?1 (2k ? 1) 2 4k 2 ?? ?? ?? 2 + ? a k ?1 a a2 k ?1 k ?2 k k ?1 k ?1 2k 2k n
m ?1 m ?1 ? 4k 2 ? 4k ? 4k 2 ? 4k ? 1 1 ? 1?1 1 ?? ? 2m ? ? ? ? ? 2k (k ? 1) ? ? 2m ? ? ? 2 ? 2 ? k ? k ? 1 ? ? 2k ( k ? 1) 2k ( k ? 1) ? ? ?? k ?1 k ?1 ? k ?1 ? m ?1

1 1 3 1 ? 2m ? 2(m ? 1) ? (1 ? ) ? 2n ? ? 2 m 2 n.

所以 2n ? ?

n k2 3 1 3 k2 ? ? , 从而 ? 2n ? ? ? 2, n ? 4, 6,8... 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

(2)当 n 为奇数时,设 n=2m+1( m ? N )
*

k 2 2 m k 2 (2m ? 1) 3 1 (2m ? 1) 2 ?? ? ? 4m ? ? ? ? a k ?2 a a 2 2m 2m(m ? 1) k ?2 k k 2 m ?1
n 2

? 4m ?

1 1 3 1 ? ? 2n ? ? 2 2(m ? 1) 2 n ?1

9

所以 2n ?

n k2 3 1 3 k2 ? ? , 从而 ? 2n ? ? ? 2, n ? 3,5, 7 · ? a 2 n ?1 2 k ?2 k k ? 2 ak n n 3 k2 ? 2n ? ? ? 2 2 k ? 2 ak

综合(1) (2)可知,对任意 n ? 2 , n ? N ,有 证法二: (i)证明:由题设,可得

?

dk ? a2 k ?1 ? a2 k ? qk a2 k ? a2 k ? a2 k (qk ? 1),
d k ?1 ? a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ? qk 2 a2 k ? qk a2 k ? a2 k qk (qk ? 1), 所以 d k ?1 ? qk d k

qk ?1 ?

a2 k ?3 a2 k ? 2 ? d k ?1 d d q ?1 ? ? 1 ? 2k ?1 ? 1 ? k ? 1 ? k a2 k ? 2 a2 k ? 2 qk a2 k qk a2 k qk q 1 1 ? k ? ?1, qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ? 1 1 ?

由 q1 ? 1 可知 qk ? 1, k ? N * .可得

所以 ?

? 1 ? ? 是等差数列,公差为 1. ? qk ? 1 ?

(ii)证明:因为 a1 ? 0, a2 ? 2, 所以 d1 ? a2 ? a1 ? 2 . 所以 a3 ? a2 ? d1 ? 4 ,从而 q1 ?

a3 1 ? 2, ? 1 .于是,由(i)可知所 a2 q1 ? 1

以?

? 1 ? 1 = ? 是公差为 1 的等差数列.由等差数列的通项公式可得 qk ? 1 ? qk ? 1 ?

1 ? ? k ? 1? ? k ,故 qk ?
从而

k ?1 . k

d k ?1 k ?1 ? qk ? . dk k
dk d d d k k ?1 2 ? k . k ?1 ........ 2 ? . ...... ? k ,由 d1 ? 2 ,可得 d1 d k ?1 d k ? 2 d1 k ? 1 k ? 2 1
10

所以

d k ? 2k .
于是,由(i)可知 a2 k ?1 ? 2k ? k ? 1? , a2 k ? 2k , k ? N *
2

以下同证法一.

7(2010 年全国新课标卷) (本小题满分 12 分) 设数列 ? an ? 满足 a1 ? 2, an ?1 ? an ? 3 ? 2 (1) ? an ? 的通项公式; (2)求数列的前 n 项和 S n 解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,
2 n ?1

an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an ?1 ) ? ? ? (a2 ? a1 )] ? a1 ? 3(22 n?1 ? 22 n?3 ? ? ? 2) ? 2 ? 22( n?1)?1 .而 a1 ? 2,
所以数列{ an }的通项公式为 an ? 2 (Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 2
2 n ?1 2 n ?1

.

知 ①
2 n ?1

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ? ? n ? 22 n ?1
从而 2 ? Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
2 3 5 7


n ?2

①-②得 即

2 (1? 2 ?)Sn ? ? 2

3

2 ?

5

??? 2

n2 ?

1 2 ? n?

2 1.

1 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9

8(2011 年广东高考)
11

设 b>0,数列 ?an ? 满足 a1=b, an ?

nban ?1 (n ? 2) an ?1 ? 2n ? 2 .
b n ?1 ? 1. 2n ?1

(I) 求数列 ?an ? 的通项公式; 证明: (II) 对于一切正整数 n,an ? 解(1)法一:

an ban ?1 ? ,得 n an ?1 ? 2(n ? 1)

n an ?1 ? 2(n ? 1) 1 2 n ? 1 ? ? ? ? , an ban ?1 b b an ?1


n 2 1 ? bn ,则 bn ? ? bn ?1 ? (n ? 2) , an b b

(ⅰ)当 b ? 2 时, ?bn ? 是以 即 bn ?

1 1 为首项, 为公差的等差数列, 2 2

1 1 1 ? (n ? 1) ? ? n ,∴ an ? 2 2 2 2 2 2 2 ? (bn ?1 ? ? ) ,则 bn ? ? bn?1 ? ? ( ? 1) , b b b

(ⅱ)当 b ? 2 时,设 bn ? ? ? 令 ? ( ? 1) ?

2 b

1 1 ,得 ? ? , b 2?b

? bn ?
知 bn ?

1 2 1 ? ? (bn?1 ? ) (n ? 2) , 2?b b 2?b 1 1 1 2 1 是等比数列, bn ? 又 ? ? (b1 ? ) ? ( )n ?1 , b1 ? , 2?b 2?b 2?b b b
1 2 1 1 2n ? b n nb n (2 ? b) ? ( )n ? ? ? ,? an ? . 2?b b 2?b 2?b bn 2n ? b n

? bn ?

法二: (ⅰ)当 b ? 2 时, ?bn ? 是以 即 bn ?

1 1 为首项, 为公差的等差数列, 2 2

1 1 1 ? (n ? 1) ? ? n ,∴ an ? 2 2 2 2
12

(ⅱ)当 b ? 2 时, a1 ? b , a2 ?

2b 2 2b 2 (b ? 2) , ? 2 b?2 b ? 22

a2 ?

3b3 3b3 (b ? 2) , ? 3 b 2 ? 2b ? 4 b ? 23

猜想 an ?

nbn (b ? 2) ,下面用数学归纳法证明: b n ? 2n
kb k (b ? 2) ,则 b k ? 2k

①当 n ? 1时,猜想显然成立;②假设当 n ? k 时, ak ?

ak ?1 ?

(k ? 1)b ? ak (k ? 1)b ? kb k (b ? 2) (k ? 1)b k ?1 (b ? 2) ? k ? , ak ? 2(n ? 1) kb (b ? 2) ? 2k ? (b k ? 2k ) b k ?1 ? 2k ?1

所以当 n ? k ? 1时,猜想成立, 由①②知, ?n ? N * , an ?

nbn (b ? 2) . b n ? 2n

2n ?1 (2) (ⅰ)当 b ? 2 时, an ? 2 ? n ?1 ? 1 ,故 b ? 2 时,命题成立; 2
(ⅱ)当 b ? 2 时, b
2n

? 22 n ? 2 b 2 n ? 22 n ? 2n ?1 b n ,

b 2 n ?1 ? 2 ? b ? 22 n ?1 ? 2 b2 n ? 22 n ? 2n ?1 bn ,
?? , b n ?1 ? 2n ?1 ? b n ?1 ? 2n ?1 ? 2 b 2 n ? 22 n ? 2n ?1 bn ,以上 n 个式子相加,

n ? 2n ?1 b n (b ? 2) [(b 2 n ? b 2 n ?1 ? 2 ? ? ? b ? 22 n ?1 ? 22 n ) ? b n ? 2n ](b ? 2) an ? n ?1 n ? 2 (b ? 2n ) 2n ?1 (b n ? 2n ) (b 2 n ? b 2 n ?1 ? 2 ? ? ? b ? 22 n ?1 ? 22 n )(b ? 2) ? b n ? 2n (b ? 2) ? 2n ?1 (b n ? 2n ) ? (b 2 n ?1 ? 22 n ?1 ) ? b n ?1 ? 2n ? b n ? 2n ?1 2n ?1 (b n ? 2n ) (b 2 n ?1 ? b n ?1 ? 2n ) ? (b n ? 2n ?1 ? 22 n ?1 ) b n ?1 ? n ?1 ? 1 .故当 b ? 2 时,命题 2n ?1 (b n ? 2n ) 2
13

?

成立;综上(ⅰ) (ⅱ)知命题成立.

14


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