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2014年中考数学总复习课件(含2013年试题):第32讲-代数计算题


第32讲

代数计算题

代数计算题主要是利用数学法则、公式或性质,对算式进 行代数演算、变形或化简求值等.此类问题是中考的必考内容, 主要考查基础知识和计算能力. 解答此类问题常用到整体思想、 数形结合思想.在数与式的混合运算中,要注意运算符号及运 算顺序;在分式与整式化简时,要能灵活运用因式分解知识简 化计算;在解不等式(组 )时,可利用数形结合的方法借助于数 轴来确定其解集和整数解.

第32讲┃ 代数计算题

┃考向互动探究┃ 探究一
例 1

实数与三角函数计算
3 1 -1 [2013· 广安 ] 计算: ( ) + |1- 3|- - 8- 2sin60° . 2

第32讲┃ 代数计算题

【例题分层探究】 1 -1 (a≠0) (1)a = ________ . a ? a ( a>0), ? (2)|a|= ? 0 ( a= 0), ? -a ( a<0) ? 3 -2 . (3)若 (- 2) =-8,则 - 8= ________ 3 (4)sin60° = ________ . 2
3

第32讲┃ 代数计算题

【解题方法点析】 掌握求绝对值、相反数、倒数、负整数指数幂、算术 平方根、立方根的求法,并熟记特殊角的三角函数值.在 运算时需根据运算顺序,同时注意符号问题.

第32讲┃ 代数计算题

3 解:原式= 2+ 3- 1- (- 2)- 2? 2 = 2+ 3- 1+ 2- 3 = 2- 1+ 2 = 3.

第32讲┃ 代数计算题

[2013· 凉山州] 计算:- 22- sin45°+ |(- 2)2- 1 2 + (π - 3)0|+ . 2 变式题
2 0 解:- 2 -sin45°+ (-2) -1+(π -3) ? ?+ 2
? ? ? ?

2 2

2 2 =-4- + |4-1+1|+ 2 2 2 2 =-4- + 4+ =0. 2 2

第32讲┃ 代数计算题

探究二

整式与分式化简求值

例 2 先化简,再求值:(2x+ y)2- (2x+ y)(2x- y)- 4xy, 其中 x= 2013, y=- 1.

第32讲┃ 代数计算题

【例题分层探究】 (1)根据(2x+ y)2 的特征发现其符合什么公式? (2)通过(2x+ y)(2x-y)观察字母 x 和 y 的系数及符号,发 现其符合什么公式? (3)整式加减的实质就是________和 ________.

(1)完全平方公式 (2)平方差公式 (3)去括号 合并同类项

第32讲┃ 代数计算题

【解题方法点析】 整式化简主要涉及去括号、合并同类项、整式的乘法及 乘法公式等概念,解决此类问题注意根据题目特点将题目按 运算顺序分割后分块计算.

第32讲┃ 代数计算题

解:原式= 4x2+ 4xy+ y2- (4x2- y2)- 4xy = 4x2+ 4xy+ y2- 4x2+ y2- 4xy= 2y2. 当 x= 2013, y=- 1 时, 原式= 2y2= 2? 1= 2.

第32讲┃ 代数计算题

变式题 [2013· 河南 ] 先化简,再求值: (x+ 2)2+ (2x+ 1)(2x- 1)- 4x(x+ 1),其中 x=- 2.

解:原式=x2+4x+4+ 4x2-1-4x2- 4x=x2+ 3. 当 x=- 2时,原式=5.

第32讲┃ 代数计算题

例 3

x2 [2013· 烟台] 先化简,再求值:( -x+ x- 1

4x2- 4x+ 1 1)÷ ,其中 x 满足 x2+ x- 2= 0. 1- x

第32讲┃ 代数计算题

【例题分层探究】 (1)分式通分时,如何确定最简公分母? (2)在分式运算中除法一般都转化为什么运算?

(1)确定最简公分母时,先将各分母分解因式,系数取各 分母系数的最小公倍数,相同字母(或多项式)取次数最高的, 只在其中一个分母中出现的,直接作为最简公分母. (2)一般都转化为乘法运算,除以一个数等于乘以这个数 的倒数.

第32讲┃ 代数计算题

【解题方法点析】 分式的化简主要涉及分式的通分、约分、分式的乘除等 概念,在化简时,应根据运算顺序及相应的运算法则化简.

第32讲┃ 代数计算题

x2-( x- 1)( x- 1) 1- x 解:原式= ? 2 x- 1 4x - 4x+ 1 2x- 1 1- x = ? x- 1 ( 2x- 1) 2 1 = . 1- 2x 由 x2+ x- 2= 0,解得 x1=- 2, x2= 1. 由题意,得 x≠ 1, 1 将 x=- 2 代入,原式= . 5

第32讲┃ 代数计算题

探究三

方程(组)与不等式(组)的计算

?3( x+ y)- 2( 2x- y)= 3, ? 例 4 [2013· 黄冈 ] 解方程组:?2( x- y) x+ y 1 - =- . ? 3 4 12 ?

第32讲┃ 代数计算题

【例题分层探究】 (1)解二元一次方程组的消元方法有哪几种? (2)将方程组整理,你认为选用哪种消元方法比较好? 消去哪个未知数较好?为什么?

(1)代入消元法和加减消元法.
?5y- x= 3,① ? (2)整理后的方程组为? ? ? 5x- 11y=- 1,②

由于①中未知数 x 的系数为-1,所以选用代入消元法比 较好;由于用 y 的代数式表示 x 较方便,故消去的未知数为 x.

第32讲┃ 代数计算题

【解题方法点析】 (1)解题思路:

(2)消元方法的选择: ①当方程组中某个未知数的系数为 ± 1 或常数项为 0 或未知 数的系数比较整时,都可选用代入消元法;②当某个未知数的 系数相同或相反时,或未知数系数比较大,通过将方程两边同 乘以一个适当数,可使某个未知数系数化为相同或相反时,都 可选择加减消元法.

第32讲┃ 代数计算题

?5y- x= 3,① ? 解:原方程组整理得? ? ?5x- 11y=- 1,②

由①得 x= 5y- 3,③ 将③代入②,得 25y- 15- 11y=- 1, 14y= 14,y= 1, 将 y= 1 代入③,得 x= 2.
? ?x= 2, ∴原方程组的解为? ? ?y= 1.

第32讲┃ 代数计算题

变式题

[2013· 资阳 ] 在关于 x, y 的二元一次方程

?x+ 2y= a, ? 组? 中. ? 2 x - y = 1 ?

(1)若 a= 3,求方程组的解; (2)若 S= a(3x+ y),当 a 为何值时, S 有最值?

第32讲┃ 代数计算题

?x+ 2y= a,① ? 解:解方程组? ①+ 2?②,得 ? 2 x - y = 1 ,② ?

a+ 2 x= .③ 5

2a- 1 把③代入②,得 y= . 5 (1)∵ a= 3,∴ x= 1, y= 1.
? ?x= 1, ∴方程组的解为? ? ?y= 1.

a+ 2 2a- 1 12 1 2 (2)∵ S= a(3x+ y)= a(3? + )= a + a=(a+ ) - . 5 5 2 4 1 1 ∴当 a=- 时, S 有最小值为- . 2 4

第32讲┃ 代数计算题

例5

?2x+ 5≤ 3( x+ 2), ? [2013· 毕节 ] 解不等式组:? 1 + 3x 2x- <1, ? 2 ?

把不等式组的解集在数轴上表示出来,并写出不等式组的非 负整数解.

第32讲┃ 代数计算题

【例题分层探究】 (1) 解不等式组的一般步骤是什么? (2) 确定不等式组解集的口诀为:同大取大,同小 取________,大小小大________找,大大小小找不到.

(1) 先分别解不等式组中的每一个不等式的解集, 再求这两个不等式解集的公共部分,不等式组的解 集为这两个解集的公共部分. (2)小 中间

第32讲┃ 代数计算题

【解题方法点析】 解不等式组应先分别解出不等式组中每一个不等 式的解集,再利用数轴或口诀确定不等式组的解集.

第32讲┃ 代数计算题

解:解不等式 2x+ 5≤ 3(x+ 2),得 x≥- 1; 1+ 3x 解不等式 2x- <1,得 x<3. 2 所以原不等式组的解集为- 1≤ x<3. 在数轴上表示如图, 不等式组的非负整数解为 2, 1, 0.

第32讲┃ 代数计算题

┃考题实战演练┃
1. [2013· 南充 ] 计算:(-1)
2013

10 3 1 -1 +(2sin30°+ ) - 8+( ) . 2 3

1 10 解:原式=- 1+ (2? + ) - 2+ 3=- 1+ 1- 2+ 3= 1. 2 2

第32讲┃ 代数计算题

2x- 1 9x+ 2 2. [2013· 巴中 ] 解不等式 - ≤ 1,并把解集表示 3 6 在数轴上.
解:去分母得 4x- 2- 9x- 2≤ 6, 移项,合并同类项得- 5x≤ 10, 把系数化为 1,得 x≥- 2, ∴原不等式的解集为 x≥- 2.

第32讲┃ 代数计算题

x 3 3. [2013· 绵阳 ] 解方程: - 1= 2 . x- 1 x + x- 2
解:去分母得 x(x+ 2)-(x2+ x- 2)= 3, 去括号得 x2+ 2x- x2- x+ 2= 3, 移项,合并同类项得 x= 1. 经检验 x= 1 是方程的增根,故原方程无解.

第32讲┃ 代数计算题

4. [2013· 广州 ] 解方程: x2- 10x+ 9= 0.
解:方法一(配方法): 将方程 x2- 10x+ 9= 0 变形为 x2- 10x=- 9, 配方,得 x2- 10x+ 25=- 9+ 25, 整理,得(x- 5)2= 16, 解得 x1= 1, x2= 9. 方法二 (公式法):∵ a= 1, b=- 10, c= 9, 10± 64 ∴ x= ,∴ x1= 1, x2= 9. 2 方法三 (因式分解法): 将方程 x2- 10x+ 9= 0 变形为(x- 1)(x- 9)= 0, 解得 x1= 1, x2= 9.

第32讲┃ 代数计算题

?3(x+ 2) >x+ 8, ? 5.[2013· 遂宁 ] 解不等式组?x x- 1 并把它 ≥ , ? 4 3 ? 的解集在数轴上表示出来.

第32讲┃ 代数计算题

?3( x+ 2) >x+ 8,① ? 解:?x x- 1 ≥ ,② ? 4 3 ? 由①得 x> 1,由②得 x≤ 4. 所以这个不等式组的解集是 1< x≤ 4. 用数轴表示为

第32讲┃ 代数计算题

x+ 2 x- 1 x- 4 6.[2013· 重庆 ] 先化简,再求值:( - )÷ , x x- 2 x2-4x+4 其中 x 是不等式 3x+ 7>1 的负整数解.
( x- 2)( x+ 2)- x( x- 1) x2- 4x+ 4 解:原式= ? x( x- 2) x- 4 x2- 4- x2+ x ( x- 2) 2 x- 4 ( x- 2) 2 x- 2 = ? = ? = . x x( x- 2) x- 4 x( x- 2) x- 4 由 3x+ 7>1,解得 x>- 2. 又∵ x 为负整数,∴ x=- 1. - 1- 2 当 x=- 1 时,原式= = 3. -1

第32讲┃ 代数计算题

7.[2013· 扬州 ] 已知关于 x,y

? ?5x+ 2y= 11a+ 18, 的方程组? ? ?2x- 3y= 12a- 8

的解满足 x>0,y>0,求实数 a 的取值范围.

第32讲┃ 代数计算题

?5x+ 2y= 11a+ 18,① ? 解:? ? ?2x- 3y= 12a- 8,②

①? 3,得 15x+ 6y=33a+ 54,③ ②? 2,得 4x-6y=24a- 16,④ ③+④,得 19x= 57a+ 38, 解得 x= 3a+ 2,把 x=3a+ 2 代入①, 得 5(3a+ 2)+2y= 11a+ 18,解得 y=- 2a+4,
? ?x= 3a+ 2, ∴方程组的解是? ? ?y=- 2a+ 4. ? ?3a+ 2>0, ∵ x> 0, y> 0,∴? ? ?- 2a+ 4>0,

2 ∴ a 的取值范围是- < a< 2. 3

第32讲┃ 代数计算题


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