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14数列的极限与数学归纳法


专项热点训练 14、数列的极限与数学归纳法
考纲解读:了解数列极限的意义,掌握极限的四则运算法则,会求公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项和的极限。能用数学归纳法证明一些简单的问题。 高考预测:数列极限的运算常以选择题或填空题形式出现,也可能在解答题中最后一问 中出现,特别是公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列各项和公式的运用要重点注意。数 学归纳法是种数学方

法(不会单独命题),但它与数列的探索性问题结合在一起常常作为高 考的热点来考查,应引起充分重视。 课时测试(时间:60 分钟,满分 100 分地) 一、选择题(本题包括 6 个小题,每小题 6 分,共 36 分地) 1.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时, x n ? y n 能被 x ? y 整除”时,若第一步只验证 n ? 1 时成立,则第二步是 ( ) A. 假设 n ? k ?k ? N ? 时命题成立,推得 n ? k ? 1 时命题成立; B. 假设 n ? 2k ? 1?k ? N ? 时命题成立,推得 n ? 2k ? 3 时命题成立; C. 假设 n ? 2k ? 1?k ? N ? 时命题成立,推得 n ? 2k ? 1 时命题成立;11 D. 假设 n ? k ?k ? 1, k ? N ? 时命题成立,推得 n ? k ? 2 时命题成立。 2.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? A.0;B.

1 1 ,公比 q ? ,前 n 项和为 S n ,则 lim S n 的值为( ) n?? 3 3

1 1 ;C. ;D.1。 3 2 3.已知 A?0,0?, B?a, b?, P 1 是 AB 中点, P 1 的中点, P 1P 2 的中点,?, P 2 是 BP n?2 3是P
是 Pn Pn?1 的中点,则 Pn 的极限位置是 A. ? ( )

?a b? ?a b? ? 2a 2b ? ? 3a 3b ? , ? ;B. ? , ? ;C. ? , ? ;D. ? , ? 。 ? 2 3? ? 3 3? ? 3 3? ? 4 4? 4.已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,公比为 q ,前 n 项和为 S n , S ?1 ( ) lim n ? 1 ,则公比 q 的取值范围是 n ?? S n A. q ? 1 ;B. 0 ? q ? 1 ;C. 0 ? q ? 1 ;D. q ? 1 。 5.若无穷等比数列 ?an ? 的前项和为 S n ,各项和为 S ,且 S ? S n ? 2an ,则 ?an ? 的公比
为 A. ? ( )

2 2 1 1 ;B. ;C. ? ;D. 。 3 3 3 3 1? 3 ? ??n ? 2? ,若 lim a n 存在,则 lim a n = 6.数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,且 a n ? ? an?1 ? ? n ?? n ?? 2? an?1 ? ?

A. 3 ;B. ? 3 ;C. ? 3 ;D. 6 。 二、填空题(本小题包括 3 个小题,每小题 6 分,共 18 分) 7. lim

1 n ?? n 2

n ?1? ? 3 ?1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ____; 2 ? ? 2

8.已知 lim 2n ? 3 ? an ? 4n
n??

?

2

? ? 1,则 a 的值等于____;;

9.有以下四个命题:
n

① 2 ? 2n ? 1?n ? 3?;

② 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? n ? n ? 2?n ? 1? ;
2

③凸 n 边形的内角和为 f ?n? ? ?n ? 1?? ?n ? 3?; ④凸 n 边形的对角线的条数为 f ?n ? ?

其中满足“假设 n ? k ?k ? N , k ? n0 ? 时命题成立,则当 n ? k ? 1 时命题也成立”, 但不满足“当 n ? n0 (n0 是题中给定的 n 的初始值)时命题成立”的命题序号是 ____。 三、解答题(本题包括 3 个小题,共 46 分) 10. (本小题满分 14 分) 在公差不为零的等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 中,已知 a1 ? 1 ,且

n?n ? 2? ?n ? 4? 。 2

a1 ? b1 , a2 ? b2 , a6 ? b3 。
(1) 求公差和公比; (2) 是否存在实数 a , b ,使得对于一切自然数 n 都有 an ? loga bn ? b 成立,若存 在,求出实数 a , b ;若不存在,说明理由。 11. (本小题满分 15 分) 已知数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an ? 2an?1 ? 1 。 (2) 用数学归纳法证明(1)的猜想; (3) 记 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,数列 bn 中, bn ? ? 和为 Tn ,求集合 A ? ?n | S n ? Tn ? 。 12. (本小题满分 17 分) 设数列 a

(1) 写出 ?an ? 的前 4 项,猜想 ?an ? 的通项公式;

?? 1, n ? 1 ?6n ? 4, n ? 2

记 ?bn ? 的前 n 项

? ?满足 a

n?1

2 ? an ? nan ? 1, n ? 1,2,3?。

(1) 当 a1 ? 2 时,求 a 2 , a3 , a 4 ,并由此猜想出 an 的一个通项公式; (2) 当 a1 ? 3 时,证明对所有的 n ? 1 ,有

① an ? n ? 2 ; ②

1 1 1 1 ? ??? ? 。 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 2
1 ;8、4;9、②③; 4

答案与选讲: 一、选择题:1-6、CCCACA; 二、填空题:7、 三、解答题: 10、(1) d ? 3, q ? 4 ,(2)存在常数 a ? 3 4, b ? 1 满足要求。 11、(1) a1 ? 2, a2 ? 5, a3 ? 11 , a4 ? 23, 猜想 an ? 3 ? 2k ?1 ? 1 , (2)用数学归纳法证明(略), (3) A ? ?2,4? ;
2 12、解:(1)由 a1 ? 2 ,得 a2 ? a1 ? a1 ? 1 ? 3 ,

由 a2 ? 3 ,得 a3 ? 4 ,进而得 a 4 ? 5 , 猜想: an ? n ? 1?n ? 1?, (2)①用数学归纳法证明: (i) 当 n ? 1 时, a1 ? 3 ? 1 ? 2 ,不等式成立; (ii) 假设 n ? k 时,不等式成立,即 ak ? k ? 2 ,那么,

ak ?1 ? ak ?ak ? k ? ? 1 ? ?k ? 2??k ? 2 ? k ? ? 1 ? 2k ? 5 ? (k ? 1) ? 2 即 n ? k ? 1 时,不等式也成立。 由(i)(ii)可知,对于所有 n ? N 都有 an ? n ? 2 成立。 ②由 an?1 ? an ?an ? n? ? 1 及①,对 k ? 2 有 a k ? a k ?1 ?a k ?1 ? k ? 1? ? 1
? a k ?1 ?k ? 1 ? 2 ? k ? 1? ? 1 ? 2a k ?1 ? 1
k ?1

a1 ? 2k ?2 ? ? ? 2 ? 1 ? 2k ?1 ?a1 ? 1? ? 1 。 1 1 1 于是 ? ? k ?1 , k ? 2 , 1 ? a k 1 ? a1 2 n 1 1 1 n 1 1 n 1 2 2 1 ∴? ? ? ? ? ? ? 。 ? ? k ?1 k ?1 1 ? a1 1 ? a1 k ?2 2 1 ? a1 k ?1 2 1 ? a1 1 ? 3 2 k ?1 1 ? a k
∴ ak ? 2

??


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