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2015高一竞赛均值不等式一


均值不等式一 1、 “一正、二定、三相等” 2、在使用均值不等式求最值时, 要注意当它们多次使用再相加、 相乘的时 候, 等号成立的条件是否一致。 要保证两次均值不等式的取等条件相同 3、在使用均值定理求最值的时候, 如果等号成立的条件不具备, 应考虑用 函数的单调性来解决。
a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca , 4、 常用结论:

(ac ? bd) 2 ? (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 )

a2 ? b2 a ? b ? ? ab ? 2 2

1 a

2 1 ?b

( a, b ? R ? )

题型一.利用均值不等式求最值 1 (1)求 y ? x 2 ? 2 的最小值 x 3 (2)求函数 y ? 1 ? 2 x ? ( x ? 0) 的最值 x (3)求 y ? (4)求 y ?
x 2 ? 2x ? 2 , x ? 1 的最小值 x ?1
2

x ?1 , x ? 1 的最大值 x ? 2x ? 2 x (5)求函数 y ? 2 的值域 x ? x ?1

6 x2 ?1 (6)求 y ? 2 的最大值 x ?4
(7)求函数 y ? x 2 ? (8)函数 y ?
4 的最小值 x ?1
2

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值

2 2 (9)已知x, y ? 0, 且x ? 2 y ? 1, 则 ? 的最小值为 _____ .(03年上海交大) x y

(10)求函数 y ? x 2 (1 ? x) 的最大值 (0 ? x ? 1) (11)求函数 y ? x(1 ? x 2 ) 的最大值 (0 ? x ? 1)
1

a2 b2 ? (12)当 0 ? x ? 1, a, b 为正常数时,求 y ? 的最小值 x 1? x

(13)已知 a ? b ? 0



a2 ?

16 的最小值 b( a ? b)

(14)函数 y ? loga ( x ? 3) ? 1(a ? 0, 且a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线
mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,求
1 2 ? 的最小值 m n

(15)已知 x, y 都是正实数,且 x ? y ? 3xy ? 5 ? 0 (1)求 xy 的最小值;(2)求 x ? y 的最小值 (16)设 x, y ? 0 ,且 x ? y ? xy ? 2 ,求 x ? y 的最小值 (17)设 x ? 0, y ? 0 ,不等式 x ? y ? a x ? y 恒成立求 a 的最小值 (18)设 x ? R ,不等式 2x 2 ? a x2 ? 1 ? 3 ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

(19)已知0 ? x ? 8, 则

x(8 ? x 2 )(8 ? x) 的最大值为 _____ . x ?1

(20)已知a, b, c ? 0且满足 : a 2 ? ab ? bc ? ca ? 6 ? 2 5, 则3a ? b ? 2c的最小值 为 _____ .(08年南开) (21)已知实数a, b满足 : 2b 2 ? a 2 ? 4, 则 | a ? 2b | 的最小值为 _____ .(08年南开) (22)设x, y, z ? 0, 且xyz ? y ? z ? 12, 则 log 4 x ? log 2 y ? log 2 z的最大值为 _____ .(09年复旦) (23)设a, b ? R且a ? b ? 17, 则2a ? 4b的最小值为 _____ .
题型二. 轮换对称型

证:a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac. 例 1 若a, b, c是互不相等的实数,求
练习(1) 证明:对任意 a ? 1 , b ? 1 ,有不等式
a2 b2 ? ? 8. b ?1 a ?1

2

(2)设 a, b, c ? R ? ,求证:

a2 b2 c2 a?b?c ? ? ? . b?c c?a a?b 2

例2.已知a, b ? 0, 且a ? b ? 1, 求证 : a ?

1 1 ? b ? ? 2. 2 2

练习:已知 a,b,c 为正实数,a+b+c=1. 1 求证:(1) a 2 ? b 2 ? c 2 ? ; 3
(2) 3a ? 2 ? 3b ? 2 ? 3c ? 2 ? 6.

1 1 例3.已知a, b ? 0, 且a ? b ? 1, 求证 : (1 ? ) ? (1 ? ) ? 9. a b

例 4.

? 2 2 2 2 2 2 已知 a, b, c ? R , 求证: a ? b ? b ? c ? c ? a ? 2 ?a ? b ? c ?.

例5.(1)已知x ? y ? z ? 6, 解不等式 : 1 ? 1 ? ? 2, ? ?y?x z? y ? ? 1 ? 2 ? x. ? ?6 ? z
3

2 2 2 2 2 (2)已知x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ? 6, 且x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ? 0,

求x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6的最大值.

2a 3 ? 3ab ? 3a (3)实数a, b使得方程x ? ax ? bx ? a ? 0有三个正实根, 求 b ?1 的最小值.
3 2

综合练习 1:已知 x, y 均为正数,且 x ? y ,求证: 2 x ?

1 ? 2y ? 3. x ? 2 xy ? y 2
2

2:已知 x, y , z 均为正数.求证:

x y z 1 1 1 ? ? ? ? ? . yz zx xy x y z

3:设 x, y , z 为正数,证明: 2 x 3 ? y 3 ? z 3 ? x 2 ? y ? z ? ? y 2 ?x ? z ? ? z 4:若正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求 5:已知 x, y , z 是正数.

?

?

2

?x ? y?

1 1 1 ? ? 的最小值. 2a ? 1 2b ? 1 2c ? 1

?1? 若 x ? y ? 1 ,求

x2 y2 的最小值; ? 2? x 2? y

?2? 若

x y z x2 y2 z2 ? ? ? 1,求证: ? ? ? 1. 2? x 2? y 2? z 2? x 2? y 2? z

a b c 3 ? ? ? . 2?a 2?b 2?c 5 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 7:设 a, b, c 均为正实数,求证: . 2a 2b 2c b ? c a ? c a ? b
6:设 a, b, c ? 0 , a ? b ? c ? 1 ,求证: 8:已知 a ,b,c ? ?0,??? ,且 abc ? 1 ,求

1 1 1 的最小值. ? 3 ? 3 a ?b ? c ? b ?c ? a ? c ?a ? b ?
3

4



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