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【课堂新坐标】2015届高考数学(理)一轮总复习课后限时自测:第4章-第4节 平面向量应用举例]


课后限时自测
A组 一、选择题 →· → =OB →· → =OC →· → ,则 O 是 1.已知 O 是△ABC 所在平面上一点,若OA OB OC OA △ABC 的( A.内心 【解析】 ) B.重心 C.外心 D.垂心 基础训练

→· → =OB →· → ?OB →· → -OC → )=0, OA OB OC (OA

/>→· → =0?OB⊥AC. ∴OB CA 同理:OA⊥BC,OC⊥AB, ∴O 是△ABC 的垂心. 【答案】 D

→· → =x 2 , 2.(2014· 广州调研)已知点 A(-2,0),B(0,0),动点 P(x,y)满足PA PB 则点 P 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 ) C.双曲线 D.抛物线

【解析】

→ =(-2-x,-y),PB → =(-x,-y),则 PA

→· → =(-2-x)(-x)+y2=x2, PA PB ∴y2=-2x. 【答案】 D

3.已知 a=(1,sin2x),b=(2,sin 2x),其中 x∈(0,π).若|a· b|=|a||b|,则 tan x 的值等于( ) D. 2 2

A.1 B.-1 C. 3 【解析】

由|a· b|=|a||b|知,a∥b.

所以 sin 2x=2sin2x,即 2sin xcos x=2sin2x,而 x∈(0,π), π 所以 sin x=cos x,即 x=4,故 tan x=1. 【答案】 A

→ -OC → |=|OB → +OC → -2OA → |,则 4.若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|OB

△ABC 一定是(

) B.直角三角形 D.等腰直角三角形

A.等边三角形 C.等腰三角形 【解析】

→ -OC → |=|OB → +OC → -2OA → |, ∵|OB

→ |=|AB → +AC → |,∴|AB → -AC → |=|AB → +AC → |, ∴|CB →· → =0,即AB → ⊥AC → ,从而△ABC 是直角三角形. ∴AB AC 【答案】 B

→ → → → → → 5.(2013· 重庆高考改编)在平面上,AB1⊥AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+ → .若|OP → |<1,则|OA → |的最大值是( AB 2 2 A. 2 5 B. 2 7 C. 2 2 D. 2 )

【解析】 由题意,点 B1,B2 在以 O 为圆心的单位圆上,点 P 在以 O 为圆 1 心,半径为2的圆内. → ⊥AB → ,AP → =AB → +AB →, 又AB 1 2 1 2 ∴平行四边形 AB1PB2 为矩形,则点 A、P 在以|B1B2|= 2为直径的圆上, → |最大,最大值为 2. 当点 P 与 O 重合时,|OA 【答案】 二、填空题 → +OB → =OC → ,其中 O 为坐 6.已知 A、B、C 是圆 x2+y2=1 上的三点,且OA 标原点,则?OACB 的面积等于________. A

【解析】

→ |=|OB → |=|OC → |=1 知,?OACB 是边长为 1 的菱 如图所示,由|OA

形,且∠AOB=120° .

3 3 → → ∴S?OACB=|OA||OB|sin 120° =1×1× 2 = 2 . 【答案】 3 2

7.已知△ABC 的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,P 为 AB 边上任意一点, →· → -BC → )的最大值为________. 则CP (BA

【解析】

以 C 为原点,建立平面直角坐标系如图,设 P 点坐标为(x,y)

且 0≤y≤3,0≤x≤4.

→· → -BC → )=CP →· → =(x,y)· 则CP (BA CA (0,3)=3y, 当 y=3 时,取得最大值 9. 【答案】 9

→ +OB → |=|OA → -OB → 8. 已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、 B 两点, 且|OA |,其中 O 为原点,则正实数 a 的值为________. 【解析】 → +OB → |=|OA → -OB → |,知OA → ⊥OB →, 由|OA

∴|AB|=2 2,则得点 O 到 AB 的距离 d= 2, ∴ |0×1+1×0-a| = 2,解得 a=2(a>0). 2 2

【答案】 三、解答题

9.(2014· 南京师大模拟)如图 4-4-3,A、B 是单位圆上的动点,C 是单位 π 圆与 x 轴的正半轴的交点,且∠AOB=6,记∠COA=θ,θ∈(0,π),△AOC 的 面积为 S.

图 4-4-3 →· → +2S,试求 f(θ)的最大值以及此时 θ 的值; (1)若 f(θ)=OB OC ? 3 4? → |2 的值. (2)当 A 点坐标为?-5,5?时,求|BC ? ? 【解】 1 (1)由题意得 S=2sin θ,

? π? ? π?? → → =? ?cos?θ+6?,sin?θ+6??,OC OB =(1,0), ? ? ? ? ?? π? ? π? →· → +2S=cos? ?θ+6?+sin θ=sin?θ+3?. ∴f(θ)=OB OC ? ? ? ? π ∵θ∈(0,π),故 θ=6时,f(θ)max=1. 3 4 (2)依题意得 cos θ=-5,sin θ=5, π 在△BOC 中,∠BOC=θ+6,由余弦定理, π? → |2=1+1-2×1×1×cos? ?θ+6? |BC ? ? =2- 3cos θ+sin θ= 14+3 3 . 5

10.设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两 → =2PA → ,且OQ →· → =1,求 点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点,若BP AB P 点的轨迹方程. 【解】 设 A(x0,0)(x0>0),B(0,y0)(y0>0),

∵P(x,y)与 Q 关于 y 轴对称,∴Q(-x,y), → =2PA → ,即(x,y-y )=2(x -x,-y), 由BP 0 0 3 ? ?x0= x, 2 可得? ? ?y0=3y, (x,y>0).

? 3 ? → → 又OQ=(-x,y),AB=(-x0,y0)=?-2x,3y?. ? ? →· → =1,∴3x2+3y2=1(x>0,y>0). ∵OQ AB 2 3 ∴点 P 的轨迹方程为2x2+3y2=1(x>0,y>0). B组 能力提升

π 1.若函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)在一个周期内的图象如图 4 →· → =0(O 为坐标 -4-4 所示,M,N 分别是这段图象的最高点和最低点,且OM ON 原点),则 A 等于( )

图 4-4-4 π 7 7 7 A.6 B. 12 π C. 6 π D. 3 π 【解析】 T π π π ∵ = - = ,∴T=π, 4 3 12 4

?π ? ?π π ? ?7π ? ∴M?12,A?,N?12+2,-A?,即?12,-A?, ? ? ? ? ? ? →· → = π ×7π+A· 又OM ON (-A)=0, 12 12 7 ∴A= 12 π. 【答案】 B

2.(2012· 江苏高考)如图 4-4-5 所示,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2, →· → = 2,则AE →· → 的值是________. 点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若AB AF BF

图 4-4-5 【解析】 法一 以 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线为 x 轴,y 轴建立平

面直角坐标系,则 A(0,0),B( 2,0),E( 2,1),F(x,2). → =( 2,0),AF → =(x,2),AE → =( 2,1), 故AB → =(x- 2,2),∴AB →· → =( 2,0)· BF AF (x,2)= 2x. →· → = 2,∴x=1,∴BF → =(1- 2,2). 又AB AF →· → =( 2,1)· ∴AE BF (1- 2,2)= 2-2+2= 2. 法二 → =xAB → ,则CF → =(x-1)AB →. 设DF

→· → =AB →· → +DF → )=AB →· → +xAB → )=xAB → 2=2x, AB AF (AD (AD 2 ∴x= 2 . → =BC → +CF → =BC → +( 2-1)AB →. ∴BF 2 →· → =(AB → +BE → )· → +( 2-1)AB →] ∴AE BF [BC 2 ?→? ? → 1 → ?? → ? 2 ? =?AB+2BC??BC +? -1?AB ? ?? ?2 ? ? 1 ? 2 ?→2 1→2 ? 2 ? =? -1?AB +2BC =? -1?×2+2×4= 2. ?2 ? ?2 ? 【答案】 2

3.(2014· 青岛调研)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满 →· → =cCB →· →. 足( 2a-c)BA BC CA (1)求角 B 的大小; → -BC → |= 6,求△ABC 面积的最大值. (2)若|BA 【解】 →· → =c· →· → ,得 (1)由( 2a-c)BA BC CB CA

( 2a-c)· cos B=bcos C 依据正弦定理,得( 2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C 2sin Acos B=sin(B+C),即 2sin Acos B=sin A,

2 ∴cos B= 2 , π 又 B∈(0,π),从而 B=4. → -BC → |= 6,∴|CA → |= 6,即 b= 6. (2)∵|BA 由余弦定理,得 6=a2+c2-2accos B,即 6=a2+c2- 2ac, 由于 a2+c2≥2ac,当且仅当 a=c 时取等号. ∴6≥(2- 2)ac,ac≤3(2+ 2), 3? 2+1? 1 故 S△ABC=2acsin B≤ , 2 3 2+3 ∴△ABC 的面积的最大值为 2 .


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